《初中同步测控全优设计》2013-2014学年人教版七年级数学上册例题与讲解：第一章1.5 有理数的乘方
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| 名称 | 《初中同步测控全优设计》2013-2014学年人教版七年级数学上册例题与讲解：第一章1.5 有理数的乘方 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 3.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-11-06 12:50:16 | ||
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文档简介
1.5 有理数的乘方
1．乘方的意义
(1)一般地，n个相同的因数a相乘，即，记作an，读作“a的n次方”．
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方．
(2)幂：乘方的结果叫做幂．
在乘方运算an中，a叫做底数，n叫做指数，an叫做幂，即(如图)
(3)乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运 ( http: / / www.21cnjy.com )算(因数相同的乘法运算)，幂是乘方运算的结果．也就是说，an既表示n个a相乘，又表示n个a相乘的结果．
(4)读法：an看作乘方运算时，读作a的n次方；当an看作a的n次方的结果时，读作a的n次幂．
如34中，底数是3，指数是4，读作3的4次方或3的4次幂．又如(－3)4中，底数是－3，指数是4，读作－3的4次方或－3的4次幂．
(5)一个数可以看作这个数本身的一次方．例如：5就是51,51就是5，指数1通常省略不写．
(6)底数是分数或负数时，要用括号把底数括起来，再在其右上角写指数，指数要写得小些．如(－1)2，2分别表示(－1)×(－1)，×.
(7)乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算(因数相同的乘法运算)，幂是乘方的运算结果，初中阶段学习六种运算，到现在为止，已经学习了有理数的加、减、乘、除、乘方五种．第六种将在后面学习．
对乘方的理解 (－1.3)4与－1.34意义不同，(－1.3)4的底数是－1.3；而－1.34的底数是1.3，它表示1.34的相反数．
【例1】 把下列各式写成乘方运算的形式，并指出底数、指数是什么．
(1)(－1.3)×(－1.3)×(－1.3)×(－1.3)；
(2)×××××；
(3) .
分析：根据乘方的意义，先找相同因数是什么以确定底数，再数相同因数的个数以确定指数．
解：(1)(－1.3)×(－1.3)×(－1.3)×(－1.3)；
＝(－1.3)4，其中底数是－1.3，指数是4.
(2)×××××＝6，
其中底数是，指数是6.
(3)＝m2a，其中底数是m，指数是2a.
2.乘方运算的法则
可以根据有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算．
(1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．
(2)正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
解技巧乘方运算技巧 ①进行乘方运算时，先根据符号法则确定符号，然后再把底数的绝对值相乘；
②底数是带分数时，要先把带分数化成假分数．
③－1的偶次幂是1，奇次幂是－1,1的任何次幂都是1.
【例2】 计算：(1)(－5)4；(2)－54；
(3)2；(4)－；
(5)(－1)101；(6)－2.
分析：(1)(－5)4表示4个－5相乘；( ( http: / / www.21cnjy.com )2)－54表示4个5相乘的相反数；(3)2表示2个－相乘；(4)－表示32除以4的商的相反数；(5)(－1)101表示101个－1相乘；(6)－2表示2个－1相乘的相反数．
解：(1)(－5)4＝＋(5×5×5×5)＝625；
(2)－54＝－5×5×5×5＝－625；
(3)2＝＋＝；
(4)－＝－＝－；
(5)(－1)101＝＝－1；
(6)－2＝－＝－.
3．科学记数法
一般地，把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数的方法叫做科学记数法．
用科学记数法记数时，数的大小没有变化，只是 ( http: / / www.21cnjy.com )数的书写形式发生了变化．使用科学记数法的关键是：①确定a的值，把要表示的数除以10n得到a，或把要表示的数直接写成只有一位整数的数．②确定n的值，把某数的整数位数减1.
【例3－1】 用科学记数法表示出下列各数：
(1)845 000 000 000；(2)5 200 000 000；
(3)123 150 000；(4)2 830 000.
