《初中同步测控全优设计》2013-2014学年人教版七年级数学上册例题与讲解：第一章1.4 有理数的乘除法
文档属性
| 名称 | 《初中同步测控全优设计》2013-2014学年人教版七年级数学上册例题与讲解：第一章1.4 有理数的乘除法 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-11-06 12:47:01 | ||
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文档简介
1.4 有理数的乘除法
1．两个有理数相乘
(1)有理数乘法法则：
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
②任何数与0相乘，都得0.
(2)有理数乘法的步骤
第一步：确定积的符号；
第二步：确定积的绝对值．
(3)由于绝对值总是正数或0，因此绝对值相乘就是小学中的算术乘法．由此可见，有理数乘法实质上就是通过符号法则，归结为算术的乘法完成的．
解技巧 两个有理数相乘 两个有理数相乘时，先确定积的符号，再把绝对值相乘，带分数相乘时，要先把带分数化为假分数，分数与小数相乘时，要统一写成分数或小数．
【例1】 计算：(1)(－3)×(－5)；
(2)×；
(3)(－125)×0；
(4)－×.
分析：(1)同负，积取正号；(2)异号， ( http: / / www.21cnjy.com )积取负号；(3)任何数同0相乘都得0；(4)可以认为是与积的相反数，与×的计算结果虽然一样，但意义不一样．
解：(1) (－3)×(－5)＝3×5＝15；
(2)×＝－×＝－；
(3)(－125)×0＝0；
(4)－×＝×＝.
2．倒数
(1)倒数的定义
乘积是1的两个数互为倒数.0没有倒数．
(2)表示方法：a的倒数表示为(a≠0)．
倒数等于其本身的数是1和－1.
(3)求倒数的方法：
①若求一个整数(不为0)的倒数，写成这个整数分之一；
②若求一个小数的倒数，要先把小数化成分数，再把分数的分母和分子颠倒位置；
③若求一个带分数的倒数，要先将带分数化为假分数，再求它的倒数．
警误区 求倒数常出现的错误 在做“倒数” ( http: / / www.21cnjy.com )的题目的时候一定要注意倒数的概念和相反数的概念的区分：要得到一个数的相反数，只要将它乘－1，除零外，它们的符号不同；要得到一个数的倒数，只要用1除以它即可，同时正数的倒数仍为正数，负数的倒数仍为负数．
【例2】 求下列各数的倒数：
(1)－3；(2)－；(3)0.24；(4)－1.
分析：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，求法同求正数的倒数一样．
解：(1)－3的倒数为－；
(2)－的倒数为－；
(3)因为0.24＝，所以0.24的倒数是；
(4)－1＝－，所以－1的倒数是－.
3.多个有理数相乘
(1)多个有理数乘法法则
①几个不是零的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数．
口诀：奇负偶正．
②几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0.
(2)由上面的法则可以知道：
几个不等于零的因数相乘，首先确定积的符号，然后再把每个因数的绝对值相乘．这就是多个因数求积的常用方法．
谈重点 多个有理数相乘 几个不是零的数相 ( http: / / www.21cnjy.com )乘，积的符号由负因数的个数决定，多个有理数相乘时，和两个因数相乘一样，先确定积的符号，再把各因数绝对值相乘的积当作积的绝对值．计算前要注意观察，无论有多少个因数，只要有一个因数为0，结果即为0.
【例3】 计算：
(1)－2×3×4×(－1)；
(2)(－5)×(－6)×3×(－2)；
(3)(－3)×××0×；
(4)15××1×.
解：(1)－2×3×4×(－1)＝＋(2×3×4×1)＝24；
(2)(－5)×(－6)×3×(－2)＝－(5×6×3×2)＝－180；
(3)(－3)×××0×＝0；
(4)15××1×
＝15×××
＝30.
4．有理数乘法的运算律
(1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等．即：ab＝ba.
(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即(ab)c＝a(bc)．
(3)分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即a(b＋c)＝ab＋ac.
