《初中同步测控全优设计》2013-2014学年人教版七年级数学上册例题与讲解：第一章1.2 有理数
文档属性
| 名称 | 《初中同步测控全优设计》2013-2014学年人教版七年级数学上册例题与讲解：第一章1.2 有理数 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 7.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-11-06 12:41:42 | ||
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文档简介
1.2 有理数
1．有理数
(1)定义：整数和分数统称为有理数．
(2)分类：①按定义分类：
有理数
②按性质分类(正负性)：
有理数
(3)理解：①分类标准不同，分类结果也不 ( http: / / www.21cnjy.com )一样；②有理数的另一个概念：形如(m，n为整数，且n≠0)的数是有理数，整数可以看作是分母为1的数，小数(有限或无限循环)都可以化为分数，所以所有的有理数都可以写成分数的形式．
(4)集合：所有的正数在一起组成正数集合，所有的负数在一起组成负数集合，0既不属于正数集合也不属于负数集合．
破疑点 有理数的理解 ①因为有限小数和无 ( http: / / www.21cnjy.com )限循环小数都可以化为分数，所以有限小数和无限循环小数都是分数；②按以上两种有理数的分类方式，我们一般不把整数看作是分母为1的分数．把整数和分数看作是不同类的数；③π不是有理数，它是无限不循环小数，它可以取近似值为3.14，但它不同于3.14.
【例1】 把下列各数填入它所属的集合圈内：
15，－，－5，，－，0.1，－5.32，－80,123,2.333.
分析：①0.1，－5.32,2.333都是 ( http: / / www.21cnjy.com )小学里学的小数，都能化为分数，归为分数类，其中－5.32又是负数，所以－5.32为负分数．应注意在分类中要分清范围，不重不漏．②集合是具有某种特定性质的事物的总体，所以要加省略号．
解：
2．数轴的概念及画法
(1)概念：一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．
(2)三要素：原点、正方向和单位长度，三者缺一不可．
①原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；
②正方向：规定直线上从原点向右(或向上)的方向为正方向，从原点向左(或向下)的方向为负方向；
③单位长度：选取适当的长度 ( http: / / www.21cnjy.com )为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3，…，原点向左，每隔一个单位长度取一个点，依次表示－1，－2，－3，….
(3)数轴的概念包含的意思：
①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；
②原点的位置、单位长度大小的确定都是根据实际而定的．一般取向右的方向为正方向．
③原点是数轴的“基准点”．
(4)数轴的画法：
要正确迅速地画出数轴，可按以下步骤进行：
①“画”就是先画一条水平的直线；
②“取”就是在直线上选取一点表示原点(原点表示的数是0)；
③“选”就是选择向右的方向为正方向(用 ( http: / / www.21cnjy.com )箭头表示)，那么相反的方向，即从原点向左为负方向，然后选取适当的长度作为单位长度，用细短线在直线上画出；
④“标”就是从原点向右，依次标出1,2，3，…；从原点向左，依次标出－1，－2，－3，….
画数轴的步骤可简单归纳为“一画、二取、三选、四标”．
解技巧 数轴的画法 画数轴时根据实际问题的需要可选取不同的数作为单位长度，同一数轴上的单位长度必须一致．
【例2】 下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在哪里．
分析：数轴三要素是画数轴必不可少的因素，三者同时具备，缺一不可，这也是初学画数轴时，判断数轴是否正确的依据．
解：①错，正方向标错；②错，没有正方向；③正确；④错，没有单位长度；⑤错，单位长度不统一；⑥错，标错数字．
警误区 画数轴常出现的错误 (1)没有标明方向；(2)没有原点；(3)单位长度不一致；(4)负数的排列错误．
3.数轴上的点与有理数的关系
(1)数对应点：每一个有理数都可以用数轴上的点表示出来，整数可以直接找到对应的整数点，分数可以分成多少份(分母的份数)，取其中的分子数份．
(2)点表示数：数轴上的每一个点都表示一个数(不仅仅是有理数)．
(3)一一对应：每个点都表示唯一的一个数，每个数都有唯一的对应点．
(4)理解：①借助于数轴把数直观的排列在一条直线上，便于归类、比较．
②若设a为一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度，表示－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度．
谈重点 数轴上的点与有理数的关系 ( http: / / www.21cnjy.com ) 正数用原点右边的点表示，反过来原点右边的点都表示正数；负数用原点左边的点表示，反过来原点左边的点都表示负数；0用原点表示，原点表示0.
【例3】 下列语句：①数轴上的点仅 ( http: / / www.21cnjy.com )能表示整数；②数轴是一条直线；③数轴上的一个点只能表示一个数；④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；⑤数轴上的点所表示的数都是有理数．正确的说法有( )．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：结合数轴上的点与有理数的特点，①是错误 ( http: / / www.21cnjy.com )的；④中可以含有0，⑤中应该是所有的有理数都可以在数轴上找出对应的点，但数轴上的点并不都表示有理数，以后学习的无理数也可以用数轴上的点表示．所以④、⑤也错误，只有②、③是正确的，故选B.
答案：B
所有有理数都可以在数轴上找到座位，但每个座位表示的数不一定是有理数．
4．相反数
(1)定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．特别地，0的相反数是0.
(2)对称性：两个互为相反数的数，在数轴上的对应点(0除外)，都在原点两旁，是距离原点相等的两个点．即：互为相反数的两个数在数轴上的对应点关于原点对称，这两点到原点的距离相等．
解技巧 相反数的求法 ① ( http: / / www.21cnjy.com )在正数前面添上一个“－”号，就得到这个正数的相反数，是一个负数；把负数前的“－”号去掉，就得到这个负数的相反数，是一个正数；②我们把a的相反数记为－a.a表示任意一个数，可以是正数、负数和0.
