(共47张PPT)
第4章 数列
第二课时 等比数列前n项和的性质及应用
课标要求
1.熟练应用等比数列前n项和的性质解题.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
素养要求
通过利用等比数列的前n项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.
问题导学预习教材
必备知识探究
内容
索引
互动合作研析题型
关键能力提升
拓展延伸分层精练
核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
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1
一、等比数列前n项和的性质
1.思考 类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？
2.填空 (1)性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是______数列.
等比
q
温馨提醒 等比数列前n项和的性质分为三类：第一类是项数的“奇、偶”性，主要描述数列奇数项和与偶数项和之间的关系；第二类是“片段和”性质：一个等比数列依次等项数之和也成等比；第三类是“相关和”性质，即Sn＋m＝Sn＋qnSm.因此，在运用性质时，一定要认清条件适合用哪一条性质，以免出错.
3.做一做 思考辨析，判断正误
√
√
√
×
二、等比数列前n项和的实际应用
1.思考 日常生活中的增长率、利润、利息、浓度匹配、养老保险等问题都与等比数列及其求和知识有关，如何解决这类问题？
提示 解答这些问题时，应在认真审题的基础上先将问题数学化，然后再函数化，最后数列化，即用数列的知识和方法求解实际问题.
2.填空 (1)解等比数列模型的求和应用题，一是直接运用公式求和；二是由特例入手，归纳总结一般情形，进而建立____________________，再求其和；三是寻找递推公式，把它转化为数列的问题.
(2)解等差数列、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的______数列、______数列问题，使关系明朗化、标准化，然后用等差数列、等比数列的知识求解.在建模时要明确是求n，an，还是Sn.
等比数列求和的模型
等差
等比
C
3.做一做 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地……”，则该人最后一天走的路程为( )
A.24里 B.12里 C.6里 D.3里
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2
例1 等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为( )
A.28 B.32
C.21 D.28或－21
A
题型一 等比数列的连续n项之和的性质
解析 ∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，
即7，S4－7，91－S4成等比数列，
∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.
∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，
∴S4＝28.
迁移1 将例题中的条件“S2＝7，S6＝91”改为“各项都为正数，Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值.
解 设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2，14－x，y－14成等比数列，
迁移2 将例题中条件“S2＝7，S6＝91”改为“公比q＝2，S99＝56”，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值.
法二 设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97，
b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98，
b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99，
则b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝56，
∴b1(1＋q＋q2)＝56.
函数等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1).
思维升华
训练1 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
法二 ∵{an}为等比数列，显然公比不等于－1，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
例2 已知一个项数为偶数的等比数列{an}，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式.
题型二 等比数列的不连续n项和的性质
解 设数列{an}的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶.
思维升华
训练2 已知等比数列{an}的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数.
解 设等比数列{an}的公比为q，项数为2n(n∈N*).
∴2n＝256，∴n＝8，
即公比q＝2，项数n＝8.
B
题型三 等比数列前n项和的实际应用
A.2 B.3 C.4 D.1
(1)解应用问题的核心是建立数学模型.
(2)一般步骤：审题、抓住数量关系，建立数学模型.
(3)注意问题是求什么(n，an，Sn).
思维升华
训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？
课堂小结
1.牢记1个知识点
等比数列的前n项和的性质.
2.掌握2种方法
(1)应用等比数列前n项和的性质时运用整体思想.
(2)构建数学模型.
3.注意1个易错点
对于某些数列问题，必须充分挖掘题目中隐含的条件(如n是奇数还是偶数)，若忽略这些隐含条件将导致错误.
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3
1.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 011，偶数项之和为2 022，则这个数列的公比为( )
A.8 B.－2 C.4 D.2
D
2.已知一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
B
C
ABD
5.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还粟的升数( )
D
6.正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于________.
40
7.一个球从256米的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半，则当它第6次着地时，共经过的路程是________米.
752
得210(S30－S20)＝S20－S10.
又S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，
9.已知等比数列{an}共有2n项，其和为255，且偶数项的和比奇数项的和大85，首项a1＝1，求此数列的公比和项数.
10.(1)设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，记{xn}的前n项和为Sn，求S20；
解 (1)∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，
∴xn＋1＝2xn，且xn>0，
∴{xn}为等比数列，且公比q＝2，
∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10 250.
(2)设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，求ba1＋ba2＋ba3＋…＋ba6.