分析：(1)a是8.45； ( http: / / www.21cnjy.com )845 000 000 000有12位整数，所以n－1＝12－1＝11；(2)5 200 000 000确定a是5.2，因为整数位数是10，所以n－1＝10－1＝9；(3)(4)可仿照(1)(2)写出．
解：(1)845 000 000 000＝8.45×1011；
(2)5 200 000 000＝5. 2×109；
(3)123 150 000＝1.231 5×108；
(4)2 830 000＝2.83×106.
【例3－2】 下列各数是用科学记数法表示的数，写出原来的数．
哦，－5 480 000不是大于10的数，能用科学记数法表示吗？
－5 480 000小于10，但它的绝 ( http: / / www.21cnjy.com )对值大于10，所以也可以用科学记数法表示，只是a的值是负数罢了!无论是正数还是负数，只要1≤|a|＜10即可. 如－5 480 000=－5.48×106.
(1)106；(2)3.14×103；(3)-1.204×102；(4)1.732×106.
分析：本题是科学记数法的逆运用，原数的整数数位是n＋1.
解：
题目 n 整数数位 得到原数
106 6 7 1 000 000
3.14×103 3 4 3 140
－1.204×102 2 3 －120.4
1.732×106 6 7 1 732 000
解技巧 科学记数法的理解 在把科学记数法表示的数还原成原数时，只要知道指数n是多少，就将小数点向右移动多少位．
4．近似数与精确度
(1)准确数是与实际完全符合的数，近似数是与实际非常接近的数．
(2)产生近似数的主要原因：
①“计算”产生近似数．如除不尽，有圆周率π参加计算的结果等；
②用测量工具测出的量一般都是近似数，如长度、重量、时间等；
③不容易得到，或不可能得到准确数时，只能得到近似数，如调查池塘中鱼的尾数，结果就只能是一个近似数；
④由于不必要知道准确数而产生近似数．
(3)误差
近似值与准确值的差，叫做误差，即误差＝近似值－准确值
误差可能是正数，也可能是负数，误差的绝对值越小，近似值就越接近准确值，也就是近似程度越高．
(4)精确度
近似数与准确数的接近程度，通常用精确度表示．
近似数的精确度是指一个数的精确程度．
一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，我们就说这个数精确到哪一位．
如一个近似数M精确到十分位后的近似 ( http: / / www.21cnjy.com )值是3.4，那么这个近似数M的取值范围是3.35≤M＜3.45.具体的做法是一个近似数要求精确到哪一位，只要从它的下一位四舍五入即可，按要求求近似数不能连续从末位向前四舍五入．如将数3.024 6四舍五入到百分位，应从4开始四舍五入得3.02，而不是从6开始得3.03.
【例4】 求：(1)3.562 48(精确到千分位)；
(2)0.397(精确到0.01)；
(3)29 684(精确到千位)；
(4)5(精确到百分位)．
分析：按四舍五入的方法取舍即可．
解：(1)3.562 48≈3.562；
(2)0.397≈0.40；
(3)29 684＝2.968 4×104≈3.0×104；
(4)5＝5.00.
5．有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：
(1)先乘方，再乘除，最后加减；
(2)同级运算，从左到右进行；
(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
通常把五种代数运算分成三级．第一级 ( http: / / www.21cnjy.com )是加减；第二级是乘除；第三级是乘方．运算顺序规定：先算高级运算，再算低级运算，同级运算，按从左到右的顺序进行．
解技巧 有理数混合运算技巧
在进行有理数的混合运算中，先确定运算顺序，注 ( http: / / www.21cnjy.com )意恰当使用运算定律．含有多重括号时，去括号的一般方法是由内向外，即依次去掉小、中、大括号，也可以由外向内．计算过程中应时时重视符号．
【例5】计算：(1)(－2)4÷(－4)×2－12；
(2)(－3)3－×－3.
分析：先确定运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的，同级运算从左到右进行，能使用运算律减缓计算的，注意使用．
解：(1)(－2)4÷(－4)×2－12
＝16÷(－4)×－1
＝(－4)×－1＝－1－1＝－2；
(2)(－3)3－×－3
＝－27－×－
＝－27－＋6＋
＝－21.
