2013-2014学年人教版七年级数学上册例题与讲解第一章1.1 正数和负数

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名称 2013-2014学年人教版七年级数学上册例题与讲解第一章1.1 正数和负数
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资源类型 教案
版本资源 人教版(新课程标准)
科目 数学
更新时间 2014-11-06 12:52:10

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1.1 正数和负数
1.正数和负数
(1)正数的概念
小学学过的数除零以外,都是大于0的数,这 ( http: / / www.21cnjy.com )样的数叫做正数.如:3,0.25,+,….正数前面加“+”(正)号,有时根据需要“+”可以省略不写.
(2)负数的概念
在正数的前面加上符号“-”(负)的数叫做负数.如:-5,-0.25,-2,….注意:负数前面的“-”(负)号不能省略.
(3)一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号.
破疑点 对正数和负数的理解 要特别注意: ( http: / / www.21cnjy.com )“大于0”是正数的本质,当用字母表示数时,不能只看带不带“+”号,不要误认为“a”前面是正号就是正数,也不要以为“-a”前面带有“-”号就是负数,关键是看这个数是不是大于0.
【例1】 下面哪些是正数,哪些是负数?
-11,4.8,+73,-2.7,,-,-8.12,100.
分析:像4.8,+73,,100等比0大的数是正数.
像-11,-2.7,-,-8.12等在正数前面带有负号的数是负数.
解:正数是:4.8,+73,,100;
负数是:-11,-2.7,-,-8.12.
2.零的性质
(1)零既不是正数也不是负数,是介于正数和负数之间的唯一中性数,零是正、负数的分界.
(2)零是自然数,是整数,是偶数.
(3)0的意义在计数时表示“没有”.
(4)零是表示具有相反意义量的基准数.(此时它不能表示没有.)
例如:海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高,收支平衡可记作0元.
【例2】 判断下列说法是否正确.
(1)零是正数;(  )(2)零是整数;(  )
(3)零是非负数;(  ) (4)零是偶数.(  )
解析:(1)零既不是正数,也不是负数,故不 ( http: / / www.21cnjy.com )正确;(2)零是自然数,也是整数,故正确;(3)正数和零称为非负数,故正确;(4)4,2,0,-2,-4,……都是偶数,故正确.
答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√
3.相反意义的量
(1)含义:生产和生活中某 ( http: / / www.21cnjy.com )件事情常常存在与其相反或相对的另一面,如:“向左”与“向右”、“增加”与“减少”等,当它们与数字、单位结合在一起时就构成相反意义的量.
(2)应用方法:相反意义的量可用正数和 ( http: / / www.21cnjy.com )负数表示.至于哪一种量为正,可以自由确定,当已知一个量用正数表示时,与其相反意义的量就用负数表示,反之亦然.习惯上把“前进、上升、零上温度、增加”等规定为正,而把“后退、下降、零下温度、减少”等规定为负.
【例3-1】 (1)如果零上3 ℃记为+3 ℃,那么-7 ℃表示的意义是__________;
(2)如果下降3米记为-3米,那么上升5米应记为__________;
(3)如果前进5千米,记为+5千米,那么后退6千米应记为__________;
(4)支出10元人民币记账为-10元,那么+20元表示的意义是__________;
(5)某仓库运出货物20千克记为-20千克,那么运进35千克货物应记为__________.
解析:(1)零上3 ℃规定为+3 ℃,即“+”号表示“零上”,那么与它相反意义的量“零下”就规定为“-”.
(2)本小题的“-”号表示“下降” ( http: / / www.21cnjy.com ),因此,“上升”应记为“+”,也就是说,具有相反意义的两个量,把其中的一个规定为正时,那么另一个即为负.(3)~(5)小题类似.
答案:(1)零下7 ℃;(2)+5米;(3)-6千米;(4)收入20元人民币;(5)+35千克.
析规律 相反意义的量的规定习惯 题中的“零上、上升、前进、收入、运进、增产”表示的量均为正数,与它们意义相反的量则都用负数表示.
【例3-2】 用正负数表示下列相反意义的量.
(1)存入银行100元,从银行取出200元;
(2)高出海平面500米,低于海平面200米;
(3)超出正常体重5 kg,不足正常体重3 kg;
(4)汽车向左行驶20千米,向右行驶300千米.
分析:可人为规定相反意义量的一方为 ( http: / / www.21cnjy.com )正,则另一方为负.如可规定“存入、高出海平面、超出正常体重、汽车向左行驶”为正,则“取出、低于海平面、不足正常体重、向右行驶”即为负.
解:(1)存入银行100元记为+100元,则从银行取出200元记为-200元;
(2)高出海平面500米,记为+500米,则低于海平面200米可记为-200米;
(3)超出正常体重5 kg,记为+5 kg,则不足正常体重3 kg可记为-3 kg;
(4)汽车向左行驶20千米,记为+20千米,则向右行驶300千米记为-300千米.