恰当运用乘法运算律可以使运算简便．
解技巧 使用运算律的技巧 ①有理数的乘法运算中，有时需要把算式变形，才能使用运算律．②无论是两个还是多个数相乘，都要先处理好符号；③在运用分配律时，如果括号外面的数带负号，要连同符号一起去乘括号里的加数，有时需要逆用乘法分配律．
【例4】 计算：
(1)(－4)×8×(－2.5)×0.1×(－1.25)×10；
(2)(－12)×；
(3)×6；
(4)(－370)×＋0.25×24.5＋5×25%.
分析：可以先确定符号，再根据实际将相乘得整数，或便于约分的数相结合，进行计算．
解：(1)(－4)×8×(－2.5)×0.1×(－1.25)×10
＝－(4×2.5)×(8×1.25)×(0.1×10)
＝－10×10×1＝－100；
(2)(－12)×
＝(－12)×＋(－12)×＋(－12)×
＝－6－10＋7＝－9；
(3)解法一：×6＝×6
＝－120＋＝－119；
解法二：×6＝－×6
＝－＝－119；
(4)(－370)×＋0.25×24.5＋5×25%
＝370×＋×24.5＋5.5×
＝×(370＋24.5＋5.5)
＝×400＝100.
5.有理数的除法法则
(1)法则一(除变乘)：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即a÷b＝a×(b≠0)．
(2)法则二(符号确定)：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数都得0.
(3)进行有理数的除法运算时，先确定商的符号，再确定绝对值．商的符号的确定和有理数乘法中积的符号的确定方法是一样的．
对于连续几个数相除，在化成乘法运算时，每个除号后都要化成倒数的形式，如a÷b÷c÷d＝a×××.
析规律 除法的两个法则的 ( http: / / www.21cnjy.com )选用 对于除法的两个法则，在计算时根据具体情况，灵活运用，一般在不能整除的情况下应用第一法则，在能整除的情况下，应用第二法则比较方便．
【例5－1】 计算：
(1)(－15)÷(－3)；
(2)2÷；
(3)÷÷；
(4)(－12)÷÷(－100)．
分析：整数相除直接除，分数或小数都化为分数进行，(2)(3)(4)化为分数进行，也防止出错．
解：(1)(－15)÷(－3)＝5；
(2)2÷＝－×＝－2；
(3)÷÷
＝××＝2；
(4)(－12)÷÷(－100)
＝－12×12×＝－1.44.
【例5－2】 化简下列分数：
(1)；(2)；(3)－.
分析：先取号，再约分，结果是整数的可以看做除法进行．
解：(1)＝－72÷9＝－8；
(2)＝30÷45＝；
(3)－＝－(5÷15)＝－.
分数可以理解为分子除以分母，分数线代表除号．实际上，分数本身的符号、分子的符号、分母的符号，这三者中任意改变两个，分数的值不变．
6．有理数的乘除混合运算
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒 ( http: / / www.21cnjy.com )数，这就把除法化成了乘法，所以在有理数的乘除混合运算中，一般是把除法统一成乘法，然后再按从左到右的顺序进行计算，有括号的要先算括号里的．
做乘除混合运算时，乘法不变，将除法变成乘法，再按从左到右的顺序进行计算，计算过程中要注意约分，减少运算量．
【例6】 计算：
(1)(－27)÷2×÷(－24)；
(2)(－12)÷(－4)÷×.
分析：先确定符号，同时把除法统一成乘法．(1)共有2个负号，结果为“＋”；(2)共有3个负号，结果为“－”．
解：(1)(－27)÷2×÷(－24)
＝27×××＝.
(2)(－12)÷(－4)÷×
＝－12×××＝－.