【例4】 3的相反数是_ ( http: / / www.21cnjy.com )_________，－5.8是______的相反数，a的相反数是______，a－b的相反数是______，0的相反数是______．
解析：只有符号不同的两个数互为相反数，所以只改变符号即可，其中a－b是一个数，是个整体，所以要加括号．
答案：－3 5.8 －a －(a－b) 0
5．运用相反数化简符号
(1)理解：在任意一个数前面添上“－”号，新的数就是原数的相反数．
如：＋5的相反数表示为－(＋5)，而5 ( http: / / www.21cnjy.com )的相反数就是－5，所以－(＋5)＝－5；－5的相反数表示为－(－5)，我们知道－5的相反数是5，所以－(－5)＝5，因此运用相反数可以进行符号化简：－(－10)＝10，－(＋6)＝－6等；
(2)分类：简单的符号化简共有3种情况：
①－(＋a)＝－a；②＋(－a)＝－a；③－(－a)＝a.
(3)延伸：①－[－(－a)]＝－a；－[＋(－a)]＝a等．②－0＝0，表示0的相反数是0.
【例5】 化简下列各符号：
(1)－[－(－2)]；
(2)＋{－[－(＋5)]}；
(3)－{－{－…－(－6)}…}(共n个负号)．
解析：化简的法则是：结果的符号与负号的个数有关，有偶数个负号时，结果为正；有奇数个负号时，结果为负．
答案：(1)－2；(2)5；(3)当n为偶数时，为6；当n为奇数时，为－6.
6.绝对值
(1)定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．
(2)表示：数a的绝对值表示为|a|.
(3)求法：①一个正数的绝对值是它本身；
②一个负数的绝对值是它的相反数；
③0的绝对值是0.
用字母表示为：如果a＞0，那么|a|＝a；如果a＝0，那么|a|＝0；如果a＜0，那么|a|＝－a.
归纳为|a|＝
谈重点 绝对值的理解 ①确定一个非零 ( http: / / www.21cnjy.com )数的绝对值首先应看这个数是正数还是负数，是正数则是它本身，是负数则是它的相反数，特别是字母表示的数更应先确定正负，再去绝对值号；②由定义可知，任何数的绝对值都是非负数，所以不存在绝对值是负数的数；③绝对值是一个正数的数有两个，它们互为相反数．
【例6】 绝对值为4的数是( )．
A．±4 B．4
C．－4 D．2
解析：绝对值是4的数有两个，＋4和－4.
不要弄错哦，绝对值为一个正数的数有两个，它们互为相反数．
答案：A
7．数的大小的比较
(1)借助数轴比较数的大小：数轴上的点表示的数从左往右逐渐增大，并且右边的数总比左边的数大．
(2)正数、0、负数大小的比较：
正数大于0,0大于负数，正数大于负数．
(3)用绝对值比较两个负数的大小：
两个负数相比较，绝对值大的反而小．
解技巧 数的大小比较方法选择 数 ( http: / / www.21cnjy.com )的比较一般有四种情况：①正数、负数、0的比较，直接按法则；②正数之间的比较，符合小学认知，大就是大；③两个负数大小的比较，一是比较绝对值的大小，绝对值大的反而小，二是表示在数轴上比较大小，右边的数总比左边的大；④不是最简数，化为最简后再比较大小．
【例7】 用“＞”“＝”“＜”填空：
①－7______－5；②－0.1______－0.01；
③______－；④0__________－3.14；
⑤______0.25；
⑥－|－3.2|______－(－3.2)．
解析：③、④为正数、负数、0的大小比较， ( http: / / www.21cnjy.com )很显然③＞－，④0＞－3.14；①、②为两负数大小的比较，根据绝对值大的反而小知：①－7＜－5；②－0.1＜－0.01；⑤是两正数的比较，＝0.25；⑥需要化简后比较，－|－3.2|＝－3.2，－(－3.2)＝3.2，所以－|－3.2|＜－(－3.2)．
答案：＜ ＜ ＞ ＞ ＝ ＜
谈重点 比较大小 异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值．
8．有理数分类的应用延伸
(1)按照不同的分类方法，数可以分为不同的类，但是无论按哪种方法分类，都必须全面、严密，不重不漏；
(2)类似于某同学是某学校、某年级、 ( http: / / www.21cnjy.com )某班的学生一样，数的范围也有大小，比如：－8是有理数中的整数类，又是整数中的负整数，所以每个数既是大类别中的数，又归为不同的子类别；③目前所学数中π不是有理数．
破疑点 0的理解 ①0既不是正数也不 ( http: / / www.21cnjy.com )是负数，它是有理数，是整数，也是自然数；②0和正整数统称为自然数，没有负自然数；③整数和分数中有正整数、0、负整数、正分数、负分数之分．
【例8】 在下表适当的空格里画上“√”号.
有理数 整数 分数 正整数 负分数 自然数
－9是
－2.35是
0是
＋5是
分析：正是由于数的范围大小不同 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以数归为不同的类．如：－9是有理数，也是整数、是整数中的负整数，－2.35是有理数，也是分数，是分数中的负分数．
解：
有理数 整数 分数 正整数 负分数 自然数
－9是 √ √
－2.35是 √ √ √
0是 √ √ √
＋5是 √ √ √ √
9．绝对值的化简和计算
化简绝对值符号主要根据绝对值的非负性，解题时看清楚“－”号在绝对值符号的里面还是外面．如果“－”号在绝对值符号的里面，化简时把“－”号去掉；如果“－”号在绝对值符号的外面，化简时不能把“－”号去掉．
解技巧 去绝对值的关键 化简绝对值符号的关键是判断绝对值符号内的数是正数还是负数．
【例9】 化简(1)－；(2)＋|－24|；
(3)；(4)|－(－7.5)|.
