(共52张PPT)
第2章 圆与方程
2.1 圆的方程
第一课时 圆的标准方程
课标要求
1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程.2.会根据已知条件求圆的标准方程.3.能准确判断点与圆的位置关系.
素养要求
通过探索圆的标准方程并运用方程解决问题，培养数学抽象及数学运算素养.
问题导学预习教材
必备知识探究
内容
索引
互动合作研析题型
关键能力提升
拓展延伸分层精练
核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、圆的定义及标准方程
1.思考 (1)圆是怎样定义的？确定它的要素是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？
提示 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
确定圆的要素：圆心和半径，
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
(2)已知圆的圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出该圆的方程吗？
2.填空 (1)圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆.其中定点就是圆心，定长就是半径.
(2)圆的标准方程
圆 特殊情况 一般情况
圆心 (0，0) (a，b)
半径 r(r>0) r(r>0)
标准方程 __________ _____________________
x2＋y2＝r2
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
温馨提醒 (1)确定圆的标准方程的关键是确定圆心和半径.
(2)下列情况比较适用圆的标准方程：
①在已知圆心、圆的半径时，可以直接使用公式；
②在已知圆心，圆经过一个定点时，可以先利用两点间的距离公式，求解半径.
B
3.做一做 经过点(2，2)，圆心为C(1，1)的圆的方程是( )
二、点与圆的位置关系
1.思考 点M0(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2内的条件是什么？在圆x2＋y2＝r2外的条件又是什么？
提示 点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径.
位置 关系 d与r的大小 图示 点P的坐
标的特点
点在圆外 d____r (x0－a)2＋(y0－b)2____r2
>
>
在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2____r2
点在圆内 d____r (x0－a)2＋(y0－b)2____r2
＝
<
<
温馨提醒 点与圆位置关系的判断方法
(1)几何法：根据点到圆心的距离d与半径r的大小关系判断.
(2)代数法：根据点的坐标与圆的方程的关系判断.
3.做一做 点P(1，3)与以A(2，－1)为圆心，半径为5的圆的位置关系为( )
A.在圆上 B.在圆内
C.在圆外 D.无法确定
B
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
角度1 直接法求圆的标准方程
例1 (1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为____________________.
题型一 求圆的标准方程
(x＋5)2＋(y＋3)2＝25
解析 ∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，
∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(x－2)2＋y2＝9
角度2 待定系数法求圆的标准方程
例2 求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.
解 法一(待定系数法)
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
法二(直接法)
由题意知，OP是圆的弦，其垂直平分线方程为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
1.用直接法求圆的标准方程的策略
(1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.
(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点为圆心”等.
思维升华
2.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
训练1 求下列圆的标准方程：
(1)圆心是(4，－1)，且过点(5，2)；
(2)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
解 (1)∵圆心为(4，－1)，且过点(5，2)，
∴(4＋b)2＝16＝42，
∴4＋b＝4或4＋b＝－4，
∴b＝0或b＝－8，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
(3)求过两点C(－1，1)和D(1，3)，圆心在x轴上的圆的标准方程.
解 设圆心为M(a，0)，∵MC＝MD，
∴(a＋1)2＋(0－1)2＝(a－1)2＋(0－3)2，
即a2＋2a＋1＋1＝a2－2a＋1＋9，
例3 已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值
范围.
题型二 点与圆的位置关系的判断
解 由题意，得点A在圆C上或圆C的外部，
∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，
判断点与圆位置关系的两种方法
(1)几何法：利用点到圆心的距离d与半径r比较大小.
(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程来判断：
点P(x0，y0)在圆C上 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
点P(x0，y0)在圆C内 (x0－a)2＋(y0－b)2点P(x0，y0)在圆C外 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2.
思维升华
A
题型三 圆的标准方程的实际应用
例4 如图所示是一座圆拱桥，当水面距拱顶2 m时，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽多少米？(结果保留两位小数)
解 以拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴建立直角坐标系如图，设圆拱所在圆的圆心为C，当水面距拱顶2 m时，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2).
设圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，
将A(6，－2)代入方程，得r＝10，
∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.
当水面下降1 m后，可设点A′(x0，－3)·(x0>0)，
解决圆的标准方程的实际应用题时应注意以下几个方面
思维升华
训练3 一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的蓬顶距地面的高度不得超过多少米？(结果保留一位小数)
解 建立如图所示的平面直角坐标系.设蓬顶距地面高度为h，
则A(0.8，h－3.6)，半圆所在圆的方程为x2＋(y＋3.6)2＝3.62.
因此这辆卡车的蓬顶距地面的高度不得超过3.5米.
课堂小结
1.牢记2个知识点
(1)圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0).