7.有理数的加减乘除混合运算
有理数的四则运算，是有理数加减乘除 ( http: / / www.21cnjy.com )的综合运用．运算顺序是先算乘除后算加减，有括号的先算括号内的．在混合运算中，要注意灵活运用运算律，使运算得以简化．
警误区 分配律的理解 除法没有分 ( http: / / www.21cnjy.com )配律，12÷＝12÷(－3)＋12÷＋12÷1是错误的．像29÷3×有时会习惯性地将3和分母中的3约分，这是错误的，应严格按运算顺序进行计算．
【例7】 计算：
(1)12÷；
(2)××÷；
(3)1－÷(－1)．
分析：先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里的．
解：(1)原式＝12÷＝－12×＝－；
(2)原式＝×××＝－；
(3)原式＝1－÷(－1)
＝1－[1－(1＋1)×3]÷(－1)
＝1－(1－6)÷(－1)
＝－4.
8.计算器的使用
计算器是一种方便实用的计算工具，计算速度快， ( http: / / www.21cnjy.com )操作方便，体积小，功能多，能帮助我们进行各种复杂的数学计算，还可以帮助我们理解数学概念，它已经成为人们广泛使用的计算工具．
使用时，要记清计算器中常用 ( http: / / www.21cnjy.com )的功能键的用法，多进行实际操作，操作时要注意以下几点：(1)计算器一定要平稳放置；(2)按下数字键时，应看其是否正确．
【例8】 用计算器计算：－15.13＋4.85＋(－7.69)－(－13.88)．
分析：不同的计算器用法不一样，要注意，使用计算器能进行一些较为复杂的运算．
解：用带符号键的计算器计算．
按键顺序：
，
得到－4.09.
9．有理数乘除法与有理数概念的应用
相反数、绝对值等都是有理数的重要概念．在运算中经常用到这些概念，需要正确用表达式表示这些概念．
(1)a，b互为相反数a＋b＝0；
(2)a，b互为倒数ab＝1；
(3)a，b同号(a≠0，b≠0)ab＞0或＞0；a，b异号(a≠0，b≠0)ab＜0或＜0；
(4)|ab|＝|a||b|.
【例9】 已知a＜0，b＜0，c＜0，试比较与的大小．
分析：把与看成是有理数的混合运算．先确定与的符号，再比较与的大小．
解：因为a＜0，b＜0，c＜0，
所以b＋c＜0，
所以＞0.
又因为a＜0，b＜0，c＜0，bc＞0，
所以＜0，
所以＜.
10.有理数乘法的实际应用
有理数乘法在现实生活中有着广泛的应用，是解决其他数学问题的基础，也是应用题的基础，多以实际应用、规律探究型问题的形式出现．
尤其是运算律在现实生活中 ( http: / / www.21cnjy.com )的应用更加广泛．在现实生活中我们经常会遇到一些较大的或者较复杂的数的乘法运算，这时就要利用运算律进行转化，使运算简化．
解决实际问题的关键是根据问题情境找出数量关系，将实际问题转化为所学的数学问题．
解题时一定要根据乘法的意义，正确地列出算式，求解时，先进行符号的运算，再进行绝对值的运算．
【例10】 某校体育器材室共有60个篮球．一天课外活动，有3个班级分别计划借篮球总数的，和.请你算一算，这60个篮球够借吗？如果够了，还多几个篮球？如果不够，还缺几个？
分析：本题可以转化为：求一个数的几分之几是多少的数学模型，所以用乘法来解答．
解：60×
＝60×1－60×
－60×
－60×
＝60－30－20－15
＝－5，
答：不够借，还缺5个篮球．
11.有理数混合运算在实际问题中的应用
有理数的混合运算可以解决一些实际应用题，如：银行利息计算、话费计算等．解决这类问题的关键是将实际问题抽象成数学问题，用运算符号正确表达出关系式，注意单位和解题格式，再者要注意不要把负号当成减号．
【例11】 根据实验测定：高度每增加1千米，气温大约降低6 ℃.某登山运动员在攀登珠穆朗玛峰的途中发回信息，报告他所在高度的气温是－15 ℃，如果当时地面气温是3 ℃，登山运动员所在高度能确定吗？
分析：地面温度是3 ℃，登山运动员所在高度的气温是－15 ℃，温度下降的度数是3－(－15)，根据高度与气温的关系，即能求出他所在的高度．
解：[3－(－15)]÷6×1＝18÷6×1＝3(千米)．
答：他所在的高度能确定，是3千米．
1．两个有理数相乘
(1)有理数乘法法则：
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
②任何数与0相乘，都得0.
