(共25张PPT)
第二章 §2 对函数的进一步认识
2.1 函数概念
1.理解函数的概念；
2.了解构成函数的三要素；
3.正确使用函数、区间符号.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
知识点一 函数的概念
思考1 初中时用运动变化的观点定义函数，用这种观点能否判断只有一个点(0,1)，算不算是函数图像？
答案 因为只有一个点，用运动变化的观点判断就显得牵强，
因此有必要引入用集合和对应来定义的函数概念.
答案
问题导学 新知探究 点点落实
答案
函数的概念：
设A，B是 的 集，如果按照某个 f，对于集合 中任何一个数x，在集合 中都存在 的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或 ，x∈A.其中，x叫作
，集合A叫作函数的 ，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的 .习惯上我们称y是x的函数.
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域.
非空
数
对应关系
A
B
唯一确定
y＝f(x)
自变量
定义域
值域
答案
思考2 用函数的上述定义可以轻松判断：A＝{0}，B＝{1}，f：0→1，满足函数定义，其图像(0,1)自然是函数图像.试用新定义判断下列对应是不是函数？
(1) f：求周长；A＝{三角形}，B＝R；
答案 不是，因为集合A不是数集.
(2) ；
答案 是.对于数集A中的每一个x，在数集B中都有唯一确定的y和它对应.
x 1 2 3
y 3 2 1
答案
(3) ；
答案 是.对于数集A中的每一个x，在数集B中都有唯一确定的y和它对应.
(4) ；
答案 不是.一个x＝1，对应了三个不同的y，违反了“唯一确定”.
(5) .
答案 不是.x＝3没有相应的y与之对应.
x 1 2 3
y 1 1 1
x 1 1 1
y 1 2 3
x 1 2 3
y 1 2
答案
知识点二 区间
(1)不等式、区间和数轴的对应关系：
集合 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x
区间
数轴
答案 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a]
(－∞，a) [a，b)
答案
返回
(2)区间与集合的区别：
若集合A＝{x|a若已知区间(a,2a)，则实数a的取值范围是_____.
a≤0
a>0
解析答案
题型探究 重点难点 个个击破
类型一 函数的概念
例1 判断下列对应是否为集合A到集合B的函数.
(1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；
解 A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数.
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
解 对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数.
解析答案
反思与感悟
解 集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，
故不是集合A到集合B的函数.
(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.
解 对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数.
反思与感悟 判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：
(1)A，B必须是非空数集；(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；
(3)A中任何一个元素在B中必须有唯一一个元素与其对应.
解析答案
解析 A中x＝0时，绝对值还为0，集合B中没有0；
B中x＝1时，绝对值x－1＝0，集合B中没有0；
C正确；D不正确.
C
解析答案
类型二 函数三要素
例2 写出下列函数中的定义域、值域：
解 定义域为[0，＋∞)，值域为[0，＋∞).
反思与感悟
反思与感悟
(1)定义域、值域都应写成集合或区间形式.
(2)有时给出的函数没有明确说明定义域，这时它的定义域就是自变量的允许取值范围，通常要求是使函数式有意义.如果函数涉及实际问题，它的定义域还必须使实际问题有意义.
解析答案
跟踪训练2 比较下列各组中的两个函数定义域是否相等？
y2＝x－5的定义域为R，两函数定义域不同；
解析答案
类型三 “对应关系f”的表现形式
例3 (1)已知函数f(x)＝2x＋1，求f(0)和f(f(0))；
解 f(0)＝2×0＋1＝1.
∴f(f(0))＝f(1)＝2×1＋1＝3.
解 x为有理数或无理数，故定义域为R.只有两个函数值0,1，
故值域为{0,1}.
解析答案
(3)若f(x)、g(x)对应关系分别由下表给定，求f(g(x))的值域.
x 1 2 3
f(x) 3 2 1
g(x) 1 2 1
解 f(g(x))中的x＝1,2,3.
由表知g(1)＝1，g(2)＝2，g(3)＝1，
∴f(g(1))＝f(1)＝3，f(g(2))＝f(2)＝2，f(g(3))＝f(1)＝3.
∴值域为{2,3}.
反思与感悟
“某种确定的对应关系f”可以有各种表现形式，可以是传统的一个解析式，可以是分成若干段，每段一个解析式，也可以用表格硬性指定对应关系.
反思与感悟
解析答案
返回
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝2x＋1，求f(f(x))；
解 f(f(x))＝2f(x)＋1＝2(2x＋1)＋1＝4x＋3.
(2)如图是函数f(x)的图像，试写出f(x)的解析式.