解 设数列{bn}的公比为q，则q＝2.
11.已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于( )
A.40 B.60 C.32 D.50
B
解析 由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4，8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60.
12.若数列{xn}满足lg xn＋1＝1＋lg xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x100＝100，则lg(x101＋x102＋…＋x200)的值等于( )
A.200 B.120 C.110 D.102
D
13.某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出200万元进行技术研发与广告投资方能保持原有的利润增长率.问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg 2≈0.3)
解 设该项目n年后资金数为an，n∈N*.
则由已知得an＋1＝an(1＋25%)－200，
∵lg 2≈0.3，∴不等式化为0.1n≥1.2，∴n≥12.
故经过12年后，该项目资金可达到或超过翻两番的目标.
本课结束(共51张PPT)
第4章 数列
4.3.3 等比数列的前n项和
第一课时 等比数列的前n项和公式
课标要求
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式.2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.
素养要求
在探索等比数列的前n项和公式的过程中，发展学生的数学运算和逻辑推理素养.
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1
一、等比数列的前n项和公式
1.思考 设{an}为等比数列，首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，试推导Sn.
提示 法一 (错位相减法)Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1①.
在①式两边同乘q，得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn②.
由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，
2.填空
温馨提醒 (1)等比数列前n项和公式的推导方法一采用的是错位相减法，就是在前n项和式子的两边同乘公比，通过相减，可以抵消相同的项，从而得到等比数列前n项和Sn.这种方法一般适用于数列{anbn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1.
(2)当q＝1时，等比数列前n项和公式不能用错位相减法推导，因为此时等比数列是常数列，所以Sn＝na1.
B
由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为________.
(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是关于n的________函数(常数项为0的一次函数)，则数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点.
相反数
正比例
温馨提醒 我们可以得到利用等比数列前n项和判断数列{an}是否为等比数列的变形：Sn＝Aan＋B(a≠0，a≠1，AB≠0)，且A＋B＝0.
3.做一做 如果数列{an}的前n项和Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)，那么数列{an}________等比数列.(填“是”或“不是”).
是
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2
题型一 等比数列前n项和公式的应用
迁移1 设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，求此数列的公比q.
迁移2 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
思维升华
(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.
例2 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列.
题型二 等比数列前n项和公式的函数特征应用
解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式.
法一 由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，
故{an}不是等比数列.
法二 由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，－2≠－1，
故{an}不是等比数列.
思维升华
训练2 若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.
题型三 利用错位相减法求数列的前n项和
例3 设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
思维升华
训练3 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0).
课堂小结
1.牢记2个公式
课堂小结
2.掌握2种方法
(1)等比数列的通项公式和前n项和公式的基本量法.
(2)错位相减法.
3.注意1个易错点
前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况.
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3
1.设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于( )
D
2.在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于( )
A.33 B.72 C.84 D.189
C
解析 由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，
得q2＋q－6＝0.∵q>0，∴q＝2.
∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝q2·S3＝22×21＝84.
3.等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝( )
B
C
BD
32
3n－1
2n－1
9.在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和.
解②得q＝3或q＝1.
由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合题意，应舍去.故公比q＝3，首项a1＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 bn＝an·3n＝(2n－1)·3n，
∴数列{bn}的前n项和
11.(多选)在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是( )
A.q＝2
B.数列{Sn＋2}是等比数列
C.S8＝510
D.数列{log2an}是公差为2的等差数列
ABC
解析 ∵a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，
∴a1(1＋q3)＝18，a1(q＋q2)＝12，又公比q为整数，故a1＝q＝2，故A正确；
∴数列{Sn＋2}是首项为4，公比为2的等比数列，故B正确；
由B知S8＝29－2＝510，故C正确；
由B知log2an＝n，数列{log2an}是公差为1的等差数列，故D错误.
－2
13.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上.
(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？
解 因为点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，
所以an＋1＝3Sn＋1，
当n≥2时，an＝3Sn－1＋1.
于是an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)，所以an＋1－an＝3an，所以an＋1＝4an.
又当n＝1时，a2＝3S1＋1，得a2＝3a1＋1＝3t＋1，
所以当t＝1时，a2＝4a1，此时，数列{an}是等比数列.
(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
C
显然当n＝1时，也适合，所以an＝2n－1(n∈N*).
令2an－n＝bn，所以bn＝2n－n，
本课结束