分析：先判断数的符号，再求绝对值．
解：(1)－＝－；
(2)＋|－24|＝24；
(3)＝3；
(4)|－(－7.5)|＝7.5.
10.数轴上两点间的距离与点表示的数之间的关系
(1)数轴使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形的内在联系；正是这种联系，使得数轴上两点之间的距离与所表示的数之间存在密切关系．
(2)数轴上表示数a的点与原点之间的距 ( http: / / www.21cnjy.com )离：当a为一个正数时，它与原点的距离是a个单位长度，当a是负数时，它与原点的距离是|a|个单位长度；当a是0时，距离为0；
(3)注意：到某一点距离等于a(a是正数)的点有两个，在点的左右两侧各一个．
解技巧 数形结合求距离 解决此类问题的最好方法是画出数轴，并表示出所求的数，再求两点间的距离．
【例10－1】 在数轴上，表示－2的点与原点的距离是__________；表示的点与原点的距离是__________．
解析：－2在原点的左侧，到原点的距离是2个单位长度，到原点的距离是个单位长度．
答案：2
【例10－2】 数轴上点A到原点0的距离等于6，点B到原点0的距离等于4，则A，B两点之间的最大距离是__________．
解析：如图，
在数轴上，A点到原点的距离是6，所以A点可 ( http: / / www.21cnjy.com )以是－6,6表示的点，即图中的A1，A2点，B点是－4,4表示的点，即B1，B2点，A，B两点之间的最大距离就是A1B2或A2B1的长度，它们相等，都是6＋4＝10，所以A，B两点之间的最大距离是10个单位长度．
答案：10
11.字母表示的数的绝对值的求法应用
因为用字母所表示的数既可以是 ( http: / / www.21cnjy.com )正数也可以是负数，还可以是0，它具有不确定性，而求绝对值首先要考虑的就是符号，因此求字母表示的数的绝对值时，必须考虑题目中给定的条件，若有限定条件，就按限定条件求出，若没有限定条件，则要分正、负、0三种情况讨论．
解技巧 绝对值的求法 ①限制型逆用求 ( http: / / www.21cnjy.com )法，如：|a|＝6，那么a＝±6；②开放型分类讨论求法：如求|x|＋x的值，当x＞0时，|x|＝x，所以|x|＋x＝x＋x＝2x，当x＜0时，|x|＝－x，原式＝0，当x＝0时，原式＝0.③化简型求法：如：|a|＝|－8|，|－a|＝|－8|，|－a|＝|8|都能化为|a|＝|8|＝8解决．
【例11－1】 如果|a|＝5，|b|＝4，a＜b，那么a＝__________，b＝__________.
解析：因为±5的绝对值都是5，所以a＝ ( http: / / www.21cnjy.com )＋5或－5，同样由|b|＝4得b＝±4，当a＝－5时，－5＜4，－5＜－4，所以b＝±4都能使a＜b成立，而当a＝5时，5＞4，5＞－4，所以b＝±4都不能满足条件a＜b，所以a＝－5，b＝±4.
答案：－5 ±4
【例11－2】 若|a|＝|b|，则a，b的关系是( )．
A．a＝b B．a＝－b
C．a＝b或a＝－b D．a＝0且b＝0
解析：方法一：因为绝对值相等，所以数a，b就数字部分看(不考虑符号)应该完全相同，只是符号有正、负两种情况，组合会有4种情况，当同正或同负时，两数的符号相同，数字部分又完全一样，所以相等，即a＝b，异号时，两数只有符号不同，所以两数互为相反数，即a＝－b，所以两数要么相等，要么互为相反数，故选C.
方法二：此题还可以选择一些特殊的值，如a ( http: / / www.21cnjy.com )＝2,3，5，…，那么相对应的b＝±2，±3，±5，…，从而得到a与b的值同号时相等，异号时互为相反数，即a＝b或a＝－b.