4.运用正负数表示相反意义的量
在实际生活中,常常把零上的温度、上升的高度、收入、买入物品等规定为正的,而把与它们相反意义的量规定为负,用负数表示.引入负数后,“0”不再仅仅表示没有,而是正数和负数的分界线,具有初始位置的意义.
(1)相反意义的量基准明确
就是说变化过程方向明确,数量明确,不受其他数的影响,也不用关心起始点,此类问题只要规定好一个方面为正,则另一个方面为负就可以.
警误区 相反意义的量的理解 相反意义的量并不唯一,如:增加5千克与减少10千克和减少3千克都是相反意义的量.
(2)相反意义的量基准不明确
有些数据型的量,起点不是以0开始,需要把某一 ( http: / / www.21cnjy.com )个数值视为基准点0,如平均数等.,  【例4-1】 小王骑车向东走了10千米,又向西走了5千米.怎样用正负数表示?
分析:有两种表示方法,分向东或向西为正两种情况.
解:若规定向东为正,则小王骑车向东走了10千米,表示为+10千米,向西走了5千米,可表示为-5千米.
若规定向西为正,则小王骑车向东走了10千米,表示为-10千米,向西走了5千米,可表示为+5千米.
【例4-2】 如图,小王骑车从0点向东走了10千米到A点,接着又向西走了5千米到B点,规定向东为正,用正负数表示A,B两点.
分析:从0开始,小王向东走 ( http: / / www.21cnjy.com )了10千米,规定向东为正,则A点表示为+10;小王又向西走了5千米后,与0点的距离为5千米,且在0点东侧,于是B点表示+5.
解:A点表示+10,B点表示+5.
【例4-3】 某项科学研究,以45分钟为一个时间单位,规定9:15记为-1,10:45记为1,则上午7:45应该怎样记?
分析:关键是找到10时为基准点0.因为7:45到10时共有3个45分钟,故7:45记为-3.
解:7:45应记为-3.
5.正、负数的判断
在正数的前面加上“+”号,以强调它是正数,如正数3写作+3,通常“+”号省略不写;负数前面的“-”号不能省略,如负数5写作-5.
正数和负数是相对而言的, ( http: / / www.21cnjy.com )取决于作为基准的量,但一般情况下,人们习惯上这样来规定正数和负数:收入为正,支出为负;零上为正,零下为负;高出海平面为正,低于海平面为负.
判断一个数是否是负数,关键是看是否正数前面带有“-”号,而不是看它是否有“-”号.例如:-(-3)就不是负数.
警误区 正负数的有关名称 顾名思义,非负数表示不是负数的数,就是0或正数,同样非正数表示不是正数的数,虽然0既不是正数,也不是负数,但属于非负数或非正数.
【例5-1】 指出下列各数中,哪些是正数,哪些是负数.
-2,+2,0,3,204,-0.02,+3.65,-5.
分析:根据正数和负数的意义来判断.还要特别注意0既不是正数也不是负数.
解:+2,3,204,+3.65是正数;
-2,-0.02,-5是负数.
解技巧 负数的判定 认为凡是不带“- ( http: / / www.21cnjy.com )”号的数都是正数是错误的,“一个数不是正数就是负数”这是初学正负数概念时容易出现错误的地方.只有在正数的前面添上“-”号才是负数.
【例5-2】 判断下列说法是否正确.
(1)任意一个正数,前面加上“-”号,就是一个负数.
(2)大于零的数都是正数.
(3)字母a既是正数,又是负数.
分析:(1)负数就是正数前面加上负号的 ( http: / / www.21cnjy.com )数,故正确;(2)正数都是大于0的数,故正确;(3)字母既可以表示正数也可以表示负数,它是个未知数,故错误.
解:(1)对;(2)对;(3)错.
6.正负数计算时差的应用
在地理学中,经常用正数和负数来计算比较一个城市时间的早和晚.通常是把某一城市定为标准时间0,比它早的为正,比它晚的为负.
解技巧 时间转换 时间转换时要注意每昼夜是24小时.
【例6】 下面是几个城市与北京的时差,纽约:-13,巴黎:-7,东京:+1.如果北京现在是早上7:00,那么纽约、巴黎、东京分别是几时?
分析:关键:负数表示比北京晚的时间数.
解:纽约:-13表示比北京晚13小时,当北京是早上7:00时,纽约是前一天的18:00;巴黎比北京晚7小时,现在正好是前一天的24:00.东京比北京早1小时,现在是早上8:00.
7.正负数在股票交易中的应用
日常生活中水位的变化,股市行情变化,温度升降等都可以用正数和负数表示,不仅能表示出变化的方向,而且还能表示出变化幅度的大小.
例如:在股市上,上涨记为“+”,下跌记为“-”,不涨不跌记为“0”.
