北师版高中数学必修第一册2.5简单的幂函数(二) 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
第二章　函　数
§5　简单的幂函数(二)
1.理解函数奇偶性的定义；
2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法；
3.会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
知识点一　函数奇偶性的几何特征
思考　下列函数图像中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？
答案
问题导学 　　　　新知探究 点点落实
答案　①②关于y轴对称，③④关于原点对称.
一般地，图像关于y轴对称的函数称为 函数，图像关于原点对称的函数称为 函数.
偶
奇
答案
知识点二　函数奇偶性的定义
思考1　为什么不直接用图像关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？
答案　因为很多函数图像我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断.
思考2　利用点对称来刻画图像对称有什么好处？
答案　好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，
则图像关于y轴(原点)对称，反之亦然.
(2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图像也能操作.
答案
函数奇偶性的概念：
(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内 一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫作偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图像上.
(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内 一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫作奇函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)图像上.
任意
f(－x)＝f(x)
任意
f(－x)＝－f(x)
知识点三　奇偶性与单调性
思考　观察偶函数y＝x2与奇函数y＝ 在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性，你有何猜想？
答案　偶函数y＝x2在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相反；
奇函数y＝ 在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相同.
一般地，(1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是 函数，且有最小值 .
(2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是 .
(3)知道了函数的奇偶性，我们可以先研究函数的一半，再利用对称性了解其另一半，从而减少工作量.
答案
返回
增
－M
增函数
解析答案
题型探究 　　　　重点难点 个个击破
类型一　如何证明函数的奇偶性
证明　因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，
∴对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，
(2)证明f(x)＝(x＋1)(x－1)是偶函数；
证明　函数的定义域为R，因函数f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，
又因f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函数为偶函数.
解析答案
证明　定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，
即该函数既是奇函数又是偶函数.
解析答案
证明　定义域为{x|x≠0}.
若x<0，则－x>0，∴f(－x)＝1，f(x)＝－1，
∴f(－x)＝－f(x)；
若x>0，则－x<0，∴f(－x)＝－1，f(x)＝1，
∴f(－x)＝－f(x)；
即对任意x≠0，都有f(－x)＝－f(x).
∴f(x)为奇函数.
解析答案
反思与感悟
(5)已知f(x)的定义域为R，证明g(x)＝f(－x)＋f(x)是偶函数.
证明　∵f(x)的定义域为R，
∴g(x)＝f(－x)＋f(x)的定义域也为R.
对于任意x∈R，都有g(－x)＝f[－(－x)]＋f(－x)＝f(－x)＋f(x)＝g(x)，
∴g(x)是偶函数.
反思与感悟　利用定义法判断函数是不是偶函数时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x的值，则－x也一定是定义域内的一个值.
解析答案
故f(x)为非奇非偶函数.
(2)证明f(x)＝x|x|是奇函数；
证明　函数的定义域为R，
因f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，
所以函数为奇函数.
解析答案
即该函数既是奇函数又是偶函数.
证明　定义域为{x|x≠0}.
若x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝x2，f(x)＝－x2，
∴f(－x)＝－f(x)；
若x>0，则－x<0，
∴f(－x)＝－(－x)2＝－x2，f(x)＝x2，
∴f(－x)＝－f(x)；
即对任意x≠0，都有f(－x)＝－f(x).
∴f(x)为奇函数.
解析答案
解析答案
类型二　如何判断函数的奇偶性
例2　(1)f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，试判断y＝f(x)＋g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]的奇偶性；
解　∵f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＋g(－x)＝－f(x)－g(x)＝－[f(x)＋g(x)]，y＝f(x)＋g(x)是奇函数.
f(－x)g(－x)＝[－f(x)][－g(x)]＝f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是偶函数.
f[g(－x)]＝f[－g(x)]＝－f[g(x)]，y＝f[g(x)]是奇函数.
(2)判断f(x)＝x3＋3x的奇偶性；
解　∵y＝x3，y＝3x都是奇函数，由(1)知f(x)＝x3＋3x是奇函数.
(3)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数，求实数b，d的值.
解　由(1)知当b＝d＝0时，f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数.
反思与感悟
反思与感悟
判断函数单调性要比证明灵活得多，可以借助图像，也可借助已知奇偶性的函数，在此基础上判断其和、差、积、商、复合的奇偶性.
解析答案
跟踪训练2　(1)f(x)，g(x)定义在R上，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
试判断y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]的奇偶性；
解　∵f(x)，g(x)定义在R上，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是奇函数.
f[g(－x)]＝f[g(x)]，y＝f[g(x)]是偶函数.
解　∵y＝x2＋1是偶函数，y＝x是奇函数，
解析答案
(3)已知f(x)，g(x)均为奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5(ab≠0)，求F(x)在(－∞，0)上的最小值.
解　∵f(x)，g(x)均为奇函数，
∴y＝af(x)＋bg(x)是奇函数.
设x<0，则－x>0.
由F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5(ab≠0)，
∴F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2≤5，
∴af(－x)＋bg(－x)≤3，
∴af(x)＋bg(x)≥－3，
∴af(x)＋bg(x)＋2≥－3＋2＝－1.
即F(x)在(－∞，0)上的最小值为－1.
解析答案
类型三　奇(偶)函数图像的对称性的应用
例3　定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图像如图所示.
(1)画出f(x)的图像；
解　先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，
(－2,0)，连线可得f(x)的图像如右图，
(2)解不等式xf(x)>0.
解　xf(x)>0即图像上横坐标、纵坐标同号.
结合图像可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2).
反思与感悟　鉴于奇(偶)函数图像关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图、求值，求解析式，研究单调性.
反思与感悟
试画出f(x)的图像，并指出其单调区间.
解　显然当x>0时，f(x)>0.
又y＝x2＋1为偶函数，y＝x为奇函数，
解析答案
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1
2
3
达标检测
4
1.函数f(x)＝0(x∈R)是(　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
5
D
答案
2.函数f(x)＝ 的奇偶性是(　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
1
2
3
4
5
A
答案
3.函数f(x)＝x(－1A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
1
2
3
4
5
C
答案
4.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
1
2
3
4
5
答案
B
5.下列说法错误的个数是(　　)
①图像关于原点对称的函数是奇函数；
②图像关于y轴对称的函数是偶函数；
③奇函数的图像一定过原点；
④偶函数的图像一定与y轴相交；
⑤既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R).
A.4 B.3 C.2 D.0
解析　①，②正确；
f(x)＝0(x∈[－1,1])既是奇函数，又是偶函数，⑤错.
解析答案
1
2
3
4
5
B
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规律与方法
1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)
f(－x)＋f(x)＝0 f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0
f(x)为偶函数.
2.两个性质：函数为奇函数 它的图像关于原点对称；函数为偶函数 它的图像关于y轴对称.
3.证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x).而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.
4.已知函数奇偶性，在研究函数的图像与性质时，可先研究一半，再用对称性研究另一半.
本课结束