答案：C
12．利用数轴解决生活中的实际问题
本节知识常与运动问题结合在一起，利用数形结合将运动问题解决．这种利用数形结合解决问题的方法是中考考查的热点题型之一．
数轴是一种数学工具，它使数和数轴上的点建立了 ( http: / / www.21cnjy.com )对应关系，揭示了数与形之间的内在联系，也为我们研究问题提供了新的方法．数轴是联系数与形的桥梁，是数形结合的具体体现，利用数轴可以解决生活中的许多问题．
运用数轴可以直观表示点的移动，正确找出数在数轴上的对应点，会由数轴上的点的位置确定对应的数，是解决这类问题的关键．
【例12】 超市、书店、玩具店依次坐 ( http: / / www.21cnjy.com )落在一条东西走向的大街上，超市在书店西边20米处，玩具店位于书店东边50米处．小明从书店出来沿街向东走了50米，接着又向东走了－80米，此时小明的位置在何处？在数轴上标出超市、书店、玩具店的位置，以及小明最后的位置．
分析：书店处于超市和玩具店之间，且书店 ( http: / / www.21cnjy.com )与玩具店之间的距离是50米，书店与超市之间的距离是20米，这样可以画出数轴，即可表示出小明最后的位置．
解决点的移动问题，可画出数轴，在数轴上表 ( http: / / www.21cnjy.com )示点的移动，关键是确定原点，最后的点相对于原点来说，若在原点的右侧，表示的是正数，若在原点的左侧，则表示的是负数．
解：根据题意可以画出如图所示的数轴，小明位于超市西边10米处．
13.利用绝对值解决实际问题
绝对值的产生来源于实际问题的需要，反过来又可以运用它解决一些实际问题，主要有以下两类：
(1)判断物体或产品的质量
用绝对值判断物体或产品偏离标准的程度，绝对值越小，越接近标准，质量就越好．
方法：①求每个数的绝对值；
②比较所求绝对值的大小；
③根据“绝对值小的越接近标准”作出判断．
(2)利用绝对值求距离
路程问题中，当出现用“＋”“－”号表示带方向的路程，求最后实际路程时，实际上是求绝对值的和．
方法：
①求各个数的绝对值；
②求所有数的绝对值的和；
③写出答案．
【例13－1】 某汽车配件厂生产一 ( http: / / www.21cnjy.com )批圆形的橡胶垫，从中抽取6件进行检验，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数，检查结果如下：
1 2 3 4 5 6
＋0.5 －0.3 ＋0.15 －0.1 0 0.2
用绝对值的知识说明哪个零件的质量最好？
分析：质量的好坏取决于质量偏离标准质量的绝对值，即偏离橡胶垫的标准质量的绝对值越小，越接近标准，其质量就越好．
解：因为|＋0.5|＞|－0.3|＞|0.2|＞|＋0.15|＞|－0.1|＞|0|，
所以第5个零件的质量最好．
【例13－2】 一天上午，出租车司机 ( http: / / www.21cnjy.com )小王在东西走向的中山路上运营，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行车里程如下(单位：千米)：＋15，－3，＋12，－11，－13，＋3，－12，－18，请问小王将最后一位乘客送到目的地时，共行驶了多少千米？
解：|＋15|＋|－3|＋|＋12|＋ ( http: / / www.21cnjy.com )|－11|＋|－13|＋|＋3|＋|－12|＋|－18|＝15＋3＋12＋11＋13＋3＋12＋18＝87(千米)．
答：小王将最后一位乘客送到目的地时共行驶了87千米．
14.特殊值法的妙用
(1)作用：字母表示数是代数 ( http: / / www.21cnjy.com )的核心，用字母表示数为我们研究数学规律和方法提供了很多便利，但由于字母表示数的抽象性和不确定性，使含有字母的数的运算和大小的比较，变的复杂且不容易理解，取特殊值法为我们提供了简便的解法，也便于理解．同时也揭示出由特殊到一般的探索过程．
(2)方法技巧：①特殊值法 ( http: / / www.21cnjy.com )取特殊值时，所取的值一定要符合题目要求，在所规定的范围内；②要尽量简便，一般选取较小或较简单的数，以简化计算过程；③取适当的个数，并且按一定规律或顺序取值，以便于发现规律，正确解决问题；④赋值要全面，要考虑周全，考虑各种适合的可能，这也是特殊值法得到的结论是否正确的关键．特别要注意一些特殊数，如：0，±1等．如例142中要按大于1，等于1，小于1三种情况分类讨论取值，从而全面了解了在x为正数条件下的各种情况．
【例14－1】 若a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，试用“＜”号连接a，b，－a，－b.
分析：常规解法要考虑各数值的正负，还要考虑 ( http: / / www.21cnjy.com )绝对值的大小，借助于数轴解决．但用特殊值法，在满足a＜0，b＞0，且|a|＜|b|的条件下，可以取a＝－2，b＝5，这时，－a＝2，－b＝－5，由于－5＜－2＜2＜5，所以－b＜a＜－a＜b；同样可以再取一次别的数，当a＝－6，b＝7时，－a＝6，－b＝－7，由于－7＜－6＜6＜7，所以－b＜a＜－a＜b；由此可知四个数的大小关系是－b＜a＜－a＜b.
解：－b＜a＜－a＜b.
【例14－2】 若x是正数，试比较x与的大小．
分析：分三种情况列举取值，当x＝1时，x的倒 ( http: / / www.21cnjy.com )数＝1，倒数等于原数，即x＝；当x＝2,3,4，…时，x的倒数分别为，，，…，此时原数都大于它的倒数，即x＞；当x＝，，，…，或取小数0.6,0.7，…时，x的倒数分别为：2,3，，…，或，…，此时原数都小于倒数，即x＜，因此以1为分界，包括1，共三种情况．
解：当x＞1时，x＞；当x＝1时，x＝；当x＜1时，x＜.
15.借助数轴比较数的大小的应用
对于简单的数的比较，如正数之间，正负数、0之间数的大小的比较可以直接写出，但对于较多的数，或复杂的数的比较，有时候借助数轴会更简单，更直观，也便于理解，
(1)依据：数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大．
(2)分类：①具体的数的大小的比较，初学负数，特别是对于多个相近负数的比较，运用数轴会更准确、直观．同时能培养学生的数感．
②字母表示的数的大小的比较：根据数轴上字母表 ( http: / / www.21cnjy.com )示的数的位置，根据相反数、绝对值意义，标出所求数的位置(所求数表示的点)，再根据数轴上的点所表示数的大小规律，写出所求数的大小关系．
【例15－1】 比较下列各数的大小：
－1.5，－0.5，－3.5，－5.
解：将这些数在数轴上表示出来，如图，
从数轴上可以看出－5＜－3.5＜－1.5＜－0.5.