6.用四舍五入法按要求求近似值
精确度的表述方法
用四舍五入法按要求求近似值精确度有以下两种表述方法：
(1)精确到哪一位，如：精确到个位(精确到1)、精确到十分位(精确到0.1)、精确到百分位(精确到0.01)等；
(2)保留若干位小数，如保留2位小数等．
警误区 求近似数时的错误 ( http: / / www.21cnjy.com ) 取近似数不一定都用“四舍五入”法，在实际问题中有时就不能用四舍五入法，而是采用“进一”或去尾法，即无论下一位是多少，都要向前进一，或都舍去．
【例6－1】按要求求下列各数的近似值．
(1)0.169 5(精确到千分位)；(2)0.534 9(精确到百分位)；(3)2.715万(精确到百位)．
分析：用四舍五入法时，只 ( http: / / www.21cnjy.com )看要精确的数位的下一位，如0.534 9精确到百分位，只看千分位上的4，万分位上的9不能向前进一；2.715万精确到百位，不能写成27 200.
解：(1)0.169 5≈0.170；(2)0.534 9≈0.53；
(3)2.715万＝27 150＝2.715×104≈2.72×104.
【例6－2】一辆卡车最多能装4吨沙子，现有沙子79吨，能装满几辆卡车？要将沙子全部运走，至少需要几辆卡车？
分析：取近似值要根据实际情况，选择采用进一法还是去尾法．
解：79÷4＝19.75.
所以最多能装满19辆卡车．要全部运走则至少需要20辆卡车．
7.有理数乘方的综合运用
乘方作为一种运算，不仅应用在混合运算中 ( http: / / www.21cnjy.com )，还常常应用在判断、数的大小比较及化简求值中．关键要熟练乘方的符号法则，当指数奇偶性不明确时，要分类讨论，当指数是偶数时，理解幂的非负性，如a2≥0，与|a|≥0一致．
析规律 有理数乘方的理解
(1)(－a)n＝(－1)nan，当n为偶数时，(－a)n＝an；当n为奇数时，(－a)n＝－an.
(2)a2＋b的最小值是b，－a2＋b的最大值是b.
【例7】下列各式(1)a2＞0；(2) ( http: / / www.21cnjy.com )(－a)4＝a4；(3)(－a)3＝a3；(4)(a＋2)2＞0；(5)(a－1)2＋2＞0；(6)若(－2)m＞0，则(－1)m＝1；(7)(a－1)2＋2的最小值是2；(8)7－(a－3)2的最大值为7，其中正确的个数是( )．
A．6 B．5 C．4 D．7
解析：(1)若a＝0，则a2＝0，错．
(2)相反数的偶次方相等，正确．
(3)(－a)3＝－a3，错．
(4)若a＝－2，则(a＋2)2＝0，错．
(5)(a－1)2≥0，(a－1)2＋2＞0，正确．
(6)若(－2)m＞0，则m是偶数，(－1)m＝1，正确．
(7)(a－1)2≥0，(a－1)2＋2≥2，正确．
(8)－(a－3)2≤0，所以7－(a－3)2≤7，正确．
答案：B
8．利用乘方解决倍增、倍减问题
倍增倍减就是指每一变化都以相同的倍数增加或减少，这是日常生活中常见的数量变化问题，如细胞分裂，事物变换过程中的翻番问题等．
这类问题，一般是以2的倍数增减，总是在前一个的基础上乘以2，或，所以总是以2或的n次方的形式增加或减少．如：在数据变化上呈现出2,4,8,16,32…增大趋势，或呈现出，，，，…的减少趋势．解法上要注意分析观察数据的变化特点，寻找顺序与数据之间的变化关系，同时要注意基础量，即从哪个数开始变化的，再根据题意，由特殊到一般，发现变化规律，写出结果．
【例8－1】 拉面馆拉面时，先把一个面团拉开，然后对折，再拉开，再对折，……，如此往复，对折10次后，会拉出多少根面条呢？
解：拉出的面条数是：210＝1 024(根)．
答：对折10次可拉出1 024根面条．
【例8－2】如图所示，把一个面积为 ( http: / / www.21cnjy.com )1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把面积为的正方形等分，如此进行下去．试根据图形计算：第8次等分后得到的小正方形的面积是多少？
解：观察图形可知，每一次按的倍数递减，所以第n次等分后得到的小正方形面积是的n次方，所以第8次等分后得到的小正方形面积为8.
