(共44张PPT)
第3章 圆锥曲线与方程
3.3.2 抛物线的几何性质
第一课时 抛物线的几何性质
课标要求
1.了解抛物线的简单几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.
素养要求
通过研究抛物线的几何性质，提升数学抽象及数学运算素养.
问题导学预习教材
必备知识探究
内容
索引
互动合作研析题型
关键能力提升
拓展延伸分层精练
核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、抛物线的几何性质
1.思考 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2＝2px(p>0)的哪些几何性质，如何研究这些物质？
提示 范围、对称性、顶点.
2.填空
类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图象
x≥0
x≤0
y≥0
y≤0
O(0，0)
向右
向左
向上
向下
温馨提醒 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：
(1)它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；
(2)顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点.
3.做一做 思考辨析，判断正误
(1)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.( )
(2)抛物线没有渐近线.( )
(3)抛物线既是中心对称图形又是轴对称图形.( )
提示 抛物线不是中心对称图形.
√
√
×
二、抛物线的焦点弦、通径
1.填空 抛物线的焦点弦即为过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦.弦长公式为AB＝________________，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短，A0B0＝2p称为抛物线的通径长.
x1＋x2＋p
温馨提醒 如图， M1M2叫作抛物线的通径，长度是2p，这是常数2p的又一几何意义，所以p越大，通径越大，即抛物线的开口越大，反之，p越小，通径越小，抛物线的开口越小.
2
解析 抛物线的标准方程为x2＝2y，p＝1，通径长为2.
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互动合作研析题型 关键能力提升
2
题型一 抛物线的几何性质
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
思维升华
训练1 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2).求抛物线的标准方程和准线方程.
解 当抛物线的焦点在x轴上时，
设其标准方程为y2＝mx(m≠0).
将点M(1，－2)代入，得m＝4.∴抛物线的标准方程为y2＝4x；
当抛物线的焦点在y轴上时，设其标准方程为x2＝ny(n≠0).
例2 (1)平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2，1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的标准方程是________.
题型二 由抛物线的几何性质求标准方程
y2＝5x
(2)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，求抛物线方程.
思维升华
训练2 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋16y2＝144的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的标准方程为_________________.
x2＝12y或x2＝－12y
题型三 与抛物线有关的最值问题
例3 已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动
点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________.
抛物线中最值的求解策略
(1)可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解，但要注意抛物线的范围.
(2)当条件中有关于抛物线上的点P到焦点F的距离问题，一定要考虑抛物线的定义，注意点P到F的距离与点P到准线距离的转化.
思维升华
训练3 已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________.
2
课堂小结
1.牢记抛物线的7个性质.
2.掌握2种方法
(1)利用抛物线的标准方程，讨论抛物线的几何性质.
(2)利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.
3.注意1个易错点
若P(x，y)为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，应注意x≥0，容易因忽略x≥0而导致错误.
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拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝3p，则PQ＝( )
A.4p B.5p C.6p D.8p
A
2.若抛物线y2＝2mx的焦点与圆x2＋y2－4x＝0的圆心重合，则m的值为( )
A.－2 B.2 C.－4 D.4
D
3.(多选)以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为( )
A.y2＝8x B.y2＝－8x
C.x2＝8y D.x2＝4y
AB
4.(多选)抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若PF＝5，则点P的坐标可以为( )
AB
解析 设点P的坐标为(x，y)，
∵PF＝5，∴x－(－2)＝5，∴x＝3.
把x＝3代入方程y2＝8x，得y2＝24，
5.抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，O为坐标原点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p的值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
D
解析 ∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.
∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.
6.已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任一点P到直线l的距离为m，则m＋PC的最小值为________.
7.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则FN＝________.
6
8.设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2).若线段FA的中点B在抛物线上，
则p＝________，B到该抛物线准线的距离为________.
9.如图所示，过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若BC＝2BF，且AF＝3，求此抛物线的方程.
解 如图，过A，B分别作准线的垂线AA′，BD，垂足分别为A′，D，则BF＝BD，
又2BF＝BC，∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°.
又AF＝3，∴AA′＝3，∴AC＝6，FC＝3.
10.已知抛物线y2＝8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；
解 抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为
(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，x≥0.
(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，OA＝OB，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长.
解 如图所示，由OA＝OB可知AB⊥x轴，设垂足为点M，
6
13.已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.
(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；
(2)求证：直线AB过定点.
