《初中同步测控全优设计》2013-2014学年人教版七年级数学上册例题与讲解：第一章1.3 有理数的加减法
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| 名称 | 《初中同步测控全优设计》2013-2014学年人教版七年级数学上册例题与讲解：第一章1.3 有理数的加减法 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-11-06 12:42:54 | ||
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文档简介
1.3 有理数的加减法
1．有理数的加法法则
(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0.
(3)一个数同0相加，仍得这个数．
谈重点 有理数的加法运算 ①有理数的加 ( http: / / www.21cnjy.com )法运算涉及两个问题：一是确定结果的符号；二是求结果的绝对值．因此在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号，是同号还是异号？从而确定用哪一条法则；②在加法运算中，只要有0参加，值都不变．
【例1－1】 计算：
(1)(－3)＋(－9)；(2)(－5)＋8；
(3)(－3)＋3；(4)0＋(－5)．
分析：(1)两个负数相加，应用法则1，符号 ( http: / / www.21cnjy.com )取相同的符号“－”，绝对值相加：3＋9；(2)异号两数相加，应用法则2，正数8的绝对值大，所以和的符号取“＋”号，并用较大的绝对值8减去较小的绝对值5；(3)互为相反数的两个数相加，用法则2；(4)有0参加，值不变．
解：(1)(－3)＋(－9)＝－(|－3|＋|－9|)＝－12；
(2)(－5)＋8＝＋(|8|－|－5|)＝＋3＝3；
(3)(－3)＋3＝0；(4)0＋(－5)＝－5.
【例1－2】 计算：
(1)(－3)＋(－4.5)＋(－2.5)＋(－8)；
(2)＋＋0＋.
分析：对于同号的三个加数以上的运算，法则1同样适用．
解：(1)(－3)＋(－4.5)＋(－2.5)＋(－8)
＝－(3＋4.5＋2.5＋8)＝－18.
(2)＋＋0＋
＝－＝－4.
2．有理数的加法运算律
(1)加法的交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．
字母表示：a＋b＝b＋a.
(2)加法的结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．
字母表示：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
解技巧 加法运算律的运用规律 对多个有理数的和尽量用加法的运算律进行，以达到简化运算的目的，通常有以下规律遵循：
①互为相反数的两个数相加；
②几个数相加得到整数的先相加；
③分母相同的数相加；
④符号相同的数相加；
⑤整数与整数，小数与小数相加．
另外，多个加数相加时，往往有多种组合方法，不一定死套法则，要仔细观察，根据题目的特点，只要能使运算简便易行即可．
【例2】 计算：
(1)(＋26)＋(－14)＋(－16)＋(＋18)；
(2)18.56＋(－5.16)＋(－1.44)＋(＋5.16)＋(－18.56)；
(3)4.1＋＋＋(－10.1)＋7；
(4)＋＋＋.
分析：把相加得整数、同分母分数、互为相反数、同正或同负的数分别相结合，达到简化计算的目的．
解：(1)(＋26)＋(－14)＋(－16)＋(＋18)
＝[(＋26)＋(＋18)]＋[(－14)＋(－16)]
＝(＋44)＋(－30)＝14；
(2)18.56＋(－5.16)＋(－1.44)＋(＋5.16)＋(－18.56)
＝[(＋18.56)＋(－18.56)]＋[(－5.16)＋(＋5.16)]＋(－1.44)＝－1.44；
(3)4.1＋＋＋(－10.1)＋7
＝[4.1＋(－10.1)＋7]＋
＝1＋＝1；
(4)＋＋＋
＝＋
＝＋＝－＋＝－.