9.利用乘方解决规律性问题
乘方运算是新学的一种重要的计算方法，乘方 ( http: / / www.21cnjy.com )运算中有很多规律性变化，目前主要有三种：①一个数的乘方运算中，个位数字总是呈现一定的循环规律，②乘方运算中的数或数列的变化呈现一定的规律性，如：－2,4，－8，16，－32，…，③等式运算中的规律性变化，如：12－02＝1,22－12＝3,32－22＝5，42－32＝7，….乘方运算中规律性变化灵活多样，有时还伴有符号的变化，并与和、差、等式相结合，更不容易发现其中的规律，因此识别较难．
解技巧 规律型问题解法 由特殊到一 ( http: / / www.21cnjy.com )般，发现探索规律，是解决这类问题的关键，要注意观察：一是看参与计算的数与顺序间的变化规律，二是看结果的变化与顺序之间的规律．由特殊入手，猜想、验证，得出正确结论．
【例9－1】 观察下列各式：
1＝1＝12；1＋3＝4＝22；1＋3＋5＝9＝32；1＋3＋5＋7＝16＝42，….请猜想前15个奇数的和是__________．
解析：1个奇数等于12，前2个奇数的和等于22，前3个奇数的和等于32…，猜想前15个奇数的和是152.
答案：1＋3＋5＋7＋9＋…＋29＝152＝225
【例9－2】 观察下列算式：21＝2, ( http: / / www.21cnjy.com )22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128，…，通过观察，用你所发现的规律确定227的个位数字是( )．
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：观察式子的变化发现，从2 ( http: / / www.21cnjy.com )的1,2,3,4,5，…次方的结果看，个位数以2,4,8,6,2,4，…循环，所以每四次一循环，而27÷4＝6余3，所以227的个位数字是8.故选D.
答案：D
【例9－3】 观察下面一列数：2,5,10，x,26,37,50，65，…，根据规律，其中x表示的数是__________．
解析：观察数列发现，每个数都是对应的顺 ( http: / / www.21cnjy.com )序号的平方加1，即2＝12＋1,5＝22＋1,10＝32＋1，…，所以它们之间的排列规律是n2＋1，所以x＝42＋1，所以x＝17.
答案：17
1．乘方的意义
(1)一般地，n个相同的因数a相乘，即，记作an，读作“a的n次方”．
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方．
(2)幂：乘方的结果叫做幂．
在乘方运算an中，a叫做底数，n叫做指数，an叫做幂，即(如图)
(3)乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运 ( http: / / www.21cnjy.com )算(因数相同的乘法运算)，幂是乘方运算的结果．也就是说，an既表示n个a相乘，又表示n个a相乘的结果．
(4)读法：an看作乘方运算时，读作a的n次方；当an看作a的n次方的结果时，读作a的n次幂．
如34中，底数是3，指数是4，读作3的4次方或3的4次幂．又如(－3)4中，底数是－3，指数是4，读作－3的4次方或－3的4次幂．
(5)一个数可以看作这个数本身的一次方．例如：5就是51,51就是5，指数1通常省略不写．
(6)底数是分数或负数时，要用括号把底数括起来，再在其右上角写指数，指数要写得小些．如(－1)2，2分别表示(－1)×(－1)，×.
(7)乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算(因数相同的乘法运算)，幂是乘方的运算结果，初中阶段学习六种运算，到现在为止，已经学习了有理数的加、减、乘、除、乘方五种．第六种将在后面学习．
对乘方的理解 (－1.3)4与－1.34意义不同，(－1.3)4的底数是－1.3；而－1.34的底数是1.3，它表示1.34的相反数．
【例1】 把下列各式写成乘方运算的形式，并指出底数、指数是什么．
(1)(－1.3)×(－1.3)×(－1.3)×(－1.3)；
(2)×××××；
(3) .
分析：根据乘方的意义，先找相同因数是什么以确定底数，再数相同因数的个数以确定指数．
解：(1)(－1.3)×(－1.3)×(－1.3)×(－1.3)；
＝(－1.3)4，其中底数是－1.3，指数是4.