(2)有理数乘法的步骤
第一步：确定积的符号；
第二步：确定积的绝对值．
(3)由于绝对值总是正数或0，因此绝对值相乘就是小学中的算术乘法．由此可见，有理数乘法实质上就是通过符号法则，归结为算术的乘法完成的．
解技巧 两个有理数相乘 两个有理数相乘时，先确定积的符号，再把绝对值相乘，带分数相乘时，要先把带分数化为假分数，分数与小数相乘时，要统一写成分数或小数．
【例1】 计算：(1)(－3)×(－5)；
(2)×；
(3)(－125)×0；
(4)－×.
分析：(1)同负，积取正号；(2)异号， ( http: / / www.21cnjy.com )积取负号；(3)任何数同0相乘都得0；(4)可以认为是与积的相反数，与×的计算结果虽然一样，但意义不一样．
解：(1) (－3)×(－5)＝3×5＝15；
(2)×＝－×＝－；
(3)(－125)×0＝0；
(4)－×＝×＝.
2．倒数
(1)倒数的定义
乘积是1的两个数互为倒数.0没有倒数．
(2)表示方法：a的倒数表示为(a≠0)．
倒数等于其本身的数是1和－1.
(3)求倒数的方法：
①若求一个整数(不为0)的倒数，写成这个整数分之一；
②若求一个小数的倒数，要先把小数化成分数，再把分数的分母和分子颠倒位置；
③若求一个带分数的倒数，要先将带分数化为假分数，再求它的倒数．
警误区 求倒数常出现的错误 在做“倒数” ( http: / / www.21cnjy.com )的题目的时候一定要注意倒数的概念和相反数的概念的区分：要得到一个数的相反数，只要将它乘－1，除零外，它们的符号不同；要得到一个数的倒数，只要用1除以它即可，同时正数的倒数仍为正数，负数的倒数仍为负数．
【例2】 求下列各数的倒数：
(1)－3；(2)－；(3)0.24；(4)－1.
分析：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，求法同求正数的倒数一样．
解：(1)－3的倒数为－；
(2)－的倒数为－；
(3)因为0.24＝，所以0.24的倒数是；
(4)－1＝－，所以－1的倒数是－.
3.多个有理数相乘
(1)多个有理数乘法法则
①几个不是零的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数．
口诀：奇负偶正．
②几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0.
(2)由上面的法则可以知道：
几个不等于零的因数相乘，首先确定积的符号，然后再把每个因数的绝对值相乘．这就是多个因数求积的常用方法．
谈重点 多个有理数相乘 几个不是零的数相 ( http: / / www.21cnjy.com )乘，积的符号由负因数的个数决定，多个有理数相乘时，和两个因数相乘一样，先确定积的符号，再把各因数绝对值相乘的积当作积的绝对值．计算前要注意观察，无论有多少个因数，只要有一个因数为0，结果即为0.
【例3】 计算：
(1)－2×3×4×(－1)；
(2)(－5)×(－6)×3×(－2)；
(3)(－3)×××0×；
(4)15××1×.
解：(1)－2×3×4×(－1)＝＋(2×3×4×1)＝24；
(2)(－5)×(－6)×3×(－2)＝－(5×6×3×2)＝－180；
(3)(－3)×××0×＝0；
(4)15××1×
＝15×××
＝30.
4．有理数乘法的运算律
(1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等．即：ab＝ba.
(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即(ab)c＝a(bc)．
(3)分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即a(b＋c)＝ab＋ac.
