(共48张PPT)
第4章 数列
第二课时 数列的递推公式
课标要求
1.理解数列的递推公式是数列的表示方法的一种形式.2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法.
素养要求
通过由数列的递推公式归纳或者推导数列的通项公式，提升学生的数学运算素养和逻辑推理素养.
问题导学预习教材
必备知识探究
内容
索引
互动合作研析题型
关键能力提升
拓展延伸分层精练
核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、数列的递推公式
1.思考 (1)在{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n，则a4的值为多少？
提示 a1＝2，an＋1＝an＋2，故a2＝2＋1＝3，a3＝3＋2＝5，a4＝5＋3＝8.
(2)如图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
①每次只能移动一个金属片；
②在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.
将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为an，你能发现an与an＋1之间的关系吗？
提示 其实把n＋1个金属片从1号针移到3号针，只需3步即可完成，第一步：把最大金属片上面的n个金属片移到2号位，需要an步；第二步：把最大的金属片移到3号位，需要1步；第三步：把2号位上的n个金属片移到3号位，需要an步，故an＋1＝2an＋1.
2.填空 一般地，如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项__________ (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式.递推公式也是给定数列的一种方法.
温馨提醒 递推关系是数列任意两个或多个相邻项之间的推导关系，需要知道首项(或前几项)，即可求数列中的每一项.
an－1
C
二、数列的递推公式与通项公式的关系
1.思考 利用an＋1＝2an，n∈N*，可以写出数列{an}的通项公式吗？
提示 只有给出a1的值，才可以确定数列{an}.
2.填空 数列的递推公式与通项公式的关系
递推公式 通项公式
区别 表示an与它的前一项__________ (或前几项)之间的关系 表示an与____之间的关系
联系 (1)都是表示______的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 an－1
n
数列
温馨提醒 (1)类似bn＝an·an＋1的式子不是递推公式，它只是说明数列{bn}中的各项是由数列{an}中的项an与an＋1的积构成的.
(2)理解数列的递推公式的注意点
与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.
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2
题型一 由数列的递推公式求数列的项
递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律.
思维升华
AD
题型二 根据递推公式求通项
解 由a1＝2，an＋1＝3an，得：
a2＝3a1＝3×2，
a3＝3a2＝3×3×2＝32×2，
a4＝3a3＝3×32×2＝33×2，
a5＝3a4＝3×33×2＝34×2，
…，
思维升华
课堂小结
1.牢记2个知识点
(1)数列的4种表示方法
①图象法；②列表法；③通项公式法；
④递推公式法.
(2)通项公式和递推公式的区别.
2.掌握求通项公式的常用方法
(1)观察法；(2)累加法；(3)累乘法.
3.注意1个易错点
累加(累乘)法求通项公式时，易忽略验证n＝1.
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拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
D
2.已知数列{an}中，a2＝1，an＋an＋1＝2n，n∈N*，则a1＋a3的值为( )
A.4 B.5 C.6 D.8
A
解析 由a2＝1，an＋an＋1＝2n，n∈N*，可得a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，
解得a1＝1，a3＝3, ∴a1＋a3＝4.
A
4.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项公式an等于( )
A.n2＋1 B.n＋1
C.1－n D.3－n
D
当n＝1时，a1＝2也符合上式.
故数列的通项公式an＝3－n(n∈N*).
＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.
ABD
6.数列{an}中，a1＝2，an＝an＋1－3，则14是{an}的第________项.
5
8.数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1(n∈N*，2≤n≤10)，则数列{an}的最大项为________.
1 024
9.根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式.
10.数列{an}满足an＋1＝4an＋3，且a1＝1，求此数列的通项公式.
法二(迭代法) 由an＋1＝4an＋3，可得an＋1＋1＝4(an＋1)，则a2＋1＝4(a1＋1)，a3＋1＝4(a2＋1)，a4＋1＝4(a3＋1)，…，an＋1＝4(an－1＋1)(n≥2)，
∴an＋1＝4n－1(a1＋1)(n≥2)，
即an＝2·4n－1－1＝22n－1－1(n≥2).
又a1＝1也满足上式，∴an＝22n－1－1.
11.如下表定义函数f(x)：
x 1 2 3 4 5
f(x) 5 4 3 1 2
对于数列{an}，a1＝4，an＝f(an－1)，n＝2，3，4，…，则a2 022的值是( )
A.1 B.2 C.5 D.4
A
解析 因为a1＝4，an＝f(an－1)，
所以a2＝f(a1)＝f(4)＝1，
a3＝f(a2)＝f(1)＝5，a4＝f(a3)＝f(5)＝2，
a5＝f(a4)＝f(2)＝4，a6＝f(a5)＝f(4)＝1，
由上可知，数列{an}是4，1，5，2，4，1，…，是周期为4的周期数列，
又2 022＝505×4＋2，所以a2 022＝a2＝1.
2＋ln n
所以a2－a1＝ln 2－ln 1，
a3－a2＝ln 3－ln 2，
a4－a3＝ln 4－ln 3，…，
an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2).
把以上各式分别相加得an－a1＝ln n－ln 1，
则an＝2＋ln n，且a1＝2也适合，
因此an＝2＋ln n(n∈N*).
14.在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫作等积数列，k叫作这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.
28
解析 依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，
因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
本课结束(共53张PPT)
第4章 数列
4.1 数 列
第一课时 数列的概念与表示
课标要求
1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(表格、图象、解析法).2.了解数列是一种特殊函数.