(2)×××××＝6，
其中底数是，指数是6.
(3)＝m2a，其中底数是m，指数是2a.
2.乘方运算的法则
可以根据有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算．
(1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．
(2)正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
解技巧乘方运算技巧 ①进行乘方运算时，先根据符号法则确定符号，然后再把底数的绝对值相乘；
②底数是带分数时，要先把带分数化成假分数．
③－1的偶次幂是1，奇次幂是－1,1的任何次幂都是1.
【例2】 计算：(1)(－5)4；(2)－54；
(3)2；(4)－；
(5)(－1)101；(6)－2.
分析：(1)(－5)4表示4个－5相乘；( ( http: / / www.21cnjy.com )2)－54表示4个5相乘的相反数；(3)2表示2个－相乘；(4)－表示32除以4的商的相反数；(5)(－1)101表示101个－1相乘；(6)－2表示2个－1相乘的相反数．
解：(1)(－5)4＝＋(5×5×5×5)＝625；
(2)－54＝－5×5×5×5＝－625；
(3)2＝＋＝；
(4)－＝－＝－；
(5)(－1)101＝＝－1；
(6)－2＝－＝－.
3．科学记数法
一般地，把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数的方法叫做科学记数法．
用科学记数法记数时，数的大小没有变化，只是 ( http: / / www.21cnjy.com )数的书写形式发生了变化．使用科学记数法的关键是：①确定a的值，把要表示的数除以10n得到a，或把要表示的数直接写成只有一位整数的数．②确定n的值，把某数的整数位数减1.
【例3－1】 用科学记数法表示出下列各数：
(1)845 000 000 000；(2)5 200 000 000；
(3)123 150 000；(4)2 830 000.
分析：(1)a是8.45； ( http: / / www.21cnjy.com )845 000 000 000有12位整数，所以n－1＝12－1＝11；(2)5 200 000 000确定a是5.2，因为整数位数是10，所以n－1＝10－1＝9；(3)(4)可仿照(1)(2)写出．
解：(1)845 000 000 000＝8.45×1011；
(2)5 200 000 000＝5. 2×109；
(3)123 150 000＝1.231 5×108；
(4)2 830 000＝2.83×106.
【例3－2】 下列各数是用科学记数法表示的数，写出原来的数．
哦，－5 480 000不是大于10的数，能用科学记数法表示吗？
－5 480 000小于10，但它的绝 ( http: / / www.21cnjy.com )对值大于10，所以也可以用科学记数法表示，只是a的值是负数罢了!无论是正数还是负数，只要1≤|a|＜10即可. 如－5 480 000=－5.48×106.
(1)106；(2)3.14×103；(3)-1.204×102；(4)1.732×106.
分析：本题是科学记数法的逆运用，原数的整数数位是n＋1.
解：
题目 n 整数数位 得到原数
106 6 7 1 000 000
3.14×103 3 4 3 140
－1.204×102 2 3 －120.4
1.732×106 6 7 1 732 000
解技巧 科学记数法的理解 在把科学记数法表示的数还原成原数时，只要知道指数n是多少，就将小数点向右移动多少位．
4．近似数与精确度
(1)准确数是与实际完全符合的数，近似数是与实际非常接近的数．
(2)产生近似数的主要原因：
①“计算”产生近似数．如除不尽，有圆周率π参加计算的结果等；
②用测量工具测出的量一般都是近似数，如长度、重量、时间等；
③不容易得到，或不可能得到准确数时，只能得到近似数，如调查池塘中鱼的尾数，结果就只能是一个近似数；
④由于不必要知道准确数而产生近似数．
(3)误差
近似值与准确值的差，叫做误差，即误差＝近似值－准确值
误差可能是正数，也可能是负数，误差的绝对值越小，近似值就越接近准确值，也就是近似程度越高．
(4)精确度
近似数与准确数的接近程度，通常用精确度表示．
近似数的精确度是指一个数的精确程度．
一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，我们就说这个数精确到哪一位．
如一个近似数M精确到十分位后的近似 ( http: / / www.21cnjy.com )值是3.4，那么这个近似数M的取值范围是3.35≤M＜3.45.具体的做法是一个近似数要求精确到哪一位，只要从它的下一位四舍五入即可，按要求求近似数不能连续从末位向前四舍五入．如将数3.024 6四舍五入到百分位，应从4开始四舍五入得3.02，而不是从6开始得3.03.
