(共57张PPT)
第4章 数列
4.3 等比数列
第一课时 等比数列的概念与通项公式
4.3.1 等比数列的概念
4.3.2 等比数列的通项公式
课标要求
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.
2.体会等比数列与指数函数的关系.3.熟练掌握等比数列的判断方法.
素养要求
在根据实例抽象出等比数列的概念并归纳出等比数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.
问题导学预习教材
必备知识探究
内容
索引
互动合作研析题型
关键能力提升
拓展延伸分层精练
核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、等比数列的概念
1.思考 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题.
①我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”
构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98.
2.填空
二
同一个常数
公比
q
温馨提醒 (1)“从第二项起”是因为首项没有“前一项”.同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒.
(2)定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比尽管是一个与n无关的常数，却是不同的常数，那么此数列也不是等比数列.当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列.
3.做一做 等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第4项等于( )
A.－24 B.0 C.12 D.24
A
解析 由x，3x＋3，6x＋6成等比数列得，(3x＋3)2＝x(6x＋6)，
二、等比中项
1.思考 如果－1，a，－9成等比数列，那么a为多少？
提示 a2＝－1×(－9)，则a＝±3.
2.填空 (1)前提：三个数a，G，b成等比数列.
(2)结论：____叫作a，b的等比中项.
(3)满足的关系式：G2＝______.
G
ab
3.做一做 4与16的等比中项是________.
±8
三、等比数列的通项公式
1.思考 类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
2.填空 (1)等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝________________.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比.
a1·qn－1
孤立
温馨提醒 等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个.在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.
C
3.做一做 等比数列{an}中，a1＝3，公比q＝2，则a5＝( )
A.32 B.－48 C.48 D.96
解析 a5＝a1q4＝3×24＝48.
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2
例1 在等比数列{an}中：
题型一 等比数列通项公式的应用
(2)已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an.
等比数列的通项公式的应用
在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式an＝a1qn－1可求出等比数列中的任意一项.
思维升华
训练1 (1)在等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为( )
C
C
D
题型二 等比中项及其应用
(2)如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A.b＝3，ac＝9
B.b＝－3，ac＝9
C.b＝3，ac＝－9
D.b＝－3，ac＝－9
B
等比数列中的任一项(除首项、末项外)都是数列中距该项“距离”相等的两项的等比中项.
思维升华
训练2 (1)三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数是_________________.
2，4，8或8，4，2
(2)在等差数列{an}中，a3＝0.如果ak是a6与ak＋6的等比中项，那么k＝________.
9
解析 设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，由题意得a3＝a1＋2d＝0，∴a1＝－2d.
又∵ak是a6与ak＋6的等比中项，
即[a1＋(k－1)d]2＝(a1＋5d)·[a1＋(k＋5)d]，[(k－3)d]2＝3d·(k＋3)d，解得k＝9或k＝0(舍去).
题型三 等比数列的判定
(2)求证：数列{an}是等比数列.
迁移1 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*).
(1)求证：{bn}是等比数列；
证明 ∵an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1，
∴bn＋1＝an＋1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)＝2bn，又∵b1＝a1＋1＝2，
∴数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列.
(2)求{an}的通项公式.
解 由(1)知，an＋1＝2×2n－1，
∴an＝2n－1.
思维升华
训练3 (1)已知数列{cn}中，cn＝2n＋3n，且数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p；
解 因为{cn＋1－pcn}是等比数列，所以(cn＋1－pcn)2＝(cn＋2－pcn＋1)(cn－pcn－1)对一切n≥2，n∈N*均成立.将cn＝2n＋3n代入上式，得[2n＋1＋3n＋1－p(2n＋3n)]2＝[2n＋2＋3n＋2－p(2n＋1＋3n＋1)][2n＋3n－p(2n－1＋3n－1)]，整理得(2－p)(3－p)＝0，解得p＝2或p＝3.
(2)设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列.
课堂小结
1.牢记3个知识点
(1)等比数列的概念.
(2)等比数列的通项公式.
(3)等比中项.
课堂小结
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3
1.(多选)下列说法正确的有( )
A.等比数列中的项不能为0
B.等比数列的公比的取值范围是R
C.若一个常数列是等比数列，则公比为1
D.22，42，62，82，…成等比数列
AC
2.在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于( )
A.16 B.16或－16
C.32 D.32或－32
C
3.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )
A.4 B.8 C.6 D.32
C
C
5.(多选)已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的值可能是( )
BC
±4
7.在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________________.
80，40，20，10
8.若等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2，则an＝________；若{bn}是等比数列，且b2＝a3，b3＝a7，b6＝ak，则k＝________.
2n＋2
63
解析 由a4－a3＝2知等差数列{an}的公差d＝2，又a1＋a2＝2a1＋d＝10，故a1＝4，则an＝2n＋2，所以b2＝8，b3＝16，得等比数列{bn}的公比q＝2，b1＝4.又b6＝ak，故2k＋2＝4×26－1，解得k＝63.
9.在等比数列{an}中.
(1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n；
(2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
解 (1)∵an＝a1·qn－1，∴4×2n－1＝128，
∴2n－1＝32，∴n－1＝5，n＝6.
(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式.
解 ∵a3＝a1·q2，即8＝2q2，
∴q2＝4，∴q＝±2.
