2.3.2 角的平分线及其性质同步练习（含解析）

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第二章 轴对称
3 简单的轴对称图形
第2课时 角的平分线及其性质
基础夯实
知识点一 角平分线的性质
1.如图,点P是∠BAC的平分线AD上一点,PE⊥AB于点 E,PF⊥AC于点F,则下列结论中不正确的是( )
A. PE=PF B. AE=AF C.△APE≌△APF D. AP=PE+PF
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,DE⊥AB,垂足为点 E,则下面结论中错误的是( )
A. AD+DE=AC B. DB平分∠EDC C. DE平分∠ADB D. DC+BE＞BD
3.下列各点中，到∠AOB两边距离相等的是( )
A.点 P B.点 Q C.点 M D.点 N
4.如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=70°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点 E.
(1)求∠EDA的度数;
(2)若AB=10,AC=8,DE=3,求 S△ABC.
知识点二 角平分线的画法
5.如图，用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是( )
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
6.如图,已知∠AOB 和C,D两点,求作一点P,使PC=PD,且P到∠AOB两边的距离相等.
易错点 运用角平分线的性质时，常因忽略“到角两边的距离”而导致错误
7.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于点D,BC边上有一点E,连接DE,则 AD与DE的关系为( )
A. AD＞DE B. AD＝DE C. AD＜DE D.不确定
能力提升
8.如图,在四边形 ABCD中,∠A=90°,AD=3,BC=5,对角线 BD平分∠ABC,则△BCD的面积为( )
A.8 B.7.5 C.15 D.无法确定
9.如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点 P,且与AB垂直.若AD=8，则点P到BC的距离是( )
A.8 B.6 C.4 D.2
10.如图,点O是直线 MN上的点,点 A,B分别是∠NOP,∠MOP平分线上的点,AB⊥OP于点E,BC⊥MN于点C,AD⊥MN于点D，则以下结论错误的是( )
A. AD+BC=AB B.∠AOB=90° C.与∠CBO互余的角有2个 D.点O是CD的中点
11.如图,已知四边形ABCD中,BC>BA,AD＝DC,BD平分∠ABC,则∠BAD+∠C＝_________°.
12.在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是___________.
13.如图,已知 AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点 E,DF⊥AC 于点 F.试说明:DE=DF.
14.如图,已知CD是△ABC 的角平分线,DE⊥BC,垂足为 E,若 AC=4,BC=10,△ABC的面积为14,求 DE的长.
核心拓展
15.如图,∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点 P在射线OM 上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，PC 和 PD 有怎样的数量关系.请说明理由.
参考答案
1. D 2. C
3. B 【解析】由图形可知，点Q在∠AOB的平分线上，所以点Q到∠AOB两边的距离相等.故选B.
4.解:(1)因为∠B=50°,∠C=70°,所以∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.
因为AD是△ABC的角平分线，所以
因为DE⊥AB,所以∠DEA=90°.所以∠EDA=90°-∠BAD=60°.
(2)过点 D作 DF⊥AC于点 F.
因为AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,所以DF=DE=3.又AB=10,AC=8,
所以
5. A
6.解：如图，连接CD，作 CD的垂直平分线和∠AOB的平分线，两线的交点即为所求作的点 P.
7. D 【解析】本题易出错误原因是误认为角平分线上点与角两边上的任意一点连接的线段都相等，而忽略了“到角两边距离”这一条件，即忽略DE与BC，AB与AD是否垂直，从而错选B.
8. B【解析】过点 D作DE⊥BC于点E,如图.
因为BD平分∠ABC,DE⊥BC,DA⊥AB,所以DE=DA=3.
所以△BCD的面积 故选B.
9. C【解析】如图,过点P作PE⊥BC于点E.因为AB∥CD,PA⊥AB,所以PD⊥CD.因为BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,所以PA=PE,PD=PE.所以PE=PA=PD.
因为PA+PD=AD=8,所以PA=PD=4,所以PE=4.
10. C 【解析】由角平分线的性质易证AD=AE,BC=BE,所以AB=AD+BC,A项正确;
由点 A,B分别是∠NOP,∠MOP平分线上的点,易证∠AOB=90°,B项正确;
与∠CBO互余的角有∠COB,∠EOB,∠OAD,∠OAE共4个,C项错误;
易证OC=OD=OE,所以点O是CD的中点,D项正确.故选C.
11.180 12.4:3
13.解:如图,连接AD.
因为AB=AC,BD=CD,AD=AD,所以△ABD≌△ACD(SSS).
所以∠BAD=∠CAD,即AD是∠EAF的平分线.
又因为 DE⊥AB,DF⊥AC,所以DE=DF.
14.解:过点 D作DF⊥AC交CA的延长线于点 F,如图.
因为CD平分∠ACB,DE⊥BC,所以DF=DE.
因为△ABC的面积为14,所以
所以 即5DE+2DE=14.所以DE=2.
15.解:PC=PD.理由如下:
如图,过点 P分别作PE⊥OB于点E,PF⊥OA于点F,则∠CFP=∠DEP=90°.
因为OM是∠AOB的平分线,所以PF=PE.
因为∠AOB=90°,所以∠FPE=90°.
又因为∠1+∠FPD=90°,∠2+∠FPD=90°,所以∠1=∠2.
在△CFP和△DEP中,因为∠CFP=∠DEP,PF=PE,∠1=∠2,所以△CFP≌△DEP(ASA).
所以PC=PD.
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