【例4】 求：(1)3.562 48(精确到千分位)；
(2)0.397(精确到0.01)；
(3)29 684(精确到千位)；
(4)5(精确到百分位)．
分析：按四舍五入的方法取舍即可．
解：(1)3.562 48≈3.562；
(2)0.397≈0.40；
(3)29 684＝2.968 4×104≈3.0×104；
(4)5＝5.00.
5．有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：
(1)先乘方，再乘除，最后加减；
(2)同级运算，从左到右进行；
(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
通常把五种代数运算分成三级．第一级 ( http: / / www.21cnjy.com )是加减；第二级是乘除；第三级是乘方．运算顺序规定：先算高级运算，再算低级运算，同级运算，按从左到右的顺序进行．
解技巧 有理数混合运算技巧
在进行有理数的混合运算中，先确定运算顺序，注 ( http: / / www.21cnjy.com )意恰当使用运算定律．含有多重括号时，去括号的一般方法是由内向外，即依次去掉小、中、大括号，也可以由外向内．计算过程中应时时重视符号．
【例5】计算：(1)(－2)4÷(－4)×2－12；
(2)(－3)3－×－3.
分析：先确定运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的，同级运算从左到右进行，能使用运算律减缓计算的，注意使用．
解：(1)(－2)4÷(－4)×2－12
＝16÷(－4)×－1
＝(－4)×－1＝－1－1＝－2；
(2)(－3)3－×－3
＝－27－×－
＝－27－＋6＋
＝－21.
6.用四舍五入法按要求求近似值
精确度的表述方法
用四舍五入法按要求求近似值精确度有以下两种表述方法：
(1)精确到哪一位，如：精确到个位(精确到1)、精确到十分位(精确到0.1)、精确到百分位(精确到0.01)等；
(2)保留若干位小数，如保留2位小数等．
警误区 求近似数时的错误 ( http: / / www.21cnjy.com ) 取近似数不一定都用“四舍五入”法，在实际问题中有时就不能用四舍五入法，而是采用“进一”或去尾法，即无论下一位是多少，都要向前进一，或都舍去．
【例6－1】按要求求下列各数的近似值．
(1)0.169 5(精确到千分位)；(2)0.534 9(精确到百分位)；(3)2.715万(精确到百位)．
分析：用四舍五入法时，只 ( http: / / www.21cnjy.com )看要精确的数位的下一位，如0.534 9精确到百分位，只看千分位上的4，万分位上的9不能向前进一；2.715万精确到百位，不能写成27 200.
解：(1)0.169 5≈0.170；(2)0.534 9≈0.53；
(3)2.715万＝27 150＝2.715×104≈2.72×104.
【例6－2】一辆卡车最多能装4吨沙子，现有沙子79吨，能装满几辆卡车？要将沙子全部运走，至少需要几辆卡车？
分析：取近似值要根据实际情况，选择采用进一法还是去尾法．
解：79÷4＝19.75.
所以最多能装满19辆卡车．要全部运走则至少需要20辆卡车．
7.有理数乘方的综合运用
乘方作为一种运算，不仅应用在混合运算中 ( http: / / www.21cnjy.com )，还常常应用在判断、数的大小比较及化简求值中．关键要熟练乘方的符号法则，当指数奇偶性不明确时，要分类讨论，当指数是偶数时，理解幂的非负性，如a2≥0，与|a|≥0一致．
析规律 有理数乘方的理解
(1)(－a)n＝(－1)nan，当n为偶数时，(－a)n＝an；当n为奇数时，(－a)n＝－an.
(2)a2＋b的最小值是b，－a2＋b的最大值是b.