【例15－2】 数a，b在数轴上的位置如图所示，下面所给的四个选项中正确的是( )．
A．b＞a B．|a|＞|b|
C．－a＜b D．－b＞a
解析：因为a＞0，b＜0，所 ( http: / / www.21cnjy.com )以b＜a，故排除A；因为表示b的点到原点的距离比表示a的点到原点的距离大，根据绝对值的定义可得|a|＜|b|，故排除B；在数轴上将－a、－b的位置表示出来，如图所示，
显然有b＜－a＜0＜a＜－b，故排除C，故只有D正确．
答案：D
1．有理数
(1)定义：整数和分数统称为有理数．
(2)分类：①按定义分类：
有理数
②按性质分类(正负性)：
有理数
(3)理解：①分类标准不同，分类结果也不 ( http: / / www.21cnjy.com )一样；②有理数的另一个概念：形如(m，n为整数，且n≠0)的数是有理数，整数可以看作是分母为1的数，小数(有限或无限循环)都可以化为分数，所以所有的有理数都可以写成分数的形式．
(4)集合：所有的正数在一起组成正数集合，所有的负数在一起组成负数集合，0既不属于正数集合也不属于负数集合．
破疑点 有理数的理解 ①因为有限小数和无 ( http: / / www.21cnjy.com )限循环小数都可以化为分数，所以有限小数和无限循环小数都是分数；②按以上两种有理数的分类方式，我们一般不把整数看作是分母为1的分数．把整数和分数看作是不同类的数；③π不是有理数，它是无限不循环小数，它可以取近似值为3.14，但它不同于3.14.
【例1】 把下列各数填入它所属的集合圈内：
15，－，－5，，－，0.1，－5.32，－80,123,2.333.
分析：①0.1，－5.32,2.333都是 ( http: / / www.21cnjy.com )小学里学的小数，都能化为分数，归为分数类，其中－5.32又是负数，所以－5.32为负分数．应注意在分类中要分清范围，不重不漏．②集合是具有某种特定性质的事物的总体，所以要加省略号．
解：
2．数轴的概念及画法
(1)概念：一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．
(2)三要素：原点、正方向和单位长度，三者缺一不可．
①原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；
②正方向：规定直线上从原点向右(或向上)的方向为正方向，从原点向左(或向下)的方向为负方向；
③单位长度：选取适当的长度 ( http: / / www.21cnjy.com )为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3，…，原点向左，每隔一个单位长度取一个点，依次表示－1，－2，－3，….
(3)数轴的概念包含的意思：
①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；
②原点的位置、单位长度大小的确定都是根据实际而定的．一般取向右的方向为正方向．
③原点是数轴的“基准点”．
(4)数轴的画法：
要正确迅速地画出数轴，可按以下步骤进行：
①“画”就是先画一条水平的直线；
②“取”就是在直线上选取一点表示原点(原点表示的数是0)；
③“选”就是选择向右的方向为正方向(用 ( http: / / www.21cnjy.com )箭头表示)，那么相反的方向，即从原点向左为负方向，然后选取适当的长度作为单位长度，用细短线在直线上画出；
④“标”就是从原点向右，依次标出1,2，3，…；从原点向左，依次标出－1，－2，－3，….
画数轴的步骤可简单归纳为“一画、二取、三选、四标”．
解技巧 数轴的画法 画数轴时根据实际问题的需要可选取不同的数作为单位长度，同一数轴上的单位长度必须一致．
【例2】 下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在哪里．
分析：数轴三要素是画数轴必不可少的因素，三者同时具备，缺一不可，这也是初学画数轴时，判断数轴是否正确的依据．
解：①错，正方向标错；②错，没有正方向；③正确；④错，没有单位长度；⑤错，单位长度不统一；⑥错，标错数字．
警误区 画数轴常出现的错误 (1)没有标明方向；(2)没有原点；(3)单位长度不一致；(4)负数的排列错误．
3.数轴上的点与有理数的关系
(1)数对应点：每一个有理数都可以用数轴上的点表示出来，整数可以直接找到对应的整数点，分数可以分成多少份(分母的份数)，取其中的分子数份．
(2)点表示数：数轴上的每一个点都表示一个数(不仅仅是有理数)．
(3)一一对应：每个点都表示唯一的一个数，每个数都有唯一的对应点．
(4)理解：①借助于数轴把数直观的排列在一条直线上，便于归类、比较．
②若设a为一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度，表示－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度．
谈重点 数轴上的点与有理数的关系 ( http: / / www.21cnjy.com ) 正数用原点右边的点表示，反过来原点右边的点都表示正数；负数用原点左边的点表示，反过来原点左边的点都表示负数；0用原点表示，原点表示0.
【例3】 下列语句：①数轴上的点仅 ( http: / / www.21cnjy.com )能表示整数；②数轴是一条直线；③数轴上的一个点只能表示一个数；④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；⑤数轴上的点所表示的数都是有理数．正确的说法有( )．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：结合数轴上的点与有理数的特点，①是错误 ( http: / / www.21cnjy.com )的；④中可以含有0，⑤中应该是所有的有理数都可以在数轴上找出对应的点，但数轴上的点并不都表示有理数，以后学习的无理数也可以用数轴上的点表示．所以④、⑤也错误，只有②、③是正确的，故选B.
答案：B
所有有理数都可以在数轴上找到座位，但每个座位表示的数不一定是有理数．
4．相反数
(1)定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．特别地，0的相反数是0.
(2)对称性：两个互为相反数的数，在数轴上的对应点(0除外)，都在原点两旁，是距离原点相等的两个点．即：互为相反数的两个数在数轴上的对应点关于原点对称，这两点到原点的距离相等．
解技巧 相反数的求法 ① ( http: / / www.21cnjy.com )在正数前面添上一个“－”号，就得到这个正数的相反数，是一个负数；把负数前的“－”号去掉，就得到这个负数的相反数，是一个正数；②我们把a的相反数记为－a.a表示任意一个数，可以是正数、负数和0.