当q＝2时，an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n，
当q＝－2时， an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n，
∴数列{an}的公比为2，通项公式为an＝2n或公比为－2，
通项公式为an＝(－1)n－12n.
11.已知函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，则下列条件能使数列{an}是等比数列的是( )
C
解析 由f(x)＝logax(a>0，a≠1)，令y＝logax，可得x＝ay.
故对A，有an＝a2n，非等比数列；
对B，an＝an2，非等比数列；
对C，an＝a2n，为等比数列；
12.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，若am≤128，则正整数m的最大值是( )
A.7 B.8
C.9 D.10
B
若am≤128，则2m－1≤128，解得m－1≤7，
所以m≤8，
正整数m的最大值是8.
13.设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有两实根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.
14.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N*)，则a53的值为( )
C
本课结束(共50张PPT)
第4章 数列
第二课时 等比数列的性质及实际应用
课标要求
1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
素养要求
通过推导等比数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养；通过利用等比数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.
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1
一、等比数列的性质
1.思考 若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列吗？
提示 不一定.反例：若{an}为：1，－1，1，－1，…，{bn}为－1，1，－1，1，…，则{an＋bn}为：0，0，0，0，…，显然不是等比数列.
2.填空 (1)若{an}是公比为q的等比数列，则an＝am·qn－m(n，m∈N*).
ap·aq
积
等比
温馨提醒 在构造新的等比数列时，要注意新数列中有的项是否为0，比如公比q＝－1时，连续相邻偶数个项的和都是0，故不能构成等比数列.
3.做一做 (多选)若数列{an}是等比数列，则下面四个数列中也一定是等比数列的有( )
CD
二、等比数列在实际问题中的应用
1.思考 等比数列实际应用问题的关键是什么？
提示 建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题.
温馨提醒 能建立等比数列模型的实际问题，必须是离散型的问题，且这些离散的量之间是倍数关系的问题.
2.做一做 在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________.
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2
例1 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数.
题型一 灵活设项求解等比数列
思维升华
训练1 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
例2 已知{an}为等比数列.
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
题型二 等比数列性质的应用
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
迁移1 在例2(1)中，添加条件a1a7＝4，求an.
迁移2 把例2(2)的条件改为“公比为3，a1a2a3…a30＝3300”，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
巧用等比数列的性质解题
基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；
优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量.
思维升华
A
16
题型三 等比数列的实际应用
例3 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值；
解 从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，
首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，
∴an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1.
∴n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n万元.
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
解 由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，
∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元.
求解此类问题应先把实际问题转化为等比数列问题，在建立等比数列模型后，运算中往往要运用指数运算等，要注意运算的准确性，对于近似计算问题，答案要符合题设中实际问题的需要.
思维升华
训练3 画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________.
2 048
课堂小结
1.牢记2个知识点
(1)an＝am·qn－m(m，n∈N*).
(2)等比数列项的运算性质.
2.掌握2种常用方法
(1)等比数列的常见设法.
(2)解决等比数列的问题，通常考虑两种方法：
①基本量法：利用等比数列的基本量a1，q，先求公比，后求其他量.
②数列性质：等比数列相邻几项的积成等比数列、与首末项等距离的两项的积相等、等比中项的性质等在解题中经常被用到.
课堂小结
3.注意1个易错点
解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列.在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算，不要在运算中出现问题.
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3
1.在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根，则a4a16＋a10＝( )
A.6 B.2 C.2或6 D.－2
B
2.在正项等比数列{an}中，a2a7＝4，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝( )
A.2 B.4 C.6 D.8
D
3.等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前6项的和为( )
A.－24 B.－3 C.3 D.8
A
4.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为( )
D
5.(多选)已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋
am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是( )
AC
A.数列{bn}为等比数列，公比为qm
B.数列{bn}为等比数列，公比为q2m
C.数列{cn}为等比数列，公比为qm2
D.数列{cn}为等比数列，公比为qmm
6.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.
-6
7.已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________.
8
-2
9.已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值.
解 ∵{an}为等比数列，
∴a3a7＝a1a9＝64.
又∵a3＋a7＝20，
∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4.
10.已知数列{an}为等比数列.
(1)若an>0，且a1a5＋2a3a5＋a3a7＝36，求a3＋a5的值；
(2)若数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项.
解 设等比数列{an}的公比为q，
∵a2－a5＝42，∴q≠1.
11.(多选)已知数列{an}为等比数列，则下面式子对任意正整数k都成立的是( )
A.akak＋1>0 B.akak＋2>0
C.akak＋1ak＋2>0 D.akak＋1ak＋2ak＋3>0
BD
13.某公司在转型改制过程中，其销售额受到严重影响，从2021年的7月销售收入128万元，9月跌至32万元，你能求出该公司7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时候跌至每月销售收入8万元？
解 设每月平均下降的百分比为x，则每月的销售收入构成了等比数列{an}，a1＝128，则a2＝a1(1－x)，
a3＝a1(1－x)2＝128(1－x)2＝32，
解得x＝50%.
设an＝8，由an＝128(1－50%)n－1＝8，解得n＝5，即从2021年7月算起第5个月，也就是在2021年的11月该公司的销售收入跌至8万元.
D
本课结束