1
2
3
达标检测
4
1.对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有( )
①y是x的函数；
②对于不同的x，y的值也不同；
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
5
B
答案
2.下列说法中，不正确的是( )
A.函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应
B.函数的定义域和值域一定是无限集合
C.定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了
D.若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素
1
2
3
4
5
B
答案
3.下列关于函数与区间的说法正确的是( )
A.函数定义域必不是空集，但值域可以是空集
B.函数定义域和值域确定后，其对应关系也就确定了
C.数集都能用区间表示
D.函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应
1
2
3
4
5
D
答案
4.区间(0,1)等于( )
A.{0,1} B.{(0,1)}
C.{x|01
2
3
4
5
C
答案
5.对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法错误的是( )
A.f(a)∈B
B.f(a)有且只有一个
C.若f(a)＝f(b)，则a＝b
D.若a＝b，则f(a)＝f(b)
1
2
3
4
5
答案
C
返回
规律与方法
1.函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定.
2.f(x)是函数符号，f表示对应关系，f(x)表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积.在不同的函数中f的具体含义不同，对应关系可以是解析式、图像、表格等.函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x)，F(x)等表示.
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第二章 §2 对函数的进一步认识
2.2 函数的表示法(一)
1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点；
2.掌握求函数解析式的常见方法；
3.尝试作图和从图像上获取有用的信息.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
知识点一 解析法
思考 一次函数如何表示？
答案 y＝kx＋b(k≠0).
一般地，解析法是指：用自变量的解析表达式(简称解析式)表示一个函数的对应关系.
答案
问题导学 新知探究 点点落实
答案
知识点二 图像法
思考 要知道林黛玉长什么样，你觉得一个字的描述和一张二寸照片哪个更直观？
答案 一图胜千言.
一般地，图像法是指：用 表示两个变量之间的对应关系；这样可以直观形象地表示两变量间的变化趋势.
图像
答案
知识点三 列表法
思考 在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字.设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？能否用解析式表示？
答案 对于任一个x的值，都有一个他写的数字与之对应，
故x，y之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，
故难以用解析式表示.这时可以制作一个表格来表示x的值与y的值之间的对应关系.
返回
一般地，列表法是指：用表格形式来表示两个变量之间的函数关系的方法.
函数三种表示法的优缺点
解析答案
题型探究 重点难点 个个击破
类型一 解析式的求法
例1 根据下列条件，求f(x)的解析式.
(1)f[f(x)]＝2x－1，其中f(x)为一次函数；
解 由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵f(f(x))＝af(x)＋b＝a[ax＋b]＋b＝a2x＋ab＋b＝2x－1，
解析答案
反思与感悟
(2)若f(x＋1)＝x2＋2x；
解 方法一 设x＋1＝t，则x＝t－1.
∴f(x＋1)＝f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝(t－1)(t－1＋2)＝t2－1.
∴f(x)＝x2－1.
方法二 f(x＋1)＝(x＋1)2－1，
∴f(x)＝x2－1.
(3)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.
解 ∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，
∴联立以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，
反思与感悟
1.如果已知函数类型，可以用待定系数法.
2.如果已知f(g(x))的表达式，想求f(x)的解析式，可以设t＝g(x)，然后把f(g(x))中每一个x都换成t.
3.如果条件是一个关于f(x)、f(－x)的方程，我们可以用x的任意性进行赋值.如把每一个x换成－x，其目的是再得到一个关于f(x)、f(－x)的方程，然后消元消去f(－x).
解析答案
跟踪训练1 根据下列条件，求f(x)的解析式.
(1)f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；
解 由题意，设函数为f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，
∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
∴a＝1，b＝3.
∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.
解析答案
(2)f(x＋1)＝x2＋4x＋1；
解 设x＋1＝t，则x＝t－1，f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，
即f(t)＝t2＋2t－2.
∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.
解析答案
类型二 图像的画法及应用
解 由1－x2≥0解得函数定义域为[－1,1].
当x＝±1时，y有最小值0.
当x＝0时，y有最大值1.
反思与感悟 画图时一般很难把所有点都描出来，故为了使画出来的图能反映变量间的变化规律，我们要尽量选择关键点：最高点、最低点和与x，y轴的交点.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水.则正确论断的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；
从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；
当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错.故选B.
答案 B
解析答案
类型三 函数表示法的选择
例3 下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.
测试序号 姓名 成绩 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次
王伟 98 87 91 92 88 95
张城 90 76 88 75 86 80
赵磊 68 65 73 72 75 82
班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6
(1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系；
解 不能用解析法表示，用图像法表示为宜.
在同一个坐标系内画出这四个函数的图像如下：
解析答案
(2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析.
解 王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀.
张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大.
赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高.
反思与感悟 函数的三种表示方法都有各自的优点，有些函数能用三种方法表示，有些只能用其中的一种来表示.
反思与感悟
跟踪训练3 画出y＝2x2－4x－3，x∈(0,3]的图像，并求出y的最大值，最小值.
解 y＝2x2－4x－3(0由图易知，当x＝3时，ymax＝2×32－4×3－3＝3.
由y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，
∴当x＝1时，y有最小值－5.