素养要求
从日常生活和数学中的实例，经历数列的概念的抽象过程，并在由数列的前几项归纳数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象素养和逻辑推理素养.
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1
一、数列的概念与分类
1.思考 观察以下几列数：
①古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807；
2.填空 (1)一般地，我们把按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫作这个数列的____.数列的第一个位置上的数叫作这个数列的第____项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫作这个数列的第____项，用a2表示，…，第n个位置上的数叫作这个数列的第n项，用______表示.其中第1项也叫作______.
(2)数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为__________.
项
1
an
2
首项
{an}
(3)
分类标准 名称 含义
按项的个数 有穷数列 项数______的数列
无穷数列 项数______的数列
按项的变 化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列
常数列 各项都______的数列
周期数列 项呈现周期性变化的数列
摆动数列 从第2项起，有些项______它的前一项，有些项______它的前一项的数列
有限
无限
大于
小于
相等
大于
小于
温馨提醒 (1)概念中的“一列数”，即不止一个数.
(2)概念中的“一定次序”，即数列中的数是有序的.
D
3.做一做 下列叙述正确的是( )
二、数列的通项公式
1.思考 我们发现知识点1中思考①②③⑤，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？
2.填空 一般地，如果数列{an}的________与________之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式.数列可以用__________来描述，也可以通过______或______来表示.
第n项
序号n
通项公式
列表
图象
温馨提醒 (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式；
(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是不是数列中的项，如果是的话，是第几项；
(3)不一定所有数列都有通项公式，一个数列的通项公式也不一定唯一.
8
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2
`
例1 写出下面各数列的一个通项公式.
题型一 由数列的前几项写出数列的一个通项公式
用观察法求数列的通项公式的一般规律
(1)一般数列通项公式的求法
思维升华
(2)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k处理符号问题.
(3)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.
训练1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
题型二 数列通项公式的简单应用
∴n(n＋2)＝120，∴n2＋2n－120＝0，
∴n＝10或n＝－12(舍)，
判断某数值是否为某数列的项的方法
先假定它是该数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程的解为正整数，则是该数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的项.
思维升华
训练2 在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数.
(1)求{an}的通项公式；
(2)判断88是不是数列{an}中的项？
题型三 数列的性质
例3 设数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn(n∈N*)，数列{an}是单调递增的，求实数k的取值范围.
解 ∵数列{an}是单调递增的，
∴an
即n2＋kn<(n＋1)2＋k(n＋1)对任意n∈N*恒成立，
整理得k>－2n－1对任意n∈N*恒成立.
∵f(n)＝－2n－1(n∈N*)的最大值为－3，
∴k>－3，即k的取值范围是(－3，＋∞).
迁移1 求本例中k＝－13时数列{an}的最小项.
迁移2 本例中“单调递增”改为“单调递减”，那么这样的实数k是否存在？如果存在，求实数k的取值范围，若不存在说明理由.
解 要使{an}是单调递减数列，
必须an>an＋1恒成立，
即n2＋kn>(n＋1)2＋k(n＋1)对任意n∈N*恒成立.
整理得k<－2n－1对任意n∈N*恒成立.
因为f(n)＝－2n－1(n∈N*)没有最小值，
故不存在实数k使数列{an}单调递减.
思维升华
(2)求数列{an}的最大项和最小项.
课堂小结
1.掌握3个知识点
(1)数列的概念.
(2)数列的表示.
(3)数列的通项公式.
2.牢记2种方法
(1)求通项公式的方法.
(2)求数列的最大(小)项的方法.
3.注意1个易错点
忽略n∈N*.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
A
2.若数列{an}满足an＝3n，则数列{an}是( )
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.摆动数列
A
解析 an＋1－an＝3n＋1－3n＝2×3n>0，
∴an＋1>an，即{an}是递增数列.
3.数列1，3，6，10，…的一个通项公式是( )
C
4.(多选)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )
CD
B
6.323是数列{n(n＋2)}的第________项.
17
3
8.在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，n∈N*，则该数列从第________项开始递增，an的最小值为________.
4
－36
9.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.
(1)－1，7，－13，19，…；
解 符号问题可通过(－1)n表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5).
(2)0.8，0.88，0.888，….
10.已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋n＋110.
(1)20是不是{an}中的一项？
解 令an＝－n2＋n＋110＝20，
即n2－n－90＝0，∴(n＋9)(n－10)＝0，
∴n＝10或n＝－9(舍).
∴20是数列{an}中的一项，且为数列{an}中的第10项.
(2)当n取何值时，an＝0
解 令an＝－n2＋n＋110＝0，
即n2－n－110＝0，
∴(n－11)(n＋10)＝0，
∴n＝11或n＝－10(舍)，
∴当n＝11时，an＝0.
11.1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学老师，把数列0，3，6，12，24，48，96，…经过一定的规律变化，得到新数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，…，科学家发现，新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离，并据此发现了“天王星”、“谷神星”等行星，这个新数列就是著名的“提丢斯——波得定则”.根据规律，新数列的第8项为( )
A.14.8 B.19.2 C.19.6 D.20.4
C
解析 0，3，6，12，24，48，96的规律是从第三项起，每一项是前一项的两倍，故该数列的第8项是192.数列0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，…的规律是原数列的每一项加4，再除以10，计算即可.
(2)试判断数列{an}中的项是否都在区间(0，1)内；
14.如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为( )
C
本课结束