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第4章 数列
INNOVATIVE
DESIGN
第二课时 等差数列的性质及实际应用
课标要求
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
素养要求
通过推导等差数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养；通过利用等差数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.
问题导学预习教材
必备知识探究
内容
索引
互动合作研析题型
关键能力提升
拓展延伸分层精练
核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、等差数列的通项公式与函数的关系
1.思考 观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
提示 由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，故an是函数f(x)＝dx＋(a1－d)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)，点(n，an)则是函数f(x)＝dx＋(a1－d)图象上的均匀分布的孤立的点.
2.填空 等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一个固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数，点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点.
温馨提醒 等差数列的图象是一条直线上的一系列孤立的点，因此涉及等差数列中的项、过两点的直线斜率及数列的单调性的问题，利用多点共线即可快速求解.
3.做一做 已知数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n(n∈N*)，则实数a＝________.
0
解析 ∵{an}是等差数列，且an＝an2＋n，
∴an是关于n的一次函数，
∴a＝0.
二、等差数列的性质
1.思考 (1)如果一个数列的前有限项是等差数列，那么这个数列是等差数列吗？
提示 不一定，证明一个数列是等差数列，一定要体现出任意性.
(2)在等差数列{an}中，a5＋a8＝3，a3＋a10等于多少？除了基本量法，有何简单方法？
提示 a5＋a8＝a1＋4d＋a1＋7d＝a1＋2d＋a1＋9d＝a3＋a10＝3.
发现在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则有am＋an＝ap＋aq.
2.填空 (1)若{an}是公差为d的等差数列，则an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*).
(2){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝____________.
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝________.
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的____，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
(3)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为______数列.
ap＋aq
2ak
和
等差
(4)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为____的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为______的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为______的等差数列.
(5)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为________________的等差数列.
(6)若{an}的公差为d，则d>0 {an}为______数列；d<0 {an}为______数列；
d＝0 {an}为常数列.
2d
d
cd
pd1＋qd2
递增
递减
温馨提醒 一般地，运用等差数列的性质解题可以起到化繁为简、优化解题过程的作用，但解题时要注意性质运用的限制条件.
3.做一做 思考辨析，判断正误
(1)等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.( )
提示 反例：若an＝n－1，则a10＝9，a1＋a9＝8，不满足a10＝a1＋a9.
(2)若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列.( )
(3)若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6，…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3，…也是等差数列.( )
提示 反例：设一数列为1，3，5，…，另一数列为4，6，8，…，显然1，4，3，6，5，8，…不是等差数列.
(4)若数列{an}为公差为d的等差数列，则an＋1＝an－1＋2d，n>1，且n∈N*.( )
×
√
×
√
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2
例1 已知数列{an}为等差数列，且公差为d.
(1)若a15＝8，a60＝20，求a105的值；
题型一 等差数列性质的应用
法三 ∵{an}为等差数列，
∴a15，a60，a105也成等差数列，
则2a60＝a15＋a105，
∴a105＝2×20－8＝32.
(2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d.
解 由a2＋a3＋a4＋a5＝34，
得2(a2＋a5)＝34，
∴a2＋a5＝17.
等差数列运算的两条常用思路
(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量.
(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
思维升华
训练1 (1)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
20
解析 3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a3＋a8)＝20.
(2)已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________.
27
解析 一 由性质可知，数列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差数列，
所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，则a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27.
法二 设等差数列{an}的公差为d，
则(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)
＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝3d＝－6，
解得d＝－2，所以a3＋a6＋a9＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d＝(a2＋a5＋a8)＋3d＝27.
例2 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.
题型二 等差数列的设法与求解
迁移 已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式.
法二 由于数列{an}为等差数列，所以可设前三项分别为a－d，a，a＋d，
等差数列项的常见设法
(1)通项法：设数列的通项公式，即设an＝a1＋(n－1)d.
(2)对称项设法：当等差数列{an}的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当等差数列{an}的项数为偶数时，可设中间两项分别为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….
对称项设法的优点是：若有n个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为na.
思维升华
训练2 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数.
D
题型三 等差数列的实际应用
例3 数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2 021共2 021个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则该数列共有( )
A.132项 B.133项 C.134项 D.135项
解析 被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{an}，则an＝8＋15(n－1)＝15n－7.
解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点
(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中.
(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.
思维升华
训练3 假设某市2021年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米，那么该市在________年新建住房的面积开始大于820万平方米.
2030
课堂小结
1.牢记2个知识点
(1)等差数列与一次函数的关系.
(2)等差数列的性质.
2.掌握2种常用方法
(1)等差数列的常见设法.
(2)等差数列实际应用问题的步骤.
3.注意1个易错点
解题时注意运用相关性质的限制条件.
