(共51张PPT)
第4章 数列
4.2.3 等差数列的前n项和
第一课时 等差数列的前n项和公式及相关性质
课标要求
1.探索并掌握等差数列的前n项和公式及相关性质，并能解决有关问题.2.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.
素养要求
在探索等差数列的前n项和公式及相关性质的过程中，发展学生的数学运算和逻辑推理素养.
问题导学预习教材
必备知识探究
内容
索引
互动合作研析题型
关键能力提升
拓展延伸分层精练
核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、数列{an}的前n项和
1.思考 数列1，3，5，7，9的和等于多少？
提示 1＋3＋5＋7＋9＝25.
2.填空 一般地，对于数列{an}，把a1＋a2＋…＋an称为数列{an}的前n项和，记作______.
Sn
3.做一做 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋4，则an＝____________.
二、等差数列的前n项和公式
1.思考 (1)请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题：
从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？
提示 诗中文字有对称性；S＝2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝2(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)，根据对称性，可先取其一半来研究.其数的个数较少，大家很容易求出答案.
(2)对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.
2.填空 (1)等差数列的前n项和公式
3.做一做 记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
C
三、等差数列前n项和的性质
1.思考 设等差数列{an}的前n项和为Sn，你能发现Sn与S2n的关系吗？
提示 S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列.
12
3.做一做 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝2，S8＝6，则S12＝________.
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2
例1 在等差数列{an}中：
(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；
题型一 等差数列前n项和公式的基本运算
(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.
等差数列中基本计算的两个技巧
(1)利用基本量求值
思维升华
(2)利用等差数列的性质解题
训练1 (1)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1＝－2 018，S6－2S3＝18，则S2 022＝( )
A.－2 018 B.2 018
C.2 019 D.6 066
D
(2)(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，当首项a1和公差d变化时，若a1＋a8＋a15是定值，则下列各项中为定值的是( )
A.a7 B.a8
C.S15 D.S16
BC
例2 (1)已知等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；
题型二 等差数列前n项和性质的应用
解 法一 在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，∴30，70，S3m－100成等差数列.
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
思维升华
训练2 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18等于( )
A.36 B.18 C.72 D.9
A
C
题型三 求数列{| an |}的前n项和
思维升华
训练3 在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且5a1a3＝(2a2＋2)2.
(1)求d，an；
解 因为5a1a3＝(2a2＋2)2，所以d2－3d－4＝0，解得d＝－1或d＝4.
故an＝－n＋11或an＝4n＋6.
(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
课堂小结
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3
1.已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项和S10＝( )
A.138 B.135 C.95 D.23
C
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则数列{an}的公差d等于( )
A.2 B.3 C.6 D.7
B
3.(多选)在等差数列{an}中，d＝2, an＝11，Sn＝35，则a1等于( )
A.－1 B.3 C.5 D.7
AB
4.(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，下列选项中可能是Sn的图象的是( )
ABC
解析 因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N*)，则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意.
5.等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
B
解析 由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝124，an＋an－1＋an－2＋an－3＝156，
∴4(a1＋an)＝280，∴a1＋an＝70.
6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.
7.设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
130
4(n＋1)2
2n2＋6n
9.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，求a9.
11.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
A.765 B.665 C.763 D.663
B
12.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
A.63 B.45 C.36 D.27
B
解析 由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，
即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，
所以a7＋a8＋a9＝45.
13.在等差数列{an}中，a1＝60，a17＝12，求数列{|an|}的前n项和.
本课结束(共49张PPT)
第4章 数列
第二课时 等差数列的前n项和的最值及应用
课标要求
1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.2.会求等差数列前n项和的最值.
素养要求
通过利用等差数列的前n项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.
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索引
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1
一、等差数列中前n项和的最值问题
1.思考 等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？
最大
最小
最小
最大
温馨提醒 (1)当a1>0，d>0时，Sn有最小值S1；当a1<0，d<0时，Sn有最大值S1；(2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一.
3.做一做 首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝S8，则当Sn取到最大值时，n的值为( )
A.4或5 B.5或6
C.6或7 D.7
B
解析 ∵S3＝S8，
∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0.
∵a1＞0，
∴a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＝0，a7＜0.
故当n＝5或6时，Sn最大.
二、等差数列前n项和的实际应用问题
1.思考 请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题.
提示 我们学校会议室里的一排排座位；超市里摆放的水果；工地上的一堆钢管等.
2.填空 (1)等差数列前n项和公式主要应用于求解实际问题中的总数问题，如材料的总数目、行程问题中的总行程等.只要是等差数列，就可以应用前n项和公式计算总数，求解时注意从实际问题中抽象出的数学模型要准确.
(2)应用等差数列解决实际问题的一般思路：
①根据题设条件，建立__________：
a.分析实际问题的结构特征；b.找出所含元素的数量关系；c.确定为何种数学模型.
②利用相关的__________加以解决：
a.分清首项、公差、项数等；b.分清是求an还是求Sn问题；c.选用适当的方法求解.
