北师版高中数学必修第一册2.3 函数的单调性(一) 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
第二章　函　数
§3　函数的单调性(一)
1.理解单调区间、单调性等概念；
2.会划分函数的单调区间，判断单调性；
3.会用定义证明函数的单调性.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
知识点一　函数单调性
思考1　画出函数f(x)＝x、f(x)＝x2的图像，并指出f(x)＝x、f(x)＝x2的图像的升降情况如何？
答案　两函数的图像如右：
函数f(x)＝x的图像由左到右是上升的；
函数f(x)＝x2的图像在y轴左侧是下降的，
在y轴右侧是上升的.
一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图像在某区间上上升，则函数在该区间上是增加的(或是递增的).反之则是减少的(或是递减的)，相应区间称为单调区间.
答案
问题导学 　　　　新知探究 点点落实
答案
思考2　用图像在某区间上上升(或下降)来描述函数单调性很直观，课本为什么还要用定义刻画单调性？
答案　因为很多时候我们不知道函数图像是什么样的.
一般地，在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，就称函数y＝f(x)在该子集上具有单调性；如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，就称这个函数是增函数或减函数，统称为单调函数.
增加的
递增的
减少的
递减的
答案
知识点二　函数的单调区间
思考　我们已经知道f(x)＝x2的减区间为(－∞，0]，f(x)＝ 的减区间为
(－∞，0)，这两个减区间能不能交换？
答案　f(x)＝x2的减区间可以写成(－∞，0)，
返回
一般地，有下列常识：
(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开.
(2)单调区间是定义域的子集.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.
解析答案
题型探究 　　　　重点难点 个个击破
类型一　求单调区间并判断单调性
例1　(1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增加的还是减少的？
解　y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上是减少的，在区间[－2,1]，[3,5]上是增加的.
解析答案
反思与感悟
(2)写出y＝x2－3|x|＋2的单调区间.
反思与感悟　函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增加的，要么是减少的，不能二者兼有.
解析答案
跟踪训练1　(1)根据右图说出函数在每一单调区间上，函数是增加的还是减少的；
解　函数在[－1,0]，[2,4]上是减少的，
在[0,2]，[4,5]上是增加的.
解析答案
(2)写出y＝|x2－2x－3|的单调区间.
所以y＝|x2－2x－3|在区间(－∞，－1]，
[1,3]上是减少的；
在[－1,1]，[3，＋∞)上是增加的.
解析答案
类型二　证明单调性
例2　(1)物理学中的玻意耳定律p＝ (k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试用函数的单调性证明之；
证明　根据单调性的定义，
设V1，V2是定义域(0，＋∞)上的任意两个实数，且V1由V10.
由V1，V2∈(0，＋∞)，得V1V2>0.
又k>0，于是p(V1)－p(V2)>0，即p(V1)>p(V2).
也就是说，当体积V减小时，压强p将增大.
解析答案
(2)已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是增函数.
证明　方法一　设x1，x2是实数集上的任意两个实数，且x1>x2.
令x＋y＝x1，y＝x2，则x＝x1－x2>0.
f(x1)－f(x2)＝f(x＋y)－f(y)＝f(x)＋f(y)－1－f(y)＝f(x)－1.
∵x>0，∴f(x)>1，f(x)－1>0，
∴函数f(x)在R上是增函数.
方法二　设x1>x2，则x1－x2>0，从而f(x1－x2)>1，即f(x1－x2)－1>0.
f(x1)＝f[x2＋(x1－x2)]＝f(x2)＋f(x1－x2)－1>f(x2)，
故f(x)在R上是增函数.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
反思与感悟
运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1反思与感悟
解析答案
证明　设x1，x2是实数集R上的任意实数，且1≤x1∵1≤x1即f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)解析答案
(2)已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0证明　∵对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，
令m＝1，n＝0，可得f(1)＝f(1)·f(0)，
∵当x>0时，0令m＝x<0，n＝－x>0，
∴f(x)f(－x)＝1，
∴对任意实数x，f(x)恒大于0.
设任意x10，
∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)f(x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，
∴f(x)是R上的减函数.
则f(m＋n)＝f(0)＝f(－x)·f(x)＝1，
又∵－x>0时，0∴0∴f(1)≠0，∴f(0)＝1.
类型三　用单调性解不等式
例3　(1)已知函数f(x)在区间(a，b)上是增加的，x1，x2∈(a，b)且f(x1)证明　假设x1，x2∈(a，b)且x1≥x2.
则由f(x)在区间(a，b)上是增加的，
得f(x1)≥f(x2)，与已知f(x1)故假设不成立.
∴x1解析答案
(2)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)解析答案
反思与感悟　若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小.
反思与感悟
解析答案
返回
跟踪训练3　在例3(2)中若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，
f(1－a)解　∵y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，
f(1－a)1
2
3
达标检测
4
1.已知函数f(x)＝－x2，则(　　)
A.f(x)在(－∞，－1)上是减函数
B.f(x)是减函数
C.f(x)是增函数
D.f(x)在(－∞，－1)上是增函数
5
D
答案
2.函数y＝ 的单调区间是(　　)
A.[0，＋∞)
B.(－∞，0]
C.(－∞，0)，(0，＋∞)
D.(－∞，0)∪(0，＋∞)
1
2
3
4
5
答案
C
3.下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1都有f(x1)>f(x2)的是(　　)
A.f(x)＝x2 B.f(x)＝
C.f(x)＝|x| D.f(x)＝2x＋1
1
2
3
4
5
B
答案
4.已知函数y＝f(x)满足：f(－2)>f(－1)，f(－1)A.函数y＝f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，在区间[－1,0]上单调递增
B.函数y＝f(x)在区间[－2，－1]上单调递增，在区间[－1,0]上单调递减
C.函数y＝f(x)在区间[－2,0]上的最小值是f(－1)
D.以上的三个结论都不正确
1
2
3
4
5
D
答案
5.f(x)在区间(a，b)，(c，d)上都是单调递增的，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1A.f(x1)f(x2)
C.f(x1)＝f(x2) D.不能确定
1
2
3
4
5
答案
D
规律与方法
1.若f(x)的定义域为D，A D，B D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减.
2.对增函数的判断，当x1返回
3.熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等.
4.若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增，②－f(x)单调递减.
本课结束