解析答案
返回
1
2
3
达标检测
4
1.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5
x 1 2 3 4
f(x) 3 2 4 1
A
答案
2.如果二次函数的图像开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，
则此二次函数的解析式可以是( )
A.f(x)＝x2－1 B.f(x)＝－(x－1)2＋1
C.f(x)＝(x－1)2＋1 D.f(x)＝(x－1)2－1
1
2
3
4
5
D
答案
3.已知正方形的边长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为( )
1
2
3
4
5
A
答案
4.某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是( )
1
2
3
4
5
C
答案
1
2
3
4
5
B
答案
返回
规律与方法
1.如何作函数的图像
一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线.作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图像，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等.
2.如何求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域.主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法).
3.当函数关系难以用解析式表达时，可以用列表法直接给出两个变量的对应关系，但这种方法不适用定义域中元素较多时.
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第二章 §2 对函数的进一步认识
2.2 函数的表示法(二)
2.3 映 射
1.会用解析法及图像法表示分段函数；
2.给出分段函数，能研究有关性质；
3.了解映射的概念.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
知识点一 分段函数
思考 设集合A＝R，B＝[0，＋∞).对于A中任一元素x，规定：若x≥0，则对应B中的y＝x；若x<0，则对应B中的y＝－x.按函数定义，这一对应算不算函数？
答案 算函数.因为从整体来看，A中任一元素x，在B中都有唯一确定的y与之对应.
(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数.
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的
；各段函数的定义域的交集是 .
(3)作分段函数图像时，应在同一坐标系内分别作出每一段的图像.
答案
问题导学 新知探究 点点落实
对应关系
并集
空集
知识点二 映射
思考 设A＝{三角形}，B＝R，对应关系f：每个三角形对应它的周长.这个对应是不是函数？它与函数有何共同点？
答案 因为A不是非空数集，故该对应不是函数.但满足“A中任一元素，
在B中有唯一确定的元素与之对应”.
映射的概念
两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有 的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.
A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x→y.
函数一定是映射，映射不一定是函数.
答案
返回
唯一
解析答案
反思与感悟
题型探究 重点难点 个个击破
类型一 分段函数模型
例1 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图像.
解 过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，
又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.
(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，
解析答案
反思与感悟
反思与感悟
图像如图所示.
反思与感悟
当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图像也需要分段画.
解析答案
跟踪训练1 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；
(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算).
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像.
解 设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20].
函数图像如图所示：
解析答案
类型二 研究分段函数的性质
例2 已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|.
(1)求f(x)的值域；
(2)解不等式：f(x)>0；
(3)若直线y＝a与f(x)的图像无交点，求实数a的取值范围.
反思与感悟
解 若x≤－1，则x－3<0，x＋1≤0，
f(x)＝－(x－3)＋(x＋1)＝4；
若－10，
f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2；
若x>3，则x－3>0，x＋1>0，
f(x)＝(x－3)－(x＋1)＝－4.
(1)－1∴f(x)的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4].
解析答案
反思与感悟
解①得x≤－1，解②得－1所以f(x)>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪ ＝(－∞，1).
(3)f(x)的图像如右：
由图可知，当a∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，
直线y＝a与f(x)的图像无交点.
反思与感悟
研究分段函数，要牢牢抓住两个要点：
(1)分段研究.
(2)合并表达.因为分段函数无论分成多少段，仍是一个函数，对外是一个整体.
反思与感悟
解析答案
(1)画出f(x)的图像；
解 利用描点法，作出f(x)的图像，如图所示.
(3)求f(x)的值域.
解 由图像知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1.
所以f(x)的值域为[0,1].
解析答案
类型三 映射的概念
例3 以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？
(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
解 按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，
都有唯一的实数与之对应，
所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射.
解析答案
(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
解 按照建立平面直角坐标系的方法可知，
平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，
所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射.
(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
解 由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，
所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射.
解析答案
(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.
解 新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，
即与一个班级对应的学生不止一个，
所以这个对应f：A→B不是从集合A到集合B的一个映射.
反思与感悟 映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多.
反思与感悟
解析答案
返回
跟踪训练3 设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤4}，则下述对应关系f中，不能构成从A到B的映射的是( )
A.f：x→y＝x2 B.f：x→y＝3x－2
C.f：x→y＝－x＋4 D.f：x→y＝4－x2
解析 对于D，当x＝2时，
由对应关系y＝4－x2得y＝0，
在集合B中没有元素与之对应，
所以D选项不能构成从A到B的映射.
D
1
2
3
达标检测
4
1.如图中所示的对应：
其中构成映射的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5
答案
A
2.f(x)的图像如图所示，其中0≤x≤1时是一段顶点在坐标原点的抛物线，则f(x)的解析式是( )
1
2
3
4
5
B
答案
3.函数y＝|x＋1|的图像是( )
1
2
3
4
5
A
答案
1
2
3
4
5
答案
C
1
2
3
4
5
答案
B
返回
规律与方法
1.对分段函数的理解
(1)分段函数是一个函数而非几个函数.
分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集.
(2)分段函数的图像应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况.
2.函数与映射的关系
映射f：A→B，其中A、B是两个“非空集合”；而函数y＝f(x)，x∈A为“非空的数集”，其值域也是数集.于是，函数是数集到数集的映射.
由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射.
本课结束