【例4】 3的相反数是_ ( http: / / www.21cnjy.com )_________，－5.8是______的相反数，a的相反数是______，a－b的相反数是______，0的相反数是______．
解析：只有符号不同的两个数互为相反数，所以只改变符号即可，其中a－b是一个数，是个整体，所以要加括号．
答案：－3 5.8 －a －(a－b) 0
5．运用相反数化简符号
(1)理解：在任意一个数前面添上“－”号，新的数就是原数的相反数．
如：＋5的相反数表示为－(＋5)，而5 ( http: / / www.21cnjy.com )的相反数就是－5，所以－(＋5)＝－5；－5的相反数表示为－(－5)，我们知道－5的相反数是5，所以－(－5)＝5，因此运用相反数可以进行符号化简：－(－10)＝10，－(＋6)＝－6等；
(2)分类：简单的符号化简共有3种情况：
①－(＋a)＝－a；②＋(－a)＝－a；③－(－a)＝a.
(3)延伸：①－[－(－a)]＝－a；－[＋(－a)]＝a等．②－0＝0，表示0的相反数是0.
【例5】 化简下列各符号：
(1)－[－(－2)]；
(2)＋{－[－(＋5)]}；
(3)－{－{－…－(－6)}…}(共n个负号)．
解析：化简的法则是：结果的符号与负号的个数有关，有偶数个负号时，结果为正；有奇数个负号时，结果为负．
答案：(1)－2；(2)5；(3)当n为偶数时，为6；当n为奇数时，为－6.
6.绝对值
(1)定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．
(2)表示：数a的绝对值表示为|a|.
(3)求法：①一个正数的绝对值是它本身；
②一个负数的绝对值是它的相反数；
③0的绝对值是0.
用字母表示为：如果a＞0，那么|a|＝a；如果a＝0，那么|a|＝0；如果a＜0，那么|a|＝－a.
归纳为|a|＝
谈重点 绝对值的理解 ①确定一个非零 ( http: / / www.21cnjy.com )数的绝对值首先应看这个数是正数还是负数，是正数则是它本身，是负数则是它的相反数，特别是字母表示的数更应先确定正负，再去绝对值号；②由定义可知，任何数的绝对值都是非负数，所以不存在绝对值是负数的数；③绝对值是一个正数的数有两个，它们互为相反数．
【例6】 绝对值为4的数是( )．
A．±4 B．4
C．－4 D．2
解析：绝对值是4的数有两个，＋4和－4.
不要弄错哦，绝对值为一个正数的数有两个，它们互为相反数．
答案：A
7．数的大小的比较
(1)借助数轴比较数的大小：数轴上的点表示的数从左往右逐渐增大，并且右边的数总比左边的数大．
(2)正数、0、负数大小的比较：
正数大于0,0大于负数，正数大于负数．
(3)用绝对值比较两个负数的大小：
两个负数相比较，绝对值大的反而小．
解技巧 数的大小比较方法选择 数 ( http: / / www.21cnjy.com )的比较一般有四种情况：①正数、负数、0的比较，直接按法则；②正数之间的比较，符合小学认知，大就是大；③两个负数大小的比较，一是比较绝对值的大小，绝对值大的反而小，二是表示在数轴上比较大小，右边的数总比左边的大；④不是最简数，化为最简后再比较大小．
【例7】 用“＞”“＝”“＜”填空：
①－7______－5；②－0.1______－0.01；
③______－；④0__________－3.14；
⑤______0.25；
⑥－|－3.2|______－(－3.2)．
解析：③、④为正数、负数、0的大小比较， ( http: / / www.21cnjy.com )很显然③＞－，④0＞－3.14；①、②为两负数大小的比较，根据绝对值大的反而小知：①－7＜－5；②－0.1＜－0.01；⑤是两正数的比较，＝0.25；⑥需要化简后比较，－|－3.2|＝－3.2，－(－3.2)＝3.2，所以－|－3.2|＜－(－3.2)．
答案：＜ ＜ ＞ ＞ ＝ ＜
谈重点 比较大小 异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值．
8．有理数分类的应用延伸
(1)按照不同的分类方法，数可以分为不同的类，但是无论按哪种方法分类，都必须全面、严密，不重不漏；
(2)类似于某同学是某学校、某年级、 ( http: / / www.21cnjy.com )某班的学生一样，数的范围也有大小，比如：－8是有理数中的整数类，又是整数中的负整数，所以每个数既是大类别中的数，又归为不同的子类别；③目前所学数中π不是有理数．
破疑点 0的理解 ①0既不是正数也不 ( http: / / www.21cnjy.com )是负数，它是有理数，是整数，也是自然数；②0和正整数统称为自然数，没有负自然数；③整数和分数中有正整数、0、负整数、正分数、负分数之分．
【例8】 在下表适当的空格里画上“√”号.
有理数 整数 分数 正整数 负分数 自然数
－9是
－2.35是
0是
＋5是
分析：正是由于数的范围大小不同 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以数归为不同的类．如：－9是有理数，也是整数、是整数中的负整数，－2.35是有理数，也是分数，是分数中的负分数．
解：
有理数 整数 分数 正整数 负分数 自然数
－9是 √ √
－2.35是 √ √ √
0是 √ √ √
＋5是 √ √ √ √
9．绝对值的化简和计算
化简绝对值符号主要根据绝对值的非负性，解题时看清楚“－”号在绝对值符号的里面还是外面．如果“－”号在绝对值符号的里面，化简时把“－”号去掉；如果“－”号在绝对值符号的外面，化简时不能把“－”号去掉．
解技巧 去绝对值的关键 化简绝对值符号的关键是判断绝对值符号内的数是正数还是负数．
【例9】 化简(1)－；(2)＋|－24|；
(3)；(4)|－(－7.5)|.
