19.2.3 一次函数与方程、不等式（教案）【2023春人教版八下数学优质备课】

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教学章节 第十九章 课 型 新授课 年 月 日
课 题 19.2.3一次函数与一元一次方程、不等式
课标解读 理解一次函数与一元-次方程的关系；一次函数与一元一次不等式的关系理解一次函数与二元一次方程(组)的对应关系.
核心 素养 目标 理解一次函数与一元-次方程的关系；一次函数与一元一次不等式的关系理解一次函数与二元一次方程(组)的对应关系. 2.会用函数的方法求解一元一次方程.会根据一次函数图像解决一元一次不等式的问题.会用画图象的方法解二元一次方程组. 3.通过教学活动，让学生学会从不同角度认识事物本质的方法，建立自信心，提高学生自主合作探究学习的意识和能力，激发学生学习的兴趣，让学生体验数学的价值.
教学重点 1.对一次函数与一元-次方程的关系的理解；应用函数求解一元一次方程. 2.理解一次函数与一元一次不等式的关系；会根据一次函数图像解决一元一次不等式的问题. 探索一次函数与二元一次方程(组)的关系..
教学难点 对一次函数与一元一次方程的关系的理解.经历不等式与函数问题的探讨过程，学习用联系的观点看待数学问题的辨证思想.综合运用方程(组)和函数的知识解实际问题.
导学过程 学法指导
【课前预习案】
看下面两个问题之间的关系： (1)解方程2x+20=0 (2)当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？ 分析：可以从以下三个方面进行思考 1.对于2x+20=0和y=2x+20，从形式上看，有什么不同. 2.从问题本质上看，(1)和(2)有什么关系？ 3.若作出函数y=2x+20的图象，(1)和(2)有什么关系？ ◆对于2x+20=0和y=2x+20，从形式上看，有什么不同？ ◆从问题本质上看，(1)和(2)有什么关系？ 从“数”上看 ◆若作出函数y=2x+20的图象，(1)和(2)有什么关系？ 从“形”的角度看： 直线y=2x+20的图象与 x 轴 的交点坐标为________，这说明 方程2x+20=0的解是______. 一次函数与一元一次方程的关系 思考 下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？ (1) 2x+1=3； (2) 2x+1=0； (3) 2x+1=-1. 从“数”的角度看： 解这3个方程相当于在一次函数y=2x+1的函数值分别为3，0，-1时，求自变量x的值. 从“形”的角度看： 在直线y=2x+1上取纵坐标分别为3，0，-1的点，它们的横坐 标分别为_____________.
【课堂探究案】
问题 (1)解不等式2x-4＞0； (2)当自变量x为何值时，函数y=2x-4的值大于0？ 解：(1)解得x＞2；(2)由2x-4＞0，解得x＞2，即当x＞2时，函数y=2x-4的值大于0. 在上面问题的解决过程中，你能发现它们之间有什么关系？ 从“数”的角度看它们是同一个问题，只是表达的形式不同. 从“数”上看 根据一次函数与不等式的关系填空： (1)解不等式3x-6＜0，可看作_________________________________________________. (2)“当自变量x取何值时，函数y=-5x+8的值大于0”可以看作_____________________. 解：画出直线y=2x-4，可以看出，当x＞2时，这条 直线上的点在x轴的上方，即这时，y=2x-4＞0. 因此不等式2x-4＞0的解集为x＞2. 从“形”的角度看它们也是同一个问题. 从“形”上看 根据下列一次函数的图象，直接写出下列不等式的解集. (1) 3x+6＞0 (即y＞0)_________ (2) 3x+6≤0 (即y≤0)_________ (3) -x+3≥0 (即y≥0)_________ (4) -x+3＜0 (即y＜0)_________ 一次函数与一元一次不等式的关系 思考 下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗？ (1) 3x+2＞2； (2) 3x+2＜0； (3) 3x+2＜-1. 从“数”的角度看： 解这3个不等式相当于在一次函数y=3x+2的函数值分别大于2、小于0、小于-1时，求自变量x的取值范围. 从“形”的角度看： 在直线y=3x+2上取纵坐标分别满足大于2、小于0、小于-1的点，它们的横坐标分别满足____________________. 想一想 x+y=5 它表示什么呢？ 它表示一个二元一次方程. y=-x+5 它表示什么呢？ 它既可表示一个二元一次方程，又可表示一个一次函数. 对于二元一次方程2x-y=3可以将其写成一次函数 __________的形式. 1.画出一次函数y=2x-3的图象； 2.找出方程的几组解； 3.把以这几组解为坐标的点在坐标系上描出来，你发现了什么？ 4.在一次函数y=2x-3的图象上点的坐标都是二元一次方程2x-y=3的解吗？ 一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线. 这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解. 方程组 1.在同一直角坐标系中，分别作出一次函数y=-x+5和y=2x-1的图象，这两个图象有交点吗？ 2.直线y=-x+5和y=2x-1的交点坐标与方程组的解有什么关系？ 解方程组得 由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线. 从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标. 因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解. 问题3 1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升.两个气球都上升了1h. (1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y(单位:m)关于上升时间x(单位:min)的函数关系； (2)在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？ 解：(1)气球上升时间x满足0≤x≤60. 对于1号气球，y关于x的函数解析式为y=x+5. 对于2号气球，y关于x的函数解析式为y=0.5x+15. (2)在某时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值(0≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.由此可得 解得 这就是说，当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度. 在同一直角坐标系中，画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的图象.两条直线交点坐标为(20，25)，这也说明当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度.
【课堂检测案】
练习 1.已知一次函数y=-2x+2，根据图象回答： (1)当y=0时，求x的值； (2)当y=2时，求x的值. 解：(1)由图象可知：一次函数y=-2x+2与x轴的交点为(1，0) ∴ 当y=0时，x=1 (2)由图象可知：一次函数y=-2x+2与y轴的交点为(0，2) ∴ 当y=2时，x=0 2.利用一次函数图象解方程5x-1=2x+5. 解：原方程变形为3x-6=0，并画出一次函数y=3x-6的图象.由图象可知一次函数y=3x-6与x轴交点为(2，0)因此，方程3x-6=0的解为x=2，即方程5x-1=2x+5的解为x=2.
【课堂训练案】
3.当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=-5x+8的值满足下列条件？ (1) y＞0；________ (2) y≤-2. ________ 4.利用函数图象解不等式：6x-4≤3x+2. 解：原不等式变形为3x-6≤0 画出函数y=3x-6的图像 由图像可以看出：当x≤2时， 这条直线上的点在x轴的下方， 这时y=3x-6≤0 即原不等式的解集为：x≤2. 考虑下表两种移动电话计费方式 用函数方法解答何时两种计费方式费用相等. 解：用x(min)表示通话时间，y(元)表示费用.则方式一的函数解析式为y=0.15x+20，方式二的函数解析式为y=0.2x.列得方程组 解得 答：当通话时间为400min时，两种计费方式费用相等，都为80元.
课后作业 必做题：教材习题19.2第8、10题． 选做题：教材习题19.2第11、13题．
板书设计
教学反思 在教学的过程中，学生是教学的主体，所以发挥学生的主动性相当的重要. 本节课是在一次函数的基础上教学的，是对学生学习的又一次综合与扩展.课堂教学充分体现了新课标的教学理念：教师为主导、学生为主体，把课堂还给学生.
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