3．有理数的减法法则
(1)法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．
有理数的减法法则用字母表示为：a－b＝a＋(－b)．
有理数的减法，关键是把减法化成加法，再按照有理数加法的法则和运算律计算．
(2)计算步骤：用法则进行减法运算时应注意：
①把减号变为加号(改变运算符号)；
②把减数变为它的相反数(改变性质符号)；
③按照加法运算的法则进行运算．
谈重点 有理数减法的理解 将减法转化为加法时，注意两变，即“一是变加法；二是把减数变为它的相反数”．
如：
( http: / / www.21cnjy.com )
可简记为“减正变加负，减负变加正”．
【例3】 计算：(1)2－(－4)；
(2)(－5)－(－8)；
(3)－5；
(4)5.5－(＋3.9)；
(5)(－12)－(－20)－(－52)；
(6)[(－5)－(＋8)]－(－3)．
分析：先把减法转化为加法，再用加法法则进行计算．
解：(1)2－(－4)＝2＋(＋4)＝6；
(2)(－5)－(－8)＝(－5)＋(＋8)＝3；
(3)－5＝＋＝－7；
(4)5.5－(＋3.9)＝5.5＋(－3.9)＝1.6；
(5)(－12)－(－20)－(－52)
＝(－12)＋(＋20)＋(＋52)＝60；
(6)[(－5)－(＋8)]－(－3)
＝[(－5)＋(－8)]＋(＋3)
＝－13＋(＋3)＝－10.
4.有理数的加减混合运算
(1)有理数加减法统一成加法的意义
①对于有理数的加、减混合运算中的减法，可以根据有理数减法法则将减法转化为加法．如：
(－11)－7＋(－9)－(－6)可以转化 ( http: / / www.21cnjy.com )为：(－11)＋(－7)＋(－9)＋(＋6)，这样就将混合运算统一为加法运算，统一成加法后的式子是几个正数或负数的和的形式．
②在一个代数和里，通常有的 ( http: / / www.21cnjy.com )加号可以省略，每个数的括号也可以省略，如：(－11)＋(－7)＋(－9)＋(＋6)，省略“＋”和括号后成为：－11－7－9＋6.
③和式的读法：一是按这个式子的意义读作：－11，－7，－9,6四个数的和，二是按运算意义，可以读作：“负11减7减9加6”．
(2)有理数加减混合运算的步骤
第一步：运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法；
第二步：省略加号和括号；
第三步：运用加法法则、加法交换律、加法结合律简化运算．
析规律 混合运算中的计算规律 在运算 ( http: / / www.21cnjy.com )过程中，遵循以下原则：①互为相反数的两数相结合；②同分母的分数或比较容易通分的分数相结合；③带分数一般化成假分数或分成整数和分数两部分，再分别相加．
【例4】 计算：(1)(＋11)－－(－7)＋－(－2)＋；
(2)－＋－；
(3)－－＋；
(4)－5.13＋4.62＋(－8.47)－(－2.3)．
有理数的加减混合运算要灵活运用运算律，在交换加数的位置时，要带着它前面的符号一同变换．
分析：先统一成加法，再省略加号，(1)让整数和分数分别相加；(2)、(3)让同分母分数相结合；(4)正数、负数分别相加．
解：(1)(＋11)－－(－7)＋－(－2)＋
＝11＋＋(＋7)＋＋(＋2)＋
＝11－＋7－＋2－
＝(11＋7＋2)＋
＝20－1＝19；
(2)－＋－
＝－4＋5－4－3
＝＋
＝－8＋1
＝－6；
(3)－－＋
＝＋＋＋
＝＋
＝1＋
＝－；
(4)－5.13＋4.62＋(－8.47)－(－2.3)
＝－5.13＋4.62－8.47＋2.3
＝(－5.13－8.47)＋(4.62＋2.3)
＝－13.6＋6.92
＝－6.68.
一般正数和负数分别相加．
5．用字母表示加法法则
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
若a＞0，b＞0，则a＋b＝|a|＋|b|；
若a＜0，b＜0，则a＋b＝－(|a|＋|b|)．
绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，
则a＋b＝|a|－|b|；
若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，
则a＋b＝－(|b|－|a|)．
互为相反数的两个数相加得0.
若a＞0，b＜0，且|a|＝|b|，
则a＋b＝0.
任何数同0相加，结果不变．
若a＝0，则a＋b＝b.