恰当运用乘法运算律可以使运算简便．
解技巧 使用运算律的技巧 ①有理数的乘法运算中，有时需要把算式变形，才能使用运算律．②无论是两个还是多个数相乘，都要先处理好符号；③在运用分配律时，如果括号外面的数带负号，要连同符号一起去乘括号里的加数，有时需要逆用乘法分配律．
【例4】 计算：
(1)(－4)×8×(－2.5)×0.1×(－1.25)×10；
(2)(－12)×；
(3)×6；
(4)(－370)×＋0.25×24.5＋5×25%.
分析：可以先确定符号，再根据实际将相乘得整数，或便于约分的数相结合，进行计算．
解：(1)(－4)×8×(－2.5)×0.1×(－1.25)×10
＝－(4×2.5)×(8×1.25)×(0.1×10)
＝－10×10×1＝－100；
(2)(－12)×
＝(－12)×＋(－12)×＋(－12)×
＝－6－10＋7＝－9；
(3)解法一：×6＝×6
＝－120＋＝－119；
解法二：×6＝－×6
＝－＝－119；
(4)(－370)×＋0.25×24.5＋5×25%
＝370×＋×24.5＋5.5×
＝×(370＋24.5＋5.5)
＝×400＝100.
5.有理数的除法法则
(1)法则一(除变乘)：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即a÷b＝a×(b≠0)．
(2)法则二(符号确定)：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数都得0.
(3)进行有理数的除法运算时，先确定商的符号，再确定绝对值．商的符号的确定和有理数乘法中积的符号的确定方法是一样的．
对于连续几个数相除，在化成乘法运算时，每个除号后都要化成倒数的形式，如a÷b÷c÷d＝a×××.
析规律 除法的两个法则的 ( http: / / www.21cnjy.com )选用 对于除法的两个法则，在计算时根据具体情况，灵活运用，一般在不能整除的情况下应用第一法则，在能整除的情况下，应用第二法则比较方便．
【例5－1】 计算：
(1)(－15)÷(－3)；
(2)2÷；
(3)÷÷；
(4)(－12)÷÷(－100)．
分析：整数相除直接除，分数或小数都化为分数进行，(2)(3)(4)化为分数进行，也防止出错．
解：(1)(－15)÷(－3)＝5；
(2)2÷＝－×＝－2；
(3)÷÷
＝××＝2；
(4)(－12)÷÷(－100)
＝－12×12×＝－1.44.
【例5－2】 化简下列分数：
(1)；(2)；(3)－.
分析：先取号，再约分，结果是整数的可以看做除法进行．
解：(1)＝－72÷9＝－8；
(2)＝30÷45＝；
(3)－＝－(5÷15)＝－.
分数可以理解为分子除以分母，分数线代表除号．实际上，分数本身的符号、分子的符号、分母的符号，这三者中任意改变两个，分数的值不变．
6．有理数的乘除混合运算
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒 ( http: / / www.21cnjy.com )数，这就把除法化成了乘法，所以在有理数的乘除混合运算中，一般是把除法统一成乘法，然后再按从左到右的顺序进行计算，有括号的要先算括号里的．
做乘除混合运算时，乘法不变，将除法变成乘法，再按从左到右的顺序进行计算，计算过程中要注意约分，减少运算量．
【例6】 计算：
(1)(－27)÷2×÷(－24)；
(2)(－12)÷(－4)÷×.
分析：先确定符号，同时把除法统一成乘法．(1)共有2个负号，结果为“＋”；(2)共有3个负号，结果为“－”．
解：(1)(－27)÷2×÷(－24)
＝27×××＝.
(2)(－12)÷(－4)÷×
＝－12×××＝－.
7.有理数的加减乘除混合运算
有理数的四则运算，是有理数加减乘除 ( http: / / www.21cnjy.com )的综合运用．运算顺序是先算乘除后算加减，有括号的先算括号内的．在混合运算中，要注意灵活运用运算律，使运算得以简化．
警误区 分配律的理解 除法没有分 ( http: / / www.21cnjy.com )配律，12÷＝12÷(－3)＋12÷＋12÷1是错误的．像29÷3×有时会习惯性地将3和分母中的3约分，这是错误的，应严格按运算顺序进行计算．
【例7】 计算：
(1)12÷；
(2)××÷；
(3)1－÷(－1)．
分析：先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里的．
解：(1)原式＝12÷＝－12×＝－；
(2)原式＝×××＝－；
(3)原式＝1－÷(－1)
＝1－[1－(1＋1)×3]÷(－1)
＝1－(1－6)÷(－1)
＝－4.
