北师版高中数学必修第一册2.3 函数的单调性(二) 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
第二章　函　数
§3　函数的单调性(二)
1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义；
2.会借助单调性求最值；
3.掌握求二次函数在闭区间上的最值.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
知识点一　函数的最大(小)值
思考　在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？为什么1不是最小值？
答案　最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值.
答案
问题导学 　　　　新知探究 点点落实
一般地，对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x0)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0).
如果存在x0∈D，f(x0)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0).
知识点二　函数的最大(小)值的几何意义
思考　函数y＝x2，x∈[－1,1]的图像如右：
试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值.
答案　x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图像中的最高点，
x＝0时，y有最小值0，对应的点为图像中的最低点.
一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个.
答案
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解析答案
反思与感悟
题型探究 　　　　重点难点 个个击破
类型一　借助单调性求最值
解　设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1由2≤x10，(x1－1)(x2－1)>0，
于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
即在x＝2时取得最大值，最大值是2，
反思与感悟
反思与感悟
1.若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a).
2.若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b).
3.若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先决出各区间上的最值，再从各区间的最大值中决出总冠军，函数的最大(小)值是整个值域范围内最大或最小的.
解析答案
解　设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1当x10，x1x2－1<0，f(x1)－f(x2)<0，f(x1)∴f(x)在(0,1]上递增；
当1≤x10，x1x2－1>0，f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在[1，＋∞)上递减.
解析答案
类型二　函数最值在生活中的应用
例2　“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1 m)
反思与感悟
解　作出函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的图像(如图).
显然，函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，
顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，
纵坐标就是这时距地面的高度.
由二次函数的知识，对于函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，我们有：
于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m.
反思与感悟
反思与感悟
1.二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素.
2.图像直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题.
解析答案
跟踪训练2　如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系.那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为
求水流喷出的高度h的最大值是多少？
函数图像的顶点就是水流喷出的最高点.
此时函数取得最大值.
解析答案
类型三　函数最值的应用
例3　已知ax2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围.
反思与感悟
解　方法一　若a<0，抛物线y＝ax2－x＋a开口向下，y不可能恒大于0.
若a＝0，ax2－x＋a＝－x<0，不合题意.
要使ax2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，
解析答案
反思与感悟
反思与感悟
反思与感悟
恒成立的不等式问题一般转化为最值问题来解决.
跟踪训练3　已知ax2＋x≤1对任意x∈(0,1]恒成立，求实数a的取值范围.
∴a≤0.
解析答案
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1
2
3
达标检测
4
1.函数f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值，最大值分别是(　　)
A.f(－2)，0 B.0,2
C.f(－2)，2 D.f(2)，2
5
C
答案
1
2
3
4
5
C
答案
3.函数f(x)＝ 在[1，＋∞)上(　　)
A.有最大值无最小值 B.有最小值无最大值
C.有最大值也有最小值 D.无最大值也无最小值
1
2
3
4
5
答案
A
4.函数f(x)＝x2，x∈[－2,1]的最大值，最小值分别为(　　)
A.4,1 B.4,0
C.1,0 D.以上都不对
1
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4
5
答案
B
1
2
3
4
5
答案
A
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规律与方法
1.函数的最值与值域、单调性之间的联系
(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝ .如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素.
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上具有单调性，则f(x)的最值必在区间端点处取得.
2.二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图像的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.
本课结束