破疑点 加法法则的理解 两个数相加的和，与加数之间的大小关系不确定，不要再习惯性地认为和一定大于加数，要分情况对待．
【例5－1】 下列结论不正确的是( )．
A．若a＞0，b＞0，则a＋b＞0
B．若a＜0，b＜0，则a＋b＜0
C．若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，则a＋b＞0
D．若a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，则a＋b＞0
解析：根据加法法则，先取号，所以： ( http: / / www.21cnjy.com )A.a，b同正，相加取正号，正确；B.a，b同负，和取负号，正确；C.a正，b负，但a的绝对值大于b的绝对值，所以和取a的符号，即正号，因而正确；D.a负，b正，但a的绝对值大于b的绝对值，所以和取负号，错误．
答案：D
【例5－2】 判断正误．
(1)若a＋b＜0，则a，b两数可能有一个正数．( )
(2)若x＋y＝0，则|x|＝|y|.( )
(3)两个数的和一定大于其中一个加数．( )
(4)如果两个数的和为正数，那么两个数一正一负，且正数绝对值大．( )
解析：(1)正确，当a，b异号且正数的绝对值较小时，a＋b＜0；
(2)x＋y＝0，则x，y互为相反数，|x|＝|y|，正确．
(3)不正确，引入负数后，两负数相加，越加越小．如：(－5)＋(－3)＝－8，但－8＜－5，－8＜－3.
(4)不正确，反例：1＋2＝3，但两个数都为正数．
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
6.有理数的加减混合运算技巧归纳
(1)同分母的优先结合
当分母相同或一个分母是另一个分母的倍数时，优先考虑让它们结合，以简化运算，提高解题速度和准确性．
(2)同号的优先结合
在加法运算中，同号两数相加比较容易算，一般不会产生符号上的错误，所以在混合运算中，往往让同号的两数结合相加，避免符号出现错误．
(3)凑整法
让和为整数的加数相结合，包括互为相反数的两个加数，各个组合都得到整数，大大加快了运算速度并提高了准确度．
(4)同形的优先结合
几个数相加，可将整数部分、分数部分分别相加，这样避免了将带分数化成假分数的麻烦，减小了运算量．
(5)裂项相消法
有些运算难度较大，不能直接运用加减 ( http: / / www.21cnjy.com )法则和运算律，需要对算式进行适当变形后，才能计算，这部分题目不是很多，有的方法可以记住，以提高运算解题能力．
有些带有绝对值号的计算题，去掉绝对值符号后， ( http: / / www.21cnjy.com )也会出现一定规律排列，可以用结合律，让互为相反数的两个数相结合，从而简化计算．
【例6－1】 计算－＋－.
分析：同分母分数相结合，减少通分过程．
解：原式＝＋＝－3－7＝－10.
【例6－2】 计算(－2.39)－1.57＋＋(－7.61)－32＋1.57.
分析：相加得整数的数相结合．
解：原式＝(－2.39－7.61)＋(－1.57＋1.57)＋＝－10＋0＋(－38)＝－48.
【例6－3】 计算1－1－1＋4.
分析：整数部分相结合，分数部分相结合，注意负的带分数的真分数部分也是负数．
解：原式＝(1－1－1＋4)＋＝3＋0＝3.
【例6－4】 计算＋＋＋…＋＋.
解：原式＝1－＋－＋－＋…＋－＋－＝1－＝.
解技巧 求和时的运算规律 本例求和的方法，妙在把一项转化成两项之差，而相邻项中部分内容可以正负消，其和得以简洁呈现．
7．有理数加法的应用
学习有理数的加减法后，可以和前面学过的数轴、相反数、绝对值综合出题，把有理数的知识融合得更紧密，理解得更深刻．
(1)有理数加法与相反数
这类问题的解决思想是：利用概念把问题转化成加法算式．
(2)有理数加法与绝对值
在有些计算中，含有绝对值符号，这就要用绝对值的概念，先去掉绝对值符号，再按有理数混合运算法则进行计算．
(3)有理数加法与有理数的大小比较
学习加法后，在比较大小的数 ( http: / / www.21cnjy.com )中，出现了和的形式或差的形式(差可以化成和)．特别是以字母表示的数．这就需要用加法法则来判断数的正负性，或判断在数轴上的位置关系，从而确定两个数的大小关系．
(4)有理数加法在实际问题中的应用
在实际问题中，要应用有理数的加法法则求解问题，注意运算技巧的使用．
破疑点 有关绝对值的计 ( http: / / www.21cnjy.com )算 对于绝对值内算式结果正负性，可以用加减法法则，如：要去掉绝对值符号，因为＞，所以＜0，所以＝－＝7－4.