分析：先判断数的符号，再求绝对值．
解：(1)－＝－；
(2)＋|－24|＝24；
(3)＝3；
(4)|－(－7.5)|＝7.5.
10.数轴上两点间的距离与点表示的数之间的关系
(1)数轴使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形的内在联系；正是这种联系，使得数轴上两点之间的距离与所表示的数之间存在密切关系．
(2)数轴上表示数a的点与原点之间的距 ( http: / / www.21cnjy.com )离：当a为一个正数时，它与原点的距离是a个单位长度，当a是负数时，它与原点的距离是|a|个单位长度；当a是0时，距离为0；
(3)注意：到某一点距离等于a(a是正数)的点有两个，在点的左右两侧各一个．
解技巧 数形结合求距离 解决此类问题的最好方法是画出数轴，并表示出所求的数，再求两点间的距离．
【例10－1】 在数轴上，表示－2的点与原点的距离是__________；表示的点与原点的距离是__________．
解析：－2在原点的左侧，到原点的距离是2个单位长度，到原点的距离是个单位长度．
答案：2
【例10－2】 数轴上点A到原点0的距离等于6，点B到原点0的距离等于4，则A，B两点之间的最大距离是__________．
解析：如图，
在数轴上，A点到原点的距离是6，所以A点可 ( http: / / www.21cnjy.com )以是－6,6表示的点，即图中的A1，A2点，B点是－4,4表示的点，即B1，B2点，A，B两点之间的最大距离就是A1B2或A2B1的长度，它们相等，都是6＋4＝10，所以A，B两点之间的最大距离是10个单位长度．
答案：10
11.字母表示的数的绝对值的求法应用
因为用字母所表示的数既可以是 ( http: / / www.21cnjy.com )正数也可以是负数，还可以是0，它具有不确定性，而求绝对值首先要考虑的就是符号，因此求字母表示的数的绝对值时，必须考虑题目中给定的条件，若有限定条件，就按限定条件求出，若没有限定条件，则要分正、负、0三种情况讨论．
解技巧 绝对值的求法 ①限制型逆用求 ( http: / / www.21cnjy.com )法，如：|a|＝6，那么a＝±6；②开放型分类讨论求法：如求|x|＋x的值，当x＞0时，|x|＝x，所以|x|＋x＝x＋x＝2x，当x＜0时，|x|＝－x，原式＝0，当x＝0时，原式＝0.③化简型求法：如：|a|＝|－8|，|－a|＝|－8|，|－a|＝|8|都能化为|a|＝|8|＝8解决．
【例11－1】 如果|a|＝5，|b|＝4，a＜b，那么a＝__________，b＝__________.
解析：因为±5的绝对值都是5，所以a＝ ( http: / / www.21cnjy.com )＋5或－5，同样由|b|＝4得b＝±4，当a＝－5时，－5＜4，－5＜－4，所以b＝±4都能使a＜b成立，而当a＝5时，5＞4，5＞－4，所以b＝±4都不能满足条件a＜b，所以a＝－5，b＝±4.
答案：－5 ±4
【例11－2】 若|a|＝|b|，则a，b的关系是( )．
A．a＝b B．a＝－b
C．a＝b或a＝－b D．a＝0且b＝0
解析：方法一：因为绝对值相等，所以数a，b就数字部分看(不考虑符号)应该完全相同，只是符号有正、负两种情况，组合会有4种情况，当同正或同负时，两数的符号相同，数字部分又完全一样，所以相等，即a＝b，异号时，两数只有符号不同，所以两数互为相反数，即a＝－b，所以两数要么相等，要么互为相反数，故选C.
方法二：此题还可以选择一些特殊的值，如a ( http: / / www.21cnjy.com )＝2,3，5，…，那么相对应的b＝±2，±3，±5，…，从而得到a与b的值同号时相等，异号时互为相反数，即a＝b或a＝－b.
答案：C
12．利用数轴解决生活中的实际问题
本节知识常与运动问题结合在一起，利用数形结合将运动问题解决．这种利用数形结合解决问题的方法是中考考查的热点题型之一．
数轴是一种数学工具，它使数和数轴上的点建立了 ( http: / / www.21cnjy.com )对应关系，揭示了数与形之间的内在联系，也为我们研究问题提供了新的方法．数轴是联系数与形的桥梁，是数形结合的具体体现，利用数轴可以解决生活中的许多问题．
运用数轴可以直观表示点的移动，正确找出数在数轴上的对应点，会由数轴上的点的位置确定对应的数，是解决这类问题的关键．
【例12】 超市、书店、玩具店依次坐 ( http: / / www.21cnjy.com )落在一条东西走向的大街上，超市在书店西边20米处，玩具店位于书店东边50米处．小明从书店出来沿街向东走了50米，接着又向东走了－80米，此时小明的位置在何处？在数轴上标出超市、书店、玩具店的位置，以及小明最后的位置．
分析：书店处于超市和玩具店之间，且书店 ( http: / / www.21cnjy.com )与玩具店之间的距离是50米，书店与超市之间的距离是20米，这样可以画出数轴，即可表示出小明最后的位置．
解决点的移动问题，可画出数轴，在数轴上表 ( http: / / www.21cnjy.com )示点的移动，关键是确定原点，最后的点相对于原点来说，若在原点的右侧，表示的是正数，若在原点的左侧，则表示的是负数．
解：根据题意可以画出如图所示的数轴，小明位于超市西边10米处．
13.利用绝对值解决实际问题
绝对值的产生来源于实际问题的需要，反过来又可以运用它解决一些实际问题，主要有以下两类：
(1)判断物体或产品的质量
用绝对值判断物体或产品偏离标准的程度，绝对值越小，越接近标准，质量就越好．