8.计算器的使用
计算器是一种方便实用的计算工具，计算速度快， ( http: / / www.21cnjy.com )操作方便，体积小，功能多，能帮助我们进行各种复杂的数学计算，还可以帮助我们理解数学概念，它已经成为人们广泛使用的计算工具．
使用时，要记清计算器中常用 ( http: / / www.21cnjy.com )的功能键的用法，多进行实际操作，操作时要注意以下几点：(1)计算器一定要平稳放置；(2)按下数字键时，应看其是否正确．
【例8】 用计算器计算：－15.13＋4.85＋(－7.69)－(－13.88)．
分析：不同的计算器用法不一样，要注意，使用计算器能进行一些较为复杂的运算．
解：用带符号键的计算器计算．
按键顺序：
，
得到－4.09.
9．有理数乘除法与有理数概念的应用
相反数、绝对值等都是有理数的重要概念．在运算中经常用到这些概念，需要正确用表达式表示这些概念．
(1)a，b互为相反数a＋b＝0；
(2)a，b互为倒数ab＝1；
(3)a，b同号(a≠0，b≠0)ab＞0或＞0；a，b异号(a≠0，b≠0)ab＜0或＜0；
(4)|ab|＝|a||b|.
【例9】 已知a＜0，b＜0，c＜0，试比较与的大小．
分析：把与看成是有理数的混合运算．先确定与的符号，再比较与的大小．
解：因为a＜0，b＜0，c＜0，
所以b＋c＜0，
所以＞0.
又因为a＜0，b＜0，c＜0，bc＞0，
所以＜0，
所以＜.
10.有理数乘法的实际应用
有理数乘法在现实生活中有着广泛的应用，是解决其他数学问题的基础，也是应用题的基础，多以实际应用、规律探究型问题的形式出现．
尤其是运算律在现实生活中 ( http: / / www.21cnjy.com )的应用更加广泛．在现实生活中我们经常会遇到一些较大的或者较复杂的数的乘法运算，这时就要利用运算律进行转化，使运算简化．
解决实际问题的关键是根据问题情境找出数量关系，将实际问题转化为所学的数学问题．
解题时一定要根据乘法的意义，正确地列出算式，求解时，先进行符号的运算，再进行绝对值的运算．
【例10】 某校体育器材室共有60个篮球．一天课外活动，有3个班级分别计划借篮球总数的，和.请你算一算，这60个篮球够借吗？如果够了，还多几个篮球？如果不够，还缺几个？
分析：本题可以转化为：求一个数的几分之几是多少的数学模型，所以用乘法来解答．
解：60×
＝60×1－60×
－60×
－60×
＝60－30－20－15
＝－5，
答：不够借，还缺5个篮球．
11.有理数混合运算在实际问题中的应用
有理数的混合运算可以解决一些实际应用题，如：银行利息计算、话费计算等．解决这类问题的关键是将实际问题抽象成数学问题，用运算符号正确表达出关系式，注意单位和解题格式，再者要注意不要把负号当成减号．
【例11】 根据实验测定：高度每增加1千米，气温大约降低6 ℃.某登山运动员在攀登珠穆朗玛峰的途中发回信息，报告他所在高度的气温是－15 ℃，如果当时地面气温是3 ℃，登山运动员所在高度能确定吗？
分析：地面温度是3 ℃，登山运动员所在高度的气温是－15 ℃，温度下降的度数是3－(－15)，根据高度与气温的关系，即能求出他所在的高度．
解：[3－(－15)]÷6×1＝18÷6×1＝3(千米)．
答：他所在的高度能确定，是3千米．