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3
C
2.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为( )
A.12 B.8 C.6 D.4
B
解析 由等差数列性质得，
a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)
＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
A
4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？”其意思是：“已知A，B，C，D，E五个人分重量为6钱(‘钱’是古代的一种重量单位)的物品，A，B，C三人所得钱数之和与D，E二人所得钱数之和相同，且A，B，C，D，E每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C分得物品的钱数是( )
C
5.(多选)已知等差数列{an}中，a1＝3，公差为d(d∈N*)，若2 021是该数列的一项，则公差d不可能是( )
A.2 B.3 C.4 D. 5
BCD
4
7.已知数列{an}是等差数列.若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，且ak＝13，则k＝________.
18
9.已知三个数成单调递增的等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数.
解 设这三个数分别为a－d，a，a＋d，且d>0.
∵d>0，∴a＝6，d＝2.
∴这三个数是4，6，8.
A
12.若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q＝________.
0
解析 法一 设{an}的公差为d，
∵ap＝aq＋(p－q)d，
∴q＝p＋(p－q)d，即q－p＝(p－q)d.
∵p≠q，∴d＝－1.
∴ap＋q＝ap＋(p＋q－p)d＝q＋q×(－1)＝0.
法二 ∵数列{an}为等差数列，
如图所示，由图易知|OC|＝p＋q，即点C的坐标为(p＋q，0)，故ap＋q＝0.
13.首项为a1，公差为d(d∈N*)的等差数列{an}满足下列两个条件：
①a3＋a5＋a7＝93；
②满足an>100的n的最小值是15.
试求公差d和首项a1的值.
解 ∵a3＋a5＋a7＝93，∴3a5＝93，∴a5＝31.
∵an>100，即an＝a5＋(n－5)d>100，
14.设数列{an}(n＝1，2，…)是等差数列，且公差为d，若数列{an}中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
(1)若a1＝4，d＝2，求证：该数列是“封闭数列”；
证明 ∵a1＝4，d＝2，
∴an＝4＋(n－1)·2＝2n＋2.
∴对任意的m，n∈N*，有am＋an＝(2m＋2)＋(2n＋2)＝2(m＋n＋1)＋2.
∵m＋n＋1∈N*，令p＝m＋n＋1，则有ap＝2p＋2，它是该数列的项.
∴该数列是“封闭数列”.
(2)试判断通项为an＝2n－7(n∈N*)的数列是否为“封闭数列”，为什么？
解 ∵an＝2n－7(n∈N*)，
∴a1＝－5，a2＝－3.
∴a1＋a2＝－8.
令an＝a1＋a2＝－8，得2n－7＝－8，
本课结束(共56张PPT)
第4章 数列
4.2 等差数列
第一课时 等差数列的概念与通项公式
4.2.1 等差数列的概念
4.2.2 等差数列的通项公式
课标要求
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.体会等差数列与一次函数的关系.3.掌握等差数列的判定方法.
素养要求
在根据实例抽象出等差数列的概念并归纳出等差数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.
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1
一、等差数列的概念
1.思考 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题.
①在过去的300多年里，人们记下了哈雷慧星出现的时间：1682，1758，1834，1910，1986.
②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275，270，265，260，255，250，….
③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10.
以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷慧星下一次出现的时间吗？
提示 对于①，我们发现1 758－1 682＝76，1 834－1 758＝76，1 910－1 834＝76，1 986－1 910＝76，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，于是我们可以大胆预测下一次哈雷慧星出现的时间应该是1 986＋76＝2 062.对于②有270－275＝－5…；对于③，10－10＝0，有同样的取值规律.
2.填空
文字语言 如果一个数列从第____项起，每一项减去它的________所得的差都等于____________，那么这个数列就叫作等差数列，这个_____叫作等差数列的公差，公差通常用____表示
符号语言 an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)
二
前一项
同一个常数
常数
d
温馨提醒 (1)“从第二项起”是因为首项没有“前一项”.
(2)一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，注意不要漏掉这一条件.
3.做一做 思考辨析，判断正误
(1)常数列是等差数列.( )
(2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( )
提示 差都是同一个常数时，才是等差数列.
(3)数列{an}满足an＋1－an＝1(n＞1)，则数列{an}是等差数列.( )
提示 {an}不一定是等差数列，忽略了第1项.
(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列.( )
√
×
×
√
二、等差数列的通项公式
1.思考 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
提示 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由等差数列的定义可知，
an－an－1＝d(n≥2).
思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…，
归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2).
当n＝1时，上式为a1＝a1＋(1－1)d＝a1，公式仍然成立.所以等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
思路二：a2－a1＝d，
a3－a2＝d，
a4－a3＝d，
…
an－an－1＝d(n≥2)，
左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2).
当n＝1时，上式为a1＝a1＋(1－1)d＝a1，公式仍然成立.所以等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
2.填空 等差数列的通项公式
(1)以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝_________________.
(2)从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d).
①点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；
②这些点的横坐标每增加1，函数值增加____.
a1＋(n－1)d
d
温馨提醒 等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个量(首项a1，公差d，项数n和第n项an)，如果知道了其中的任意三个，就可以由通项公式求出第四个.
3.做一做 等差数列－3，－1，1，…的通项公式为an＝________.