【例7－1】 若|x－3|与|y＋3|互为相反数，求x＋y的值．
分析：由题意|x－3|＋|y＋3|＝0，转化成了非负数问题．
解：根据题意得|x－3|＋|y＋3|＝0，则x－3＝0，y＋3＝0，x＝3，y＝－3，所以x＋y＝3＋(－3)＝0.
【例7－2】 若b＞0，a＜0，c＜0，且|c|＞|b|＞|a|，试比较a，b，c，a＋b，a＋c的大小．
分析：先确定正负，比较出异号数之间的大小，再比较绝对值，从而比较出同号数之间的大小．
解：由b＞0，a＜0，c＜0，知a＋c＜0，
又|b|＞|a|，所以a＋b＞0，
在a，c，a＋c三个负数中，|a＋c|＝|a|＋|c|，
又因为|c|＞|a|，所以|a＋c|＞|c|＞|a|，
所以a＋c＜c＜a.
而在b，a＋b两个正数中，a，b异号，且|a|＜|b|，
所以|a＋b|＝|b|－|a|，所以|a＋b|＜|b|，a＋b＜b，
于是：a＋c＜c＜a＜a＋b＜b.
【例7－3】 某检修小组乘汽车沿公路( ( http: / / www.21cnjy.com )假设公路是笔直的)检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自A地出发到收工时所走路线(单位：千米)为：＋10，－3，＋4，＋2，－8，＋13，－2，＋12，＋8，＋5.
(1)收工时距离A点多远？
(2)若每千米耗油0.2升，问这天耗油多少升？
分析：(1)中到A地的距离不是行程，所 ( http: / / www.21cnjy.com )以是求所有数的和，再根据数的正负确定方向，根据绝对值确定距离；(2)中求耗油量，应该是总里程所耗油量，所以是求所有数绝对值的和．
解：(1)＋10＋(－3)＋(＋4 ( http: / / www.21cnjy.com ))＋(＋2)＋(－8)＋(＋13)＋(－2)＋(＋12)＋(＋8)＋(＋5)＝10－3＋4＋2－8＋13－2＋12＋8＋5＝41.
所以收工时在A地前方距离A地41千米．
(2)|＋10|＋|－3|＋|＋4|＋| ( http: / / www.21cnjy.com )＋2|＋|－8|＋|＋13|＋|－2|＋|＋12|＋|＋8|＋|＋5|＝10＋3＋4＋2＋8＋13＋2＋12＋8＋5＝67.67×0.2＝13.4(升)．
所以从A地出发到收工时共耗油13.4升．
8.有理数减法的应用
(1)求数轴上两点的距离
求数轴上两点的距离，就是用表示两点的数相减后，求差的绝对值．如图，
A，B两点的距离：AB＝|b－a|.
(2)有理数减法的实际应用
求一个数比另一个数多多少、大多少、高 ( http: / / www.21cnjy.com )多少等，要用减法，和小学里所学数的运算没有多少区别，只是参与计算的数可能是正数也可能是负数或0，当减去一个负数时，要添加括号．
解技巧 比较两数大小的方法 比较两数大小，可以用作差法，即当a－b＞0时，a＞b；当a－b＜0时，当a＜b；当a－b＝0时，a＝b.
【例8－1】 (1)求数轴上表示＋3与－8的两点的距离．
(2)求数轴上到表示－3的点的距离为8的点所表示的数．
分析：(1)数轴上两点的距离就是表示这两点的数的差的绝对值；(2)注意到－3的距离是8的点有两个，在表示－3的点的左右两边各1个．
解：(1)这两点的距离为|(＋3)－(－8)|＝|3＋8|＝11.
(2)设到－3的距离为8的点表示的数为x，则根据题意，得|x－(－3)|＝8，|x＋3|＝8，x＋3＝8或x＋3＝－8，x＝5或x＝－11.
【例8－2】 以地面为基准，A处高为＋ ( http: / / www.21cnjy.com )2.5米，B处高为－17.8米，C处高为－32.4米，问：(1)A点比B点高多少米？(2)B点与C点哪个地方高？高多少米？(3)A点与C点哪个地方低？低多少米？
解：(1)＋2.5－(－17.8)＝2.5＋17.8＝20.3(米)，
所以A点比B点高20.3米．
(2)－17.8－(－32.4)＝－17.8＋32.4＝14.6(米)，
所以B点比C点高，高了14.6米．
(3)2.5－(－32.4)＝2.5＋32.4＝34.9(米)，
所以C点低，低了34.9米．
1．有理数的加法法则
(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0.
