人教A版（2019）高中必修二 8.2立体图形的直观图 学案（无答案）

8.2 立体图形的直观图
前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征。为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要学习直观图的有关知识。
直观图
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形。是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示，因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同。
它分为中心投影下画出的直观图和平行投影下画出的直观图。
平行投影可以更形象的表示空间图形，在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形。要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形。
如果一个矩形垂直于投影面，投影线不垂直于投影面，则矩形的平行投影是一个平行四边形。
知识探究（一）:水平放置的平面图形的画法
思考1:把一个正方形水平放置，从适当的角度观察，给人以平行四边形的感觉，如图.比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？
思考2：画一个正方形的直观图。怎样才能画好物体的直观图呢？
正方形的水平直观图
规则：
1. 水平方向线段长度不变;
2. 竖直方向的线段向右倾斜450，长度减半;
3. 平行线段仍然平行.
思考3:把一个直角梯形水平放置得其直观图如下，比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？
思考4:画一个水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图中各顶点的位置，我们可以借助平面坐标系解决这个问题. 那么在画水平放置的直角梯形的直观图时应如何操作？
思考5:你能用上述方法画水平放置的正五边形的直观图吗？
二、斜二测画法
在依据平行投影的性质画直观图的方法中，一种较为简单的画图标准是斜二测画法。
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成x/ 轴和y/ 轴，两轴相交于点O/,且使∠ x/ O/ y/=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面。
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x/ 轴或y/ 轴的线段。
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段,在直观图中长度变为原来的一半（横不变，纵减半）。
规律：两变半（坐标轴夹角，平行于y轴的线段），
两不变（平行于x轴的线段，平行关系不改变）
例１．用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。
结论：在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.
变式练习：
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？
（1）相等的线段在直观图中仍相等。（ ）
（2）平行的线段在直观图中仍平行。（ ）
（3）一个角的直观图仍是一个角。 （ ）
（4）相等的角在直观图中仍相等。 （ ）
2.用斜二测画法画水平放置的正五边形的直观图（尺寸自定）
3.画正三角形的水平面的直观图。
除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题，在立体几何中，画水平放置的圆我们常用正等测画法，一般用椭圆作为圆的直观图。
三、如何根据斜二测画法画出的直观图还原出原图？
归纳：常用的一些空间图形的平面画法：
例2、如图为水平放置的正方形OCBA，它在直角坐标系xOy中点B的坐标为（2,2），则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为______
练习1：如图ΔA′B′C′是水平放置的ΔABC的直观图，则在ΔABC的三边及中线AD中，最长的线段是________
练习2：如图所示的正方形O ‘A ‘B ‘ C ‘ 的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )
A. 6cm B. 8cm C. D.
例3．下图是用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图△A ‘B ‘ C ‘ ， 其中A’O ‘=O ‘ B ‘,请画出这个图形的真实图形；设S△ABC=S，求直观图△A ‘B’ C’的面积S ‘ 。
练习1：已知一水平放置的三角形的平面直观图是边长为1的正三角形，那么原三角形的面积为( )
A. B. C. D.
练习2：如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为(　　)
练习3：一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形O′A′B′C′的面积为 ，则原梯形的面积为______
例4、用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm的长方体的直观图.
练习1：画一个底面边长为３ｃｍ,高为4cm的正三棱柱的直观图。
练习2：已知圆柱的底面半径为1cm，侧面的母线长为3cm，画出它的直观图。
练习3：某简单组合体由上下的两部分组成，下部是一个圆柱，上面是一个圆锥。圆锥的底面与圆柱的上底面重合。画出这个组合体的直观图。
画图步骤简记：“取轴、定点、成图”
巩固：1、（多选）如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形A’B’C’D’，已知A’B’=2C’D’=4，则( )
A. B.
C. 四边形ABSD的周长为
D. 四边形ABCD的面积为
2、用斜二测画法画出右图中五边形ABCDE的直观图．