③把数学问题的解客观化，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解.
数学模型
数列知识
3.做一做 《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天
计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算).
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2
例1 (多选)在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为Sn(n∈N*)，则下列命题正确的是( )
A.若S3＝S11，则必有S14＝0
B.若S3＝S11，则S7是{Sn}中的最大项
C.若S7>S8，则必有S8
D.若S7>S8，则必有S6>S9
ABD
题型一 等差数列前n项和最值问题的判断
B
例2 在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值.
题型二 等差数列前n项和最值的计算
法二 同法一，求出公差d＝－2.
所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.
因为a1＝25>0，
又因为n∈N*，
所以当n＝13时，Sn有最大值，为S13＝169.
法三 因为S8＝S18，所以a9＋a10＋…＋a18＝0.
由等差数列的性质得a13＋a14＝0.
因为a1>0，所以d<0.
所以a13>0，a14<0.所以当n＝13时，Sn有最大值.
由a13＋a14＝0，得a1＋12d＋a1＋13d＝0，又a1＝25，
解得d＝－2，
法四 设Sn＝An2＋Bn.
因为S8＝S18，a1＝25，
所以Sn＝－n2＋26n，
所以S13＝169，
即Sn的最大值为169.
求等差数列前n项和的最值的方法有：(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解；(2)通项公式法，求使an≥0(an≤0)成立时最大的n即可.
思维升华
训练2 已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
解 由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
题型三 等差数列求和的实际应用
例3 7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大(只有1天)后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件.
(1)问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？
(2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行.问该款服装在社会上流行几天？
∵S13＝273>200，
∴当1≤n≤13时，由Sn>200，得12≤n≤13；
当14≤n≤31时，日销售量连续下降，由an<20，得23≤n≤31，∴该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日).
应用等差数列解决实际问题的一般思路：
思维升华
训练3 某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10.
(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；
解 由题意，知该地区9月份前10天每天新感染者人数构成一个首项a1＝40，公差d＝40的等差数列{an}，
所以9月10日的新感染者人数为a10＝40＋(10－1)×40＝400.
从9月11日起，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10，所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390.
(2)该地区9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？
9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项b1＝390，公差d1＝－10的等差数列{bn}，又b20＝390－10×19＝200，
课堂小结
2.掌握2种方法
(1)求等差数列前n项和最值的方法.
(2)解决与等差数列有关的应用题的思路.
3.注意1个易错点
研究前n项和Sn的最值时忽视值为0的项.
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3
1.已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为( )
A.11或12 B.12
C.13 D.12或13
D
2.若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和最大时，n的值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
B
3.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问：几日相逢？( )
A
A.4日 B.3日 C.5日 D.6日
解析 由题意，可知良马第n日行程记为an，则数列{an}是首项为97，公差为15的等差数列；驽马第n日行程记为bn，则数列{bn}是首项为92，公差为－1的等差数列，则an＝97＋15(n－1)＝15n＋82，bn＝92－(n－1)＝93－n.7
4.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝( )
A.35 B.32 C.23 D.38
A
5.(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论正确的是( )
A.d<0 B.a7＝0
C.S9>S5 D.S6与S7均为Sn的最大值
ABD
解析 ∵S5S8，
∴a6>0，a7＝0，a8<0.
∴d<0.
∴S6与S7均为Sn的最大值，
S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0，
∴S96.已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d＞0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是________.
6或7
7.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，数列{an}的前n项和最大.
8
解析 ∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.
∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a8>0，a9<0.
故前8项的和最大.
8或9
9.某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝－3，S5＝－10.
(1)求数列{an}的通项公式；
解 由题意得a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10，
解得a1＝－4，d＝1，
所以a5＝a1＋4d＝0，
故an＝a1＋(n－1)d＝n－5.
(2)求Sn的最小值.
解 令an≤0，则n≤5，即数列{an}中前4项为负，a5＝0，第6项及以后项为正.
∴Sn的最小值为S4＝S5＝－10.
B
A.4 B.5 C.6 D.4或5
12.若数列{an}是等差数列，首项a1>0，公差d<0，且a2 019(a2 018＋a2 019)>0，a20 20·
(a2 019＋a2 020)<0，则使数列{an}的前n项和Sn>0成立的最大自然数n是( )
A.4 039 B.4 038 C.4 037 D.4 036
B
13.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0.
(1)求公差d的取值范围；
解 ∵a3＝12，∴a1＝12－2d.
∵S12＞0，S13＜0，
(2)问前几项的和最大，并说明理由.
又由(1)知d＜0.
∴数列的前6项为正，从第7项起为负.
∴数列的前6项和最大.
14.已知数列{an}的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列(其中d1，d2为整数)，且对任意n∈N*，都有an3
11
∵对任意n∈N*，都有an∴a2k－1即1＋(k－1)d1<2＋(k－1)d2<1＋kd1，
取k＝2时，可得1＋d1<2＋d2<1＋2d1，
本课结束