(3)一个数同0相加，仍得这个数．
谈重点 有理数的加法运算 ①有理数的加 ( http: / / www.21cnjy.com )法运算涉及两个问题：一是确定结果的符号；二是求结果的绝对值．因此在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号，是同号还是异号？从而确定用哪一条法则；②在加法运算中，只要有0参加，值都不变．
【例1－1】 计算：
(1)(－3)＋(－9)；(2)(－5)＋8；
(3)(－3)＋3；(4)0＋(－5)．
分析：(1)两个负数相加，应用法则1，符号 ( http: / / www.21cnjy.com )取相同的符号“－”，绝对值相加：3＋9；(2)异号两数相加，应用法则2，正数8的绝对值大，所以和的符号取“＋”号，并用较大的绝对值8减去较小的绝对值5；(3)互为相反数的两个数相加，用法则2；(4)有0参加，值不变．
解：(1)(－3)＋(－9)＝－(|－3|＋|－9|)＝－12；
(2)(－5)＋8＝＋(|8|－|－5|)＝＋3＝3；
(3)(－3)＋3＝0；(4)0＋(－5)＝－5.
【例1－2】 计算：
(1)(－3)＋(－4.5)＋(－2.5)＋(－8)；
(2)＋＋0＋.
分析：对于同号的三个加数以上的运算，法则1同样适用．
解：(1)(－3)＋(－4.5)＋(－2.5)＋(－8)
＝－(3＋4.5＋2.5＋8)＝－18.
(2)＋＋0＋
＝－＝－4.
2．有理数的加法运算律
(1)加法的交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．
字母表示：a＋b＝b＋a.
(2)加法的结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．
字母表示：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
解技巧 加法运算律的运用规律 对多个有理数的和尽量用加法的运算律进行，以达到简化运算的目的，通常有以下规律遵循：
①互为相反数的两个数相加；
②几个数相加得到整数的先相加；
③分母相同的数相加；
④符号相同的数相加；
⑤整数与整数，小数与小数相加．
另外，多个加数相加时，往往有多种组合方法，不一定死套法则，要仔细观察，根据题目的特点，只要能使运算简便易行即可．
【例2】 计算：
(1)(＋26)＋(－14)＋(－16)＋(＋18)；
(2)18.56＋(－5.16)＋(－1.44)＋(＋5.16)＋(－18.56)；
(3)4.1＋＋＋(－10.1)＋7；
(4)＋＋＋.
分析：把相加得整数、同分母分数、互为相反数、同正或同负的数分别相结合，达到简化计算的目的．
解：(1)(＋26)＋(－14)＋(－16)＋(＋18)
＝[(＋26)＋(＋18)]＋[(－14)＋(－16)]
＝(＋44)＋(－30)＝14；
(2)18.56＋(－5.16)＋(－1.44)＋(＋5.16)＋(－18.56)
＝[(＋18.56)＋(－18.56)]＋[(－5.16)＋(＋5.16)]＋(－1.44)＝－1.44；
(3)4.1＋＋＋(－10.1)＋7
＝[4.1＋(－10.1)＋7]＋
＝1＋＝1；
(4)＋＋＋
＝＋
＝＋＝－＋＝－.
3．有理数的减法法则
(1)法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．
有理数的减法法则用字母表示为：a－b＝a＋(－b)．
有理数的减法，关键是把减法化成加法，再按照有理数加法的法则和运算律计算．
(2)计算步骤：用法则进行减法运算时应注意：
①把减号变为加号(改变运算符号)；
②把减数变为它的相反数(改变性质符号)；
③按照加法运算的法则进行运算．
谈重点 有理数减法的理解 将减法转化为加法时，注意两变，即“一是变加法；二是把减数变为它的相反数”．
如：
( http: / / www.21cnjy.com )
可简记为“减正变加负，减负变加正”．
【例3】 计算：(1)2－(－4)；
(2)(－5)－(－8)；
(3)－5；
(4)5.5－(＋3.9)；
(5)(－12)－(－20)－(－52)；
(6)[(－5)－(＋8)]－(－3)．
分析：先把减法转化为加法，再用加法法则进行计算．
解：(1)2－(－4)＝2＋(＋4)＝6；
(2)(－5)－(－8)＝(－5)＋(＋8)＝3；
(3)－5＝＋＝－7；
(4)5.5－(＋3.9)＝5.5＋(－3.9)＝1.6；
(5)(－12)－(－20)－(－52)
＝(－12)＋(＋20)＋(＋52)＝60；
(6)[(－5)－(＋8)]－(－3)
＝[(－5)＋(－8)]＋(＋3)
＝－13＋(＋3)＝－10.