AD
本课结束(共56张PPT)
第3章 圆锥曲线与方程
第二课时 抛物线的方程与性质的应用
课标要求
1.了解抛物线的简单应用.2.能运用抛物线的方程及简单几何性质，解决与抛物线有关的问题.
素养要求
通过本节课进一步提升逻辑推理及数学运算素养.
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1
一、直线与抛物线的位置关系
1.思考 类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系.
提示 如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交点、两个交点.
(1)当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有____个不同的公共点，此时直线与抛物线______；若Δ＝0，则直线与抛物线有____个公共点，此时直线与抛物线______；若Δ<0，则直线与抛物线______公共点，此时直线与抛物线______.
(2)当k＝0时，直线与抛物线的轴____________，此时直线与抛物线有____个公共点，直线与抛物线______.
相交
两
一
相切
没有
相离
平行或重合
相交
1
温馨提醒 (1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
(2)研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况.
3.做一做 已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则( )
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
C
解析 因为直线y＝kx－k＝k(x－1)，
所以直线过点(1，0).
又点(1，0)在抛物线y2＝2px(p>0)的内部，
所以当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；
当k≠0，直线与抛物线有两个公共点.故选C.
二、弦长问题
1.思考 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫作焦点弦，如图.如何求弦AB的长度？
提示 (1)利用弦长公式.
(2)根据抛物线的定义AB＝x1＋x2＋p.
2.填空 (1)一般弦长
x1＋x2＋p
温馨提醒 设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准方程形式下的弦长公式为：
3.做一做 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝10，则弦AB的长度为( )
A.16 B.14 C.12 D.10
C
解析 设抛物线的焦点为F(1，0)，则AB＝AF＋BF＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝10＋2＝12.
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2
例1 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
题型一 直线与抛物线的位置关系
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离.
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k<1时，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l与C没有公共点.
判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点.
思维升华
训练1 已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－1，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是____________.
例2 过点P(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，弦AB恰被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度.
题型二 与抛物线有关的焦点弦及弦的中点问题
两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2).
∵P是AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，
消x整理得ky2－8y－32k＋8＝0.
思维升华
训练2 (1)已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是( )
A
(2)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0).直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2，2)，则抛物线的方程为________，直线l的方程为________.
y2＝4x
x－y＝0
解析 由题意知抛物线的方程为y2＝4x，
设直线l与抛物线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
题型三 与抛物线有关的最值问题
例3 如图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积.
因为－2求与抛物线有关的最值的常见题型是求抛物线上一点到定点的最值、求抛物线上一点到定直线的最值，解与抛物线有关的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，借助目标函数最值的求法解决.
思维升华
训练3 求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离.
课堂小结
1.牢记1个知识点
直线与抛物线的相交弦问题.
2.掌握3种方法
课堂小结
3.注意2个易错点
(1)涉及弦长时，忽视判别式Δ>0这一隐含条件致错.
(2)忽略斜率不存在或二次项系数为0的情况致错.
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3
1.设AB为过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的弦，则AB的最小值为( )
C
2.若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是( )
A
解析 由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离.
3.已知抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是( )
A
法二 设与y＝4x－5平行的抛物线y＝4x2的切线方程为y＝4x＋m，
4.(多选)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是( )
BC
A.－2 B.－1 C.1 D.2
得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.
当k＝0时，得x＝0，即交点为(0，0)，
当k≠0时，由Δ≥0，得－1≤k＜0或0＜k≤1.
综上，k的取值范围是[－1，1].故选BC.
5.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是( )
A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2
B
6.直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
0或1
解析 当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点；
当k≠0时，联立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，所以k＝1.综上，k＝0或k＝1.
32
解析 设AB的方程为x＝my＋4，
代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，Δ>0，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，
8.已知A(2，0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则AB的最小值为________.
11.(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)上三点A(x1，y1)，B(1，2)，C(x2，y2)，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是( )
ABD
解析 把点B(1，2)代入抛物线方程y2＝2px，得p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故A正确；
设AC的中点为M(x0，y0)，
因为AF＋CF≥AC，AF＋CF＝x1＋1＋x2＋1＝2x0＋2，
所以2x0＋2≥6，得x0≥2，
即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确.
(2)设直线l与C交于P，Q，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求△OPQ的面积的最大值.
解 由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b(b≥0)，代入抛物线方程，可得x2－4kx－4b＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
所以y1＋y2＝4k2＋2b，
因为线段PQ的中点的纵坐标为1，
所以2k2＋b＝1，即2k2＝1－b≥0，
所以0本课结束