【例7】 王先生上周五买进某种股票3 000股,每股16元,下表为本周五个交易日的涨跌情况(单位:元):
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌 0.8 1.5 -0.5 -1.1 0.6
相对于前一个交易日,哪天股票是上涨的,哪天是下跌的?
分析:根据股票交易表示法,正数表示上涨,负数表示下跌.
解:周一、周二、周五这三天是上涨的,周三、周四是下跌的.
8.正负数在产品检测中的应用
某一产品质量是否合格,都有一定的指标数值,而实际生产的产品,可能在这一标准上下波动,波动值在规定的范围内称为合格,超出了规定值,则不合格.一般把产品的标准值记为0,在标准值以上的记为正,以下的记为负.
解技巧 正负数的应用技巧 抓住标 ( http: / / www.21cnjy.com )准数,标准以上记为“+”,标准以下记为“-”,即比标准数量多多少记为“+”的多少,少多少记为“-”的多少.
【例8】 某品牌奶粉标准质量454克.超出2克的记为+2克,若低于标准质量3克以上,则视为不合格.现抽取10袋进行检测,结果如下:
袋号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
记作 -2 0 3 -4 -3 -5 +4 +4 -5 -3
(1)这10袋中,有几袋不合格?
(2)质量最大的是哪袋?实际质量是多少?
(3)质量最小的是哪袋,实际质量是多少?
分析:是在基准数基础上的波动,所以在基准数基础上加减.
解:(1)有3袋不合格,分别是第4袋、第6袋、第9袋.
(2)质量最大的是第7,8袋,实际质量均是454+4=458(克);
(3)质量最小的是第6,9袋,实际质量均为454-5=449(克).
9.用正负数表示误差范围
生产中,虽然对产品的尺寸、质量等都设计了标准规格,但是,一般在实际加工中,每个产品不可能都做得与标准规格完全一样,通常在某个范围内,只要不影响使用,产品比标准规格稍大一点,或稍小一点,都属于合格品,而超出这个范围的产品就是不合格的了.
在生产和检验产品时,通常在生产图纸上,对 ( http: / / www.21cnjy.com )每个产品的合格范围有明确的规定.例如,图纸上注明一个零件的直径是(30±0.03)mm,这样标注表示零件直径的标准尺寸是30 mm,实际产品的直径最大可以是(30+0.03)mm,最小可以是(30-0.02)mm,在这个范围内的产品都是合格的,这里给出了允许误差的大小.允许误差一般用正负数的形式写出.
【例9-1】 某粮店出售的三种品牌的 ( http: / / www.21cnjy.com )面粉袋上分别标有质量为(25±0.1) kg、(25±0.2) kg、(25±0.3) kg的字样,从中任意取出两袋,它们的质量最多相差(  ).
A.0.8 kg   B.0.6 kg   C.0.5 kg   D.0.4 kg
解析:从条件中可以看出,在三袋面粉中,最多可以超出标准质量0.3 kg,最低可以低于标准质量0.3 kg,所以从中任意取出两袋,它们的质量最多相差0.6 kg.要正确地解答本题,不仅要知道面粉袋上标有质量为(25±m) kg的意义,还要考虑到两袋面粉如何搭配才能使差值最大,显然考虑到最大的可能与最小的可能的差值.
答案:B
【例9-2】工厂要加工一种轴,直径在299.5 mm到300.2 mm之间的产品都是合格的,生产图纸通常用Φ300+0.2-0.5表示直径的长度,+0.2表示最大可比300 mm多0.2 mm,-0.5表示最小可比300 mm少0.5 mm,加工一根轴,图上标明的加工要求是Φ450+0.03-0.04,则下列零件合格的是(  ).
A.448 mm B.449 mm
C.450.01 mm D.451.0 mm
答案:C
10.用正负数探索数列
研究数字的排列规律,要从两方面入手,一是要观察符号的排列规律;二是数字本身与序号及其他数字之间的顺序关系.
析规律 正负数的表示规律 解决这类题目要充分考查所给数据,关键在于抓住序号与对应数字之间的规律,找出能准确反映变化规律的关系,由特殊到一般,并注意验证.
【例10】 观察下列按次序排成的一列数,你能发现它的排列有什么规律?它后面的三个数是什么数?试把它写出来.
(1)2,-4,6,-8,10,-12,__________,__________,__________.
(2)-2 004,-2 002,-2 000,__________,__________,__________.
解析:(1)序号为奇数的数为正数,序号 ( http: / / www.21cnjy.com )为偶数的数为负数,且它们与序号的关系依次为2×1,2×2,2×3,2×4,…,以此规律,后面的三个数分别为14,-16,18;
(2)都为负数,且后面的数都比前面的数大2,以此规律,后面的三个数分别为-1 998,-1 996,-1 994.
答案:14 -16 18 -1 998 -1 996 -1 994