4.有理数的加减混合运算
(1)有理数加减法统一成加法的意义
①对于有理数的加、减混合运算中的减法，可以根据有理数减法法则将减法转化为加法．如：
(－11)－7＋(－9)－(－6)可以转化 ( http: / / www.21cnjy.com )为：(－11)＋(－7)＋(－9)＋(＋6)，这样就将混合运算统一为加法运算，统一成加法后的式子是几个正数或负数的和的形式．
②在一个代数和里，通常有的 ( http: / / www.21cnjy.com )加号可以省略，每个数的括号也可以省略，如：(－11)＋(－7)＋(－9)＋(＋6)，省略“＋”和括号后成为：－11－7－9＋6.
③和式的读法：一是按这个式子的意义读作：－11，－7，－9,6四个数的和，二是按运算意义，可以读作：“负11减7减9加6”．
(2)有理数加减混合运算的步骤
第一步：运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法；
第二步：省略加号和括号；
第三步：运用加法法则、加法交换律、加法结合律简化运算．
析规律 混合运算中的计算规律 在运算 ( http: / / www.21cnjy.com )过程中，遵循以下原则：①互为相反数的两数相结合；②同分母的分数或比较容易通分的分数相结合；③带分数一般化成假分数或分成整数和分数两部分，再分别相加．
【例4】 计算：(1)(＋11)－－(－7)＋－(－2)＋；
(2)－＋－；
(3)－－＋；
(4)－5.13＋4.62＋(－8.47)－(－2.3)．
有理数的加减混合运算要灵活运用运算律，在交换加数的位置时，要带着它前面的符号一同变换．
分析：先统一成加法，再省略加号，(1)让整数和分数分别相加；(2)、(3)让同分母分数相结合；(4)正数、负数分别相加．
解：(1)(＋11)－－(－7)＋－(－2)＋
＝11＋＋(＋7)＋＋(＋2)＋
＝11－＋7－＋2－
＝(11＋7＋2)＋
＝20－1＝19；
(2)－＋－
＝－4＋5－4－3
＝＋
＝－8＋1
＝－6；
(3)－－＋
＝＋＋＋
＝＋
＝1＋
＝－；
(4)－5.13＋4.62＋(－8.47)－(－2.3)
＝－5.13＋4.62－8.47＋2.3
＝(－5.13－8.47)＋(4.62＋2.3)
＝－13.6＋6.92
＝－6.68.
一般正数和负数分别相加．
5．用字母表示加法法则
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
若a＞0，b＞0，则a＋b＝|a|＋|b|；
若a＜0，b＜0，则a＋b＝－(|a|＋|b|)．
绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，
则a＋b＝|a|－|b|；
若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，
则a＋b＝－(|b|－|a|)．
互为相反数的两个数相加得0.
若a＞0，b＜0，且|a|＝|b|，
则a＋b＝0.
任何数同0相加，结果不变．
若a＝0，则a＋b＝b.
破疑点 加法法则的理解 两个数相加的和，与加数之间的大小关系不确定，不要再习惯性地认为和一定大于加数，要分情况对待．
【例5－1】 下列结论不正确的是( )．
A．若a＞0，b＞0，则a＋b＞0
B．若a＜0，b＜0，则a＋b＜0
C．若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，则a＋b＞0
D．若a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，则a＋b＞0
解析：根据加法法则，先取号，所以： ( http: / / www.21cnjy.com )A.a，b同正，相加取正号，正确；B.a，b同负，和取负号，正确；C.a正，b负，但a的绝对值大于b的绝对值，所以和取a的符号，即正号，因而正确；D.a负，b正，但a的绝对值大于b的绝对值，所以和取负号，错误．
答案：D
【例5－2】 判断正误．
(1)若a＋b＜0，则a，b两数可能有一个正数．( )
(2)若x＋y＝0，则|x|＝|y|.( )
(3)两个数的和一定大于其中一个加数．( )
(4)如果两个数的和为正数，那么两个数一正一负，且正数绝对值大．( )
解析：(1)正确，当a，b异号且正数的绝对值较小时，a＋b＜0；
(2)x＋y＝0，则x，y互为相反数，|x|＝|y|，正确．
(3)不正确，引入负数后，两负数相加，越加越小．如：(－5)＋(－3)＝－8，但－8＜－5，－8＜－3.