(2)点与圆的位置关系.
2.重点掌握2种方法
(1)求圆的标准方程的方法.
(2)判断点与圆的位置关系的方法.
3.注意1个易错点
本节课的易错点是求圆的标准方程时易漏解.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
C
2.圆心是C(－3，4)，半径长为5的圆的方程为( )
A.(x－3)2＋(y＋4)2＝5
B.(x－3)2＋(y＋4)2＝25
C.(x＋3)2＋(y－4)2＝5
D.(x＋3)2＋(y－4)2＝25
D
3.已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是( )
A.x＋y－2＝0 B.x－y＋2＝0
C.x＋y－3＝0 D.x－y＋3＝0
D
解析 圆x2＋(y－3)2＝4的圆心坐标为(0，3)，
又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，
所以直线l的斜率k＝1.
由点斜式，得直线l的方程为y－3＝x－0，
化简得x－y＋3＝0.
4.若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
D
解析 圆的圆心为(－a，－b).∵直线经过第一、二、四象限，
∴a<0，b>0，即－a>0，－b<0，∴圆心在第四象限.
5.(多选)已知圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是( )
A.圆M的圆心为(4，－3)
B.圆M的圆心为(－4，3)
C.圆M的半径为5
D.圆M被y轴截得的线段长为6
ACD
解析 由圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52，
得圆心为(4，－3)，半径为5，则A，C正确；
令x＝0，得y＝0或y＝－6，故圆M被y轴截得的线段长为6，故D正确.
6.已知A(－1，4)，B(5，－4)，则以AB为直径的圆的标准方程是
________________.
(x－2)2＋y2＝25
7.与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共圆心，且过点P(－1，1)的圆的标准方程是____________________.
(x－2)2＋(y＋3)2＝25
解析 圆心为(2，－3)，设所求圆的半径为r，则r2＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝25.所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
8.圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________.
9.求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程.
∵点C在直线x－2y－3＝0上，
∴可设点C的坐标为(2a＋3，a).
法二 设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
10.已知圆过点A(1，－2)，B(－1，4).
(1)求周长最小的圆的方程；
(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程.
1
27
12.已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与两坐标轴都相切，则圆C的标准方程为__________________；与圆C关于直线x－y＋2＝0对称的圆的方程为____________.
(x＋2)2＋(y－2)2＝4
x2＋y2＝4
解析 由题意可得圆心为C(－2，2)，半径为2，所以圆C的标准方程为
(x＋2)2＋(y－2)2＝4.
故所求圆的圆心为(0，0)，半径为2.
所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝4.
13.已知圆M过A(1，－1)，B(－1，1)两点，且圆心M在直线x＋y－2＝0上.
(1)求圆M的方程.
解 设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
(2)若圆M上存在点P，使OP＝m(m>0)，其中O为坐标原点，求实数m的取值范围.
14.已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在AD边所在的直线上.
(1)求AD边所在直线的方程；
解 因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3.
又点T(－1，1)在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为
y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0.
(2)求矩形ABCD外接圆的标准方程.
解得点A的坐标为(0，－2).
因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M(2，0)，
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心.
本课结束(共55张PPT)
第2章 圆与方程
第二课时 圆的一般方程
课标要求
1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.2.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程，并能用圆的一般方程解决简单问题.
素养要求
通过推导圆的一般方程，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
问题导学预习教材
必备知识探究
内容
索引
互动合作研析题型
关键能力提升
拓展延伸分层精练
核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、圆的一般方程的定义
1.思考 (1)如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆，有什么条件？
(2)如果方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆，有什么条件？
D2＋E2－4F>0
D2＋E2－4F<0
温馨提醒 圆的标准方程和一般方程有如下关系：
(1)由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，可以直接看出圆心坐标(a，b)和半径r，圆的几何特征明显.
(2)由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程，圆的代数特征明显.
(3)
3.做一做 若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________.
4
二、点与圆的位置关系
1.填空 已知点M(x0，y0)和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表：
>
＝
1
B
即26a<26，又知a≥0，
故解得0≤a<1.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.
题型一 圆的一般方程的概念
解 由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法
(1)配方法.对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆.
(2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆.
思维升华
特别提醒 在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数为1.
训练1 (1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别
为__________________；
(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________.
9π
例2 已知△ABC三个顶点的坐标为A(1，3)，B(－1，－1)，C(－3，5).
(1)求这个三角形外接圆的一般方程；
题型二 圆的一般方程的求法
解 法一 设所求圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
∵此圆过A，B，C三点，
∴r2＝10.
∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10，
即圆的一般方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
联立解得圆心坐标为(－2，2).