【例7】下列各式(1)a2＞0；(2) ( http: / / www.21cnjy.com )(－a)4＝a4；(3)(－a)3＝a3；(4)(a＋2)2＞0；(5)(a－1)2＋2＞0；(6)若(－2)m＞0，则(－1)m＝1；(7)(a－1)2＋2的最小值是2；(8)7－(a－3)2的最大值为7，其中正确的个数是( )．
A．6 B．5 C．4 D．7
解析：(1)若a＝0，则a2＝0，错．
(2)相反数的偶次方相等，正确．
(3)(－a)3＝－a3，错．
(4)若a＝－2，则(a＋2)2＝0，错．
(5)(a－1)2≥0，(a－1)2＋2＞0，正确．
(6)若(－2)m＞0，则m是偶数，(－1)m＝1，正确．
(7)(a－1)2≥0，(a－1)2＋2≥2，正确．
(8)－(a－3)2≤0，所以7－(a－3)2≤7，正确．
答案：B
8．利用乘方解决倍增、倍减问题
倍增倍减就是指每一变化都以相同的倍数增加或减少，这是日常生活中常见的数量变化问题，如细胞分裂，事物变换过程中的翻番问题等．
这类问题，一般是以2的倍数增减，总是在前一个的基础上乘以2，或，所以总是以2或的n次方的形式增加或减少．如：在数据变化上呈现出2,4,8,16,32…增大趋势，或呈现出，，，，…的减少趋势．解法上要注意分析观察数据的变化特点，寻找顺序与数据之间的变化关系，同时要注意基础量，即从哪个数开始变化的，再根据题意，由特殊到一般，发现变化规律，写出结果．
【例8－1】 拉面馆拉面时，先把一个面团拉开，然后对折，再拉开，再对折，……，如此往复，对折10次后，会拉出多少根面条呢？
解：拉出的面条数是：210＝1 024(根)．
答：对折10次可拉出1 024根面条．
【例8－2】如图所示，把一个面积为 ( http: / / www.21cnjy.com )1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把面积为的正方形等分，如此进行下去．试根据图形计算：第8次等分后得到的小正方形的面积是多少？
解：观察图形可知，每一次按的倍数递减，所以第n次等分后得到的小正方形面积是的n次方，所以第8次等分后得到的小正方形面积为8.
9.利用乘方解决规律性问题
乘方运算是新学的一种重要的计算方法，乘方 ( http: / / www.21cnjy.com )运算中有很多规律性变化，目前主要有三种：①一个数的乘方运算中，个位数字总是呈现一定的循环规律，②乘方运算中的数或数列的变化呈现一定的规律性，如：－2,4，－8，16，－32，…，③等式运算中的规律性变化，如：12－02＝1,22－12＝3,32－22＝5，42－32＝7，….乘方运算中规律性变化灵活多样，有时还伴有符号的变化，并与和、差、等式相结合，更不容易发现其中的规律，因此识别较难．
解技巧 规律型问题解法 由特殊到一 ( http: / / www.21cnjy.com )般，发现探索规律，是解决这类问题的关键，要注意观察：一是看参与计算的数与顺序间的变化规律，二是看结果的变化与顺序之间的规律．由特殊入手，猜想、验证，得出正确结论．
【例9－1】 观察下列各式：
1＝1＝12；1＋3＝4＝22；1＋3＋5＝9＝32；1＋3＋5＋7＝16＝42，….请猜想前15个奇数的和是__________．
解析：1个奇数等于12，前2个奇数的和等于22，前3个奇数的和等于32…，猜想前15个奇数的和是152.
答案：1＋3＋5＋7＋9＋…＋29＝152＝225
【例9－2】 观察下列算式：21＝2, ( http: / / www.21cnjy.com )22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128，…，通过观察，用你所发现的规律确定227的个位数字是( )．
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：观察式子的变化发现，从2 ( http: / / www.21cnjy.com )的1,2,3,4,5，…次方的结果看，个位数以2,4,8,6,2,4，…循环，所以每四次一循环，而27÷4＝6余3，所以227的个位数字是8.故选D.
答案：D
【例9－3】 观察下面一列数：2,5,10，x,26,37,50，65，…，根据规律，其中x表示的数是__________．
解析：观察数列发现，每个数都是对应的顺 ( http: / / www.21cnjy.com )序号的平方加1，即2＝12＋1,5＝22＋1,10＝32＋1，…，所以它们之间的排列规律是n2＋1，所以x＝42＋1，所以x＝17.
答案：17