(4)不正确，反例：1＋2＝3，但两个数都为正数．
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
6.有理数的加减混合运算技巧归纳
(1)同分母的优先结合
当分母相同或一个分母是另一个分母的倍数时，优先考虑让它们结合，以简化运算，提高解题速度和准确性．
(2)同号的优先结合
在加法运算中，同号两数相加比较容易算，一般不会产生符号上的错误，所以在混合运算中，往往让同号的两数结合相加，避免符号出现错误．
(3)凑整法
让和为整数的加数相结合，包括互为相反数的两个加数，各个组合都得到整数，大大加快了运算速度并提高了准确度．
(4)同形的优先结合
几个数相加，可将整数部分、分数部分分别相加，这样避免了将带分数化成假分数的麻烦，减小了运算量．
(5)裂项相消法
有些运算难度较大，不能直接运用加减 ( http: / / www.21cnjy.com )法则和运算律，需要对算式进行适当变形后，才能计算，这部分题目不是很多，有的方法可以记住，以提高运算解题能力．
有些带有绝对值号的计算题，去掉绝对值符号后， ( http: / / www.21cnjy.com )也会出现一定规律排列，可以用结合律，让互为相反数的两个数相结合，从而简化计算．
【例6－1】 计算－＋－.
分析：同分母分数相结合，减少通分过程．
解：原式＝＋＝－3－7＝－10.
【例6－2】 计算(－2.39)－1.57＋＋(－7.61)－32＋1.57.
分析：相加得整数的数相结合．
解：原式＝(－2.39－7.61)＋(－1.57＋1.57)＋＝－10＋0＋(－38)＝－48.
【例6－3】 计算1－1－1＋4.
分析：整数部分相结合，分数部分相结合，注意负的带分数的真分数部分也是负数．
解：原式＝(1－1－1＋4)＋＝3＋0＝3.
【例6－4】 计算＋＋＋…＋＋.
解：原式＝1－＋－＋－＋…＋－＋－＝1－＝.
解技巧 求和时的运算规律 本例求和的方法，妙在把一项转化成两项之差，而相邻项中部分内容可以正负消，其和得以简洁呈现．
7．有理数加法的应用
学习有理数的加减法后，可以和前面学过的数轴、相反数、绝对值综合出题，把有理数的知识融合得更紧密，理解得更深刻．
(1)有理数加法与相反数
这类问题的解决思想是：利用概念把问题转化成加法算式．
(2)有理数加法与绝对值
在有些计算中，含有绝对值符号，这就要用绝对值的概念，先去掉绝对值符号，再按有理数混合运算法则进行计算．
(3)有理数加法与有理数的大小比较
学习加法后，在比较大小的数 ( http: / / www.21cnjy.com )中，出现了和的形式或差的形式(差可以化成和)．特别是以字母表示的数．这就需要用加法法则来判断数的正负性，或判断在数轴上的位置关系，从而确定两个数的大小关系．
(4)有理数加法在实际问题中的应用
在实际问题中，要应用有理数的加法法则求解问题，注意运算技巧的使用．
破疑点 有关绝对值的计 ( http: / / www.21cnjy.com )算 对于绝对值内算式结果正负性，可以用加减法法则，如：要去掉绝对值符号，因为＞，所以＜0，所以＝－＝7－4.
【例7－1】 若|x－3|与|y＋3|互为相反数，求x＋y的值．
分析：由题意|x－3|＋|y＋3|＝0，转化成了非负数问题．
解：根据题意得|x－3|＋|y＋3|＝0，则x－3＝0，y＋3＝0，x＝3，y＝－3，所以x＋y＝3＋(－3)＝0.