设圆的半径为r，则r2＝(1＋2)2＋(3－2)2＝10，
∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10，
即圆的一般方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
∴kAB·kAC＝－1，
∴AB⊥AC，
∴△ABC是以∠A为直角的直角三角形，
∴外接圆圆心为BC的中点，即(－2，2)，
∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10，
即圆的一般方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
(2)并判断点M(1，2)，N(4，5)，Q(2，3)与圆的位置关系.
解 ∵M(1，2)，
∴12＋22＋4×1－4×2－2＝－1<0，
∴点M(1，2)在圆内.
∵N(4，5)，
∴42＋52＋4×4－4×5－2＝35>0，
∴点N(4，5)在圆外.
∵Q(2，3)，
∴22＋32＋4×2－4×3－2＝7>0，
∴点Q(2，3)在圆外.
本题法一、法二中采用了待定系数法.用待定系数法求圆的方程时：
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
法三则是充分利用了圆的性质：“弦的中垂线过圆心”.通过求两条弦的中垂线的交点求出圆心，再求出半径后写出圆的标准方程，再将标准方程化成一般方程.
思维升华
训练2 已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标.
解 设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
将A，B，C三点坐标代入上式得
∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0，
即(x＋3)2＋(y－1)2＝25，
∴△ABC的外接圆圆心为(－3，1)，
即△ABC的外心坐标为(－3，1).
题型三 求动点的轨迹方程
角度1 直接法求轨迹方程
角度2 代入法求轨迹方程
例4 已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程.
角度3 定义法求动点的轨迹方程
例5 已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程.
解 法一 设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，
所以x≠3，且x≠－1.
化简，得x2＋y2－2x－3＝0.
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).
法二 同法一，得x≠3，且x≠－1.
由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，
即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).
法三 设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1，0).
由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).
设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1).
求轨迹方程的三种常用方法
(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明.
(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.
(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程.
思维升华
特别提醒 在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，故应排除不合适的点.
训练3 已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.
解 以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，
则点A(－2，0)，B(2，0).设C(x，y)，BC中点D(x0，y0).
∵点C不能在x轴上，
∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点.
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).
课堂小结
1.牢记2个知识点
(1)圆的一般方程.
(2)点与圆的位置关系.
2.重点掌握3种方法
(1)二元二次方程表示圆的判定方法.
(2)待定系数法求圆的方程.
(3)代入法求轨迹方程的一般步骤.
3.注意1个易错点
易错点是忽略二元二次方程表示圆的条件.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为( )
A.8π B.4π C.2π D.π
C
2.(多选)下列结论正确的是( )
ABD
解析 A，B显然正确；C中方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝0，
所以表示点(－1，3)；D正确.
3.(多选)若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，则直线x＋ay＋b＝0一定经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
ABC
C
A.x2＋y2－2x＋4y＝0
B.x2＋y2＋2x＋4y＝0
C.x2＋y2＋2x－4y＝0
D.x2＋y2－2x－4y＝0
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
即x2＋y2＋2x－4y＝0.
5.圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是( )
A.(x＋1)2＋(y－2)2＝5
B.(x＋4)2＋(y－1)5＝5
C.(x＋2)2＋(y－3)2＝5
D.(x－2)2＋(y＋3)2＝5
C
6.已知点A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，则实数m的取值范围是____________.
(－∞，－13)
解析 因为A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，
所以1＋4＋2＋6＋m＜0，
解得m＜－13.
7.过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程为__________________.
x2＋y2－8x＋6y＝0
8.过原点O作圆x2＋y2－8x＝0的弦OA，延长OA到N，使OA＝AN，则点N的轨迹方程为________________.
x2＋y2－16x＝0
化简，得x2＋y2－16x＝0.
所以点N的轨迹方程为x2＋y2－16x＝0.
9.已知P是圆x2＋y2＝16上的动点，A(12，0)，M为PA的中点，求点M的轨迹方程.
解 设M(x，y)，
∵A(12，0)，M为PA的中点，
∴P(2x－12，2y).
∵P为圆x2＋y2＝16上的动点，
∴(2x－12)2＋4y2＝16，
即(x－6)2＋y2＝4.
故所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝4.
解 法一 设圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， ①
解②③⑤联立成的方程组，
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
法二 求得PQ的中垂线方程为x－y－1＝0.①
∵所求圆的圆心C在直线①上，
故设其坐标为C(a，a－1)，
AC
12.已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是____________；最长弦所在直线的方程为____________.
x＋y－1＝0
x－y－1＝0
13.设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作 MONP，求点P的轨迹.
解 如图所示，
又点N在圆x2＋y2＝4上，
故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
14.若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为( )
B
本课结束