2n－5
解析 由题知，a1＝－3，d＝2，an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5.
三、等差中项
1.思考 若5，x，y，z，21成等差数列，则y的值为多少？
提示 由题知，y－5＝21－y，
∴2y＝26，
∴y＝13.
2.填空 (1)条件：如果a，A，b成等差数列.
(2)结论：那么A叫作a与b的等差中项.
(3)满足的关系式是______________.
a＋b＝2A
3.做一做 已知实数m是1和5的等差中项，则m＝( )
C
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2
例1 在等差数列{an}中，
题型一 等差数列的通项公式及相关计算
(1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an；
(2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n；
解 (1)an＝a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29.
(2)由an＝a1＋(n－1)d得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10.
解 (3)由a6＝a1＋5d得12＋5d＝27，解得d＝3.
(4)由a7＝a1＋6d得a1－2＝8，解得a1＝10，
思维升华 等差数列通项公式中的四个参数及其关系
思维升华
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d 四个参数 a1，d，n，an
“知三求一” 知a1，d，n求an
知a1，d，an求n
知a1，n，an求d
知d，n，an求a1
训练1 (1)已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝( )
B
B
例2 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.
题型二 等差中项及其应用
思维升华
A
(2)已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是( )
A.2 B.3
C.6 D.9
B
解析 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.
题型三 等差数列的判定
例3 (1)已知数列{an}是等差数列，设bn＝2an＋3，求证：数列{bn}也是等差数列.
证明 ∵数列{an}是等差数列，可设其公差为d，则an＋1－an＝d.从而bn＋1－bn＝(2an＋1＋3)－(2an＋3)＝2(an＋1－an)＝2d，它是一个与n无关的常数，
∴数列{bn}是等差数列.
角度2 等差数列的探究
例4 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*).
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
解 ∵an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)及a1＝2，a2＝－1，∴a2＝(λ－3)a1＋2，
(2)是否存在λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由.
思维升华
(2)求数列{an}的通项公式.
课堂小结
1.牢记3个知识点
(1)等差数列的概念.
(2)等差数列的通项公式.
(3)等差中项.
2.掌握2种方法
(1)运用通项公式求基本量法.
课堂小结
(2)判断一个数列是不是等差数列的常用方法：
①an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*) {an}是等差数列；
②2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}是等差数列；
③an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*) {an}是等差数列.
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.
3.注意1个易错点
判断等差数列时忽视n的取值而致误.
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拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.设数列{an}(n∈N*)是公差为d的等差数列，若a2＝4，a4＝6，则d等于( )
A.4 B.3 C.2 D.1
D
解析 由a2＝a1＋d＝4，a4＝a1＋3d＝6，解得d＝1.
2.已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于( )
A.15 B.22
C.7 D.29
A
解得a1＝47，d＝－8.
所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.
3.已知等差数列{an}的公差d<0，且a2a4＝12，a2＋a4＝8，则公差d＝( )
A.－2 B.2
C.±2 D.－4
A
解析 等差数列{an}中，a2a4＝12，a2＋a4＝8，
所以可将a2，a4看作是方程x2－8x＋12＝0的两个实数根，
解该方程得x1＝6，x2＝2.
因为公差d<0，所以a2>a4，则a2＝6，a4＝2，
所以a4－a2＝2d＝－4，解得d＝－2.
4.(多选)已知an＋1－an＝0，则数列{an}一定是( )
A.等差数列 B.常数列
C.递增数列 D.递减数列
AB
解析 因为an＋1－an＝0，所以由等差数列的定义得：数列{an}是等差数列.
因为公差为0，所以是常数列.
AB
6.在△ABC中，若B是A和C的等差中项，则cos B＝________.
7.已知等差数列{an}中，a1＋a2＝a4，a10＝11，则a12＝________.
13
8.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3
升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.
9.在等差数列{an}中，
(1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项；
所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5.
令2n＋5＝91，得n＝43.
因为43为正整数，所以91是此数列中的项.
(2)若a2＝11，a8＝5，求a10.
所以an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，
所以a10＝13－10＝3.
10.在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7.
(1)求数列的第10项；
(2)112是数列{an}的第几项？
(3)在80到110之间有多少项？
解 (2)an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，由112＝3n－5，解得n＝39.
所以112是数列{an}的第39项.
11.《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是( )
B
A
(2)求an.
14.意大利数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，这个数列称为斐波那契数列，该数列与自然界的许多现象有密切关系，在科学研究中有着广泛的应用.该数列{an}满足a1＝a2＝1，an＋2＝an＋an＋1(n∈N*)，则该数列的前1 000项中，为奇数的项共有( )
A.333项 B.334项 C.666项 D.667项
D
解析 因为a1＝a2＝1为奇数，a3＝2为偶数，a4＝3，a5＝5为奇数，a6＝8为偶数，依此类推，a9，a12，…，a999为偶数.由999＝3＋3(n－1)＝3n，可得为偶数的项共有333项，那么为奇数的项共有667项.
本课结束