【例7－2】 若b＞0，a＜0，c＜0，且|c|＞|b|＞|a|，试比较a，b，c，a＋b，a＋c的大小．
分析：先确定正负，比较出异号数之间的大小，再比较绝对值，从而比较出同号数之间的大小．
解：由b＞0，a＜0，c＜0，知a＋c＜0，
又|b|＞|a|，所以a＋b＞0，
在a，c，a＋c三个负数中，|a＋c|＝|a|＋|c|，
又因为|c|＞|a|，所以|a＋c|＞|c|＞|a|，
所以a＋c＜c＜a.
而在b，a＋b两个正数中，a，b异号，且|a|＜|b|，
所以|a＋b|＝|b|－|a|，所以|a＋b|＜|b|，a＋b＜b，
于是：a＋c＜c＜a＜a＋b＜b.
【例7－3】 某检修小组乘汽车沿公路( ( http: / / www.21cnjy.com )假设公路是笔直的)检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自A地出发到收工时所走路线(单位：千米)为：＋10，－3，＋4，＋2，－8，＋13，－2，＋12，＋8，＋5.
(1)收工时距离A点多远？
(2)若每千米耗油0.2升，问这天耗油多少升？
分析：(1)中到A地的距离不是行程，所 ( http: / / www.21cnjy.com )以是求所有数的和，再根据数的正负确定方向，根据绝对值确定距离；(2)中求耗油量，应该是总里程所耗油量，所以是求所有数绝对值的和．
解：(1)＋10＋(－3)＋(＋4 ( http: / / www.21cnjy.com ))＋(＋2)＋(－8)＋(＋13)＋(－2)＋(＋12)＋(＋8)＋(＋5)＝10－3＋4＋2－8＋13－2＋12＋8＋5＝41.
所以收工时在A地前方距离A地41千米．
(2)|＋10|＋|－3|＋|＋4|＋| ( http: / / www.21cnjy.com )＋2|＋|－8|＋|＋13|＋|－2|＋|＋12|＋|＋8|＋|＋5|＝10＋3＋4＋2＋8＋13＋2＋12＋8＋5＝67.67×0.2＝13.4(升)．
所以从A地出发到收工时共耗油13.4升．
8.有理数减法的应用
(1)求数轴上两点的距离
求数轴上两点的距离，就是用表示两点的数相减后，求差的绝对值．如图，
A，B两点的距离：AB＝|b－a|.
(2)有理数减法的实际应用
求一个数比另一个数多多少、大多少、高 ( http: / / www.21cnjy.com )多少等，要用减法，和小学里所学数的运算没有多少区别，只是参与计算的数可能是正数也可能是负数或0，当减去一个负数时，要添加括号．
解技巧 比较两数大小的方法 比较两数大小，可以用作差法，即当a－b＞0时，a＞b；当a－b＜0时，当a＜b；当a－b＝0时，a＝b.
【例8－1】 (1)求数轴上表示＋3与－8的两点的距离．
(2)求数轴上到表示－3的点的距离为8的点所表示的数．
分析：(1)数轴上两点的距离就是表示这两点的数的差的绝对值；(2)注意到－3的距离是8的点有两个，在表示－3的点的左右两边各1个．
解：(1)这两点的距离为|(＋3)－(－8)|＝|3＋8|＝11.
(2)设到－3的距离为8的点表示的数为x，则根据题意，得|x－(－3)|＝8，|x＋3|＝8，x＋3＝8或x＋3＝－8，x＝5或x＝－11.
【例8－2】 以地面为基准，A处高为＋ ( http: / / www.21cnjy.com )2.5米，B处高为－17.8米，C处高为－32.4米，问：(1)A点比B点高多少米？(2)B点与C点哪个地方高？高多少米？(3)A点与C点哪个地方低？低多少米？
解：(1)＋2.5－(－17.8)＝2.5＋17.8＝20.3(米)，
所以A点比B点高20.3米．
(2)－17.8－(－32.4)＝－17.8＋32.4＝14.6(米)，
所以B点比C点高，高了14.6米．
(3)2.5－(－32.4)＝2.5＋32.4＝34.9(米)，
所以C点低，低了34.9米．