(共57张PPT)
第3章 圆锥曲线与方程
3.1.2 椭圆的几何性质
第一课时 椭圆的几何性质
课标要求
1.掌握椭圆的简单几何性质.2.能根据几何条件求出椭圆方程，利用椭圆的方程研究它的性质并画出图形.
素养要求
通过研究椭圆的几何性质，提升数学抽象与数学运算素养.
问题导学预习教材
必备知识探究
内容
索引
互动合作研析题型
关键能力提升
拓展延伸分层精练
核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、椭圆的简单几何性质
你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？
椭圆上哪些点比较特殊？
提示 范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点；顶点：A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b).
2.填空 椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
x轴、y轴
2a
2b
原点
(0，1)
温馨提醒 (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.
二、离心率
1.思考 (1)椭圆的离心率是如何影响椭圆的扁圆程度的？
(0，1)
3.做一做 若一个椭圆的长轴长与焦距的和等于短轴长的2倍，则该椭圆的离心率是( )
B
解析 由题意知，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，
又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，
即5e2＋2e－3＝0，
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2
例1 求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标.
题型一 椭圆的简单几何性质
解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准方程，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性质.
思维升华
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质.
例2 分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
题型二 由椭圆的几何性质求方程
在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b，这就是我们常用的待定系数法.
思维升华
训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
角度1 求离心率
题型三 求椭圆的离心率
∵b2＝a2－c2，∴(*)式可化简为
3a4－7a2c2＋2c4＝0，
角度2 求离心率的取值范围
迁移1 本例中，把条件改为“点P与短轴端点重合，且△PF1F2为等腰直角三角形”，求椭圆的离心率.
解 由题意，知c>b，
∴c2>b2.
又b2＝a2－c2，
思维升华
课堂小结
1.牢记椭圆的7个性质
2.掌握研究椭圆的几何性质的2种方法
(1)“先定型，再定量”求出椭圆方程，再研究几何性质.
(2)求离心率的常用方法.
3.注意1个易错点
忽略对焦点在哪条坐标轴上的讨论.
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3
D
D
BC
A.点(－3，－2)不在椭圆上
B.点(3，－2)在椭圆上
C.点(－3，2)在椭圆上
D.无法判断点(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)是否在椭圆上
解析 由椭圆的对称性知点(－3，－2)，(－3，2)，(3，－2)均在椭圆上.
A
5.椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是( )
C
∴t＝1，∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝16.
9.分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：
∴a＝3，c＝2.
∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2上
的中线(高)，且OF＝c，A1A2＝2b，
10.我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星(其半径R＝34百公里)的中心F为右焦点的椭圆.已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里.求该探测器的运行轨道方程.
∵a＋c＝800＋34，a－c＝8＋34，
∴a＝438，c＝396.
于是b2＝a2－c2＝35 028.
BD
因为2a＝6，所以a＝3，c＝2，所以b2＝a2－c2＝9－4＝5.
12.如图，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为________，短轴长为
________，离心率为________.
12 cm
13.已知椭圆E的中心为坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1，0)，一个顶点为H(2，0).
解 由题意可得c＝1，a＝2，
∴b2＝a2－c2＝3.
(2)对于x轴上的点P(t，0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围.
∵－2∴实数t的取值范围为(－2，－1).
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本课结束(共58张PPT)
第3章 圆锥曲线与方程
第二课时 椭圆的方程与性质的应用
课标要求
1.进一步掌握椭圆的简单几何性质.2.会判断直线与椭圆的位置关系.3.能利用弦长公式解决相关问题.
素养要求
通过运用椭圆的几何性质解决问题，提升逻辑推理及数学运算素养.
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互动合作研析题型
关键能力提升
拓展延伸分层精练
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1
一、点与椭圆的位置关系
1.填空 (1)点与椭圆的位置关系
内
上
外
温馨提醒 处理点与椭圆的位置关系问题时，应紧扣判定条件，然后转化为解不等式问题，注意求解过程与结果的准确性.
>
<
＝
B
二、直线与椭圆的位置关系
1.思考 类比直线与圆的位置关系，想一想直线与椭圆有怎样的位置关系？
提示
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 解 Δ 0
相切 解 Δ 0
相离 无解 Δ 0
两
>
一
＝
<
温馨提醒 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.
相交
三、弦长公式
1.思考 直线与圆相交求弦长的两种方法？
提示 (1)利用半径r、弦心距d和弦长的一半构成直角三角形，结合勾股定理进行求解.
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得.
温馨提醒 (1)解决弦长问题，一般运用弦长公式.而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程.
(2)涉及弦长问题，应联立直线与椭圆的方程，并设法消去未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，由韦达定理得到x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)，代入到弦长公式即可.
1
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2
例1 当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144分别满足下列条件：
(1)有且仅有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)无公共点？
题型一 直线与椭圆位置关系的判断
得9x2＋16(x＋m)2＝144，
整理得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，
Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝－576m2＋14 400.
(1)当Δ＝0时，得m＝±5，此时直线l与椭圆有且仅有一个公共点；
(2)当Δ>0时，得－5(3)当Δ<0时，得m<－5或m>5，此时直线l与椭圆无公共点.
判断直线与椭圆的位置关系，可以直接由直线方程和椭圆方程联立后，通过消元得到关于x(或y)的一元二次方程，然后利用判别式判断即可；有些题目也可注意直线所恒过的点与椭圆的位置关系，从而得到所求范围.
思维升华
题型二 直线与椭圆的相交弦问题
即5x2＋2mx＋m2－1＝0.(*)
则Δ＝(2m)2－4×5×(m2－1)＝－16m2＋20>0，
设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2，
解得m＝0.
因此，所求直线的方程为y＝x.
(1)直线与椭圆相交，若已知弦长或已知弦长之间的关系，求直线的斜率或截距时，可通过弦长公式建立关于未知量的方程或不等式，求参数值或参数取值范围.
(2)在用根与系数的关系时要在判别式大于零的条件下.
思维升华
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
题型三 中点弦问题
代入椭圆方程得x2＋4[k(x－2)＋1]2＝16，
即得(1＋4k2)x2－(16k2－8k)x＋16k2－16k－12＝0，
∵直线与椭圆有两个交点，故Δ＝16(12k2＋4k＋3)>0.
法二 设弦的两个端点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆上，
∵点M(2，1)是PQ的中点，故x1≠x2，
涉及弦的中点，可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系，所得结果需检验是否符合题意.
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课堂小结
1.牢记3个知识点
(1)点与椭圆的位置关系.
(2)直线与椭圆的位置关系.
(3)弦长公式.
2.掌握3种方法
(1)设而不求法.
(2)公式法求弦长.
(3)点差法.
3.注意1个易错点
直线与椭圆相交时，不要忽略消元后的方程Δ>0，避免所求值无意义.
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3
A
C
3.直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是( )
A
4.(多选)若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则b的值可以是( )
AD
A
2
整理得7x2＋8x－8＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
A
A
消y整理得5x2＋8tx＋4t2－4＝0，
则Δ＝64t2－16×5(t2－1)>0，
14.(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则( )
ABD
本课结束