方法：①求每个数的绝对值；
②比较所求绝对值的大小；
③根据“绝对值小的越接近标准”作出判断．
(2)利用绝对值求距离
路程问题中，当出现用“＋”“－”号表示带方向的路程，求最后实际路程时，实际上是求绝对值的和．
方法：
①求各个数的绝对值；
②求所有数的绝对值的和；
③写出答案．
【例13－1】 某汽车配件厂生产一 ( http: / / www.21cnjy.com )批圆形的橡胶垫，从中抽取6件进行检验，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数，检查结果如下：
1 2 3 4 5 6
＋0.5 －0.3 ＋0.15 －0.1 0 0.2
用绝对值的知识说明哪个零件的质量最好？
分析：质量的好坏取决于质量偏离标准质量的绝对值，即偏离橡胶垫的标准质量的绝对值越小，越接近标准，其质量就越好．
解：因为|＋0.5|＞|－0.3|＞|0.2|＞|＋0.15|＞|－0.1|＞|0|，
所以第5个零件的质量最好．
【例13－2】 一天上午，出租车司机 ( http: / / www.21cnjy.com )小王在东西走向的中山路上运营，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行车里程如下(单位：千米)：＋15，－3，＋12，－11，－13，＋3，－12，－18，请问小王将最后一位乘客送到目的地时，共行驶了多少千米？
解：|＋15|＋|－3|＋|＋12|＋ ( http: / / www.21cnjy.com )|－11|＋|－13|＋|＋3|＋|－12|＋|－18|＝15＋3＋12＋11＋13＋3＋12＋18＝87(千米)．
答：小王将最后一位乘客送到目的地时共行驶了87千米．
14.特殊值法的妙用
(1)作用：字母表示数是代数 ( http: / / www.21cnjy.com )的核心，用字母表示数为我们研究数学规律和方法提供了很多便利，但由于字母表示数的抽象性和不确定性，使含有字母的数的运算和大小的比较，变的复杂且不容易理解，取特殊值法为我们提供了简便的解法，也便于理解．同时也揭示出由特殊到一般的探索过程．
(2)方法技巧：①特殊值法 ( http: / / www.21cnjy.com )取特殊值时，所取的值一定要符合题目要求，在所规定的范围内；②要尽量简便，一般选取较小或较简单的数，以简化计算过程；③取适当的个数，并且按一定规律或顺序取值，以便于发现规律，正确解决问题；④赋值要全面，要考虑周全，考虑各种适合的可能，这也是特殊值法得到的结论是否正确的关键．特别要注意一些特殊数，如：0，±1等．如例142中要按大于1，等于1，小于1三种情况分类讨论取值，从而全面了解了在x为正数条件下的各种情况．
【例14－1】 若a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，试用“＜”号连接a，b，－a，－b.
分析：常规解法要考虑各数值的正负，还要考虑 ( http: / / www.21cnjy.com )绝对值的大小，借助于数轴解决．但用特殊值法，在满足a＜0，b＞0，且|a|＜|b|的条件下，可以取a＝－2，b＝5，这时，－a＝2，－b＝－5，由于－5＜－2＜2＜5，所以－b＜a＜－a＜b；同样可以再取一次别的数，当a＝－6，b＝7时，－a＝6，－b＝－7，由于－7＜－6＜6＜7，所以－b＜a＜－a＜b；由此可知四个数的大小关系是－b＜a＜－a＜b.
解：－b＜a＜－a＜b.
【例14－2】 若x是正数，试比较x与的大小．
分析：分三种情况列举取值，当x＝1时，x的倒 ( http: / / www.21cnjy.com )数＝1，倒数等于原数，即x＝；当x＝2,3,4，…时，x的倒数分别为，，，…，此时原数都大于它的倒数，即x＞；当x＝，，，…，或取小数0.6,0.7，…时，x的倒数分别为：2,3，，…，或，…，此时原数都小于倒数，即x＜，因此以1为分界，包括1，共三种情况．
解：当x＞1时，x＞；当x＝1时，x＝；当x＜1时，x＜.
15.借助数轴比较数的大小的应用
对于简单的数的比较，如正数之间，正负数、0之间数的大小的比较可以直接写出，但对于较多的数，或复杂的数的比较，有时候借助数轴会更简单，更直观，也便于理解，
(1)依据：数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大．
(2)分类：①具体的数的大小的比较，初学负数，特别是对于多个相近负数的比较，运用数轴会更准确、直观．同时能培养学生的数感．
②字母表示的数的大小的比较：根据数轴上字母表 ( http: / / www.21cnjy.com )示的数的位置，根据相反数、绝对值意义，标出所求数的位置(所求数表示的点)，再根据数轴上的点所表示数的大小规律，写出所求数的大小关系．
【例15－1】 比较下列各数的大小：
－1.5，－0.5，－3.5，－5.
解：将这些数在数轴上表示出来，如图，
从数轴上可以看出－5＜－3.5＜－1.5＜－0.5.
【例15－2】 数a，b在数轴上的位置如图所示，下面所给的四个选项中正确的是( )．
A．b＞a B．|a|＞|b|
C．－a＜b D．－b＞a
解析：因为a＞0，b＜0，所 ( http: / / www.21cnjy.com )以b＜a，故排除A；因为表示b的点到原点的距离比表示a的点到原点的距离大，根据绝对值的定义可得|a|＜|b|，故排除B；在数轴上将－a、－b的位置表示出来，如图所示，
显然有b＜－a＜0＜a＜－b，故排除C，故只有D正确．
答案：D