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19.2.2 一次函数
第 3 课时 一次函数解析式的求法
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 用待定系数法求正比例函数的解析式
图象过原点,函数为正比例函数,可设解析式为________,再找________的坐标代入解析式,即可求出k.
1.【答案】y=kx;图象上一个非原点的点
2.已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示,则在下列选项中,k值可能是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.【答案】B
知识点2 用待定系数法求一次函数的解析式
3.已知一次函数图象经过点A(3，5)和点B(－4，－9)．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)若点C(m，2)是该函数图象上一点，求C点坐标．
3.解析：(1)将点A(3，5)和点B(－4，－9)分别代入一次函数y＝kx＋b(k≠0)，列出关于k、b的二元一次方程组，通过解方程组求得k、b的值；(2)将点C的坐标代入(1)中的一次函数解析式，即可求得m的值．
解：(1)设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k、b是常数，且k≠0)，则∴∴一次函数的解析式为y＝2x－1；
(2)∵点C(m，2)在y＝2x－1上，∴2＝2m－1，∴m＝，∴点C的坐标为(，2)．
方法总结：解答此题时，要注意一次函数的一次项系数k≠0这一条件，所以求出结果要注意检验一下．
4.如图,一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A,B两点,P是线段AB上任意一点(不包括端点),过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10,则该直线的函数解析式是( )
A.y=x+5 B.y=x+10 C.y=-x+5 D.y=-x+10
4.【答案】C
解:如图,设P点坐标为(x,y),由坐标的意义可知PC=x,PD=y,根据题意可得到x,y之间的解析式,进而得出答案.
知识点3用对称、平移、旋转法求一次函数的解析式
5.已知一次函数y＝kx＋b的图象过点(1，2)，且其图象可由正比例函数y＝kx向下平移4个单位得到，求一次函数的解析式．
5.解析：根据题设得到关于k，b的方程组，然后求出k的值即可．
解：把(1，2)代入y＝kx＋b得k＋b＝2.∵y＝kx向下平移4个单位得到y＝kx＋b，∴b＝－4，∴k－4＝2，解得k＝6.∴一次函数的解析式为y＝6x－4.
方法总结：一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)的图象为直线，当直线平移时k不变，当向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为y＝kx＋b＋m.
6.如图,在平面直角坐标系中,点A(-1,m)在直线y=2x+3上,连接OA,将线段OA绕点O顺时针旋转90°,点A的对应点B恰好落在直线y=-x+b上,则b的值为( )
-2 B.1 C. D.2
6.【答案】D
解:把A(-1,m)的坐标代入y=2x+3,可得m=-2+3=1,因为线段OA绕点O顺时针旋转90°,点A的对应点为点B,所以点B的坐标为(1,1).把点B的坐标代入y=-x+b,可得1=-1+b,b=2,故选D.
题型总结
题型1 利用k,b特征求解析式中字母的值
7.已知关于x的一次函数y=(k-2)x-3k2+12.
(1)k为何值时,函数图象经过原点;
(2)k为何值时,函数图象与直线y=-2x+9的交点在y轴上;
(3)k为何值时,函数图象平行于y=-2x的图象;
(4)k为何值时,y随x的增大而减小.
7.解:(1)因为一次函数y=(k-2)x-3k2+12的图象经过原点,
所以-3k2+12=0且k-2≠0.所以k=-2.
(2)因为直线y=-2x+9与y轴的交点坐标为(0,9),
所以-3k2+12=9且k-2≠0.
所以k=1或k=-1.
(3)因为一次函数的图象平行于y=-2x的图象,
所以k-2=-2,且-3k2+12≠0.
所以k=0.
(4)当y随x的增大而减小时,k-2<0,所以k<2.
题型2 利用已知直线的几何性质求函数解析式
8.如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，如果A点的坐标为(2，0)，且OA＝OB，试求一次函数的解析式．
8.解析：先求出点B的坐标，再根据待定系数法即可求得函数解析式．
解：∵OA＝OB，A点的坐标为(2，0)，∴点B的坐标为(0，－2)．设直线AB的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，则解得∴一次函数的解析式为y＝x－2.
方法总结：本题考查用待定系数法求函数解析式，解题关键是利用所给条件得到关键点的坐标，进而求得函数解析式．
9.如图，点B的坐标为(－2，0)，AB垂直x轴于点B，交直线l于点A，如果△ABO的面积为3，求直线l的解析式．
9.解析：△AOB面积等于OB与AB乘积的一半．根据OB与已知面积求出AB的长，确定出A点坐标．设直线l解析式为y＝kx，将A点坐标代入求出k的值，即可确定出直线l的解析式．
解：∵点B的坐标为(－2，0)，∴OB＝2.∵S△AOB＝OB·AB＝3，∴×2×AB＝3，∴AB＝3，即A(－2，－3)．设直线l的解析式为y＝kx，将A点坐标代入得－3＝－2k，即k＝，则直线l的解析式为y＝x.
方法总结：解决本题的关键是根据直线与坐标轴围成三角形的面积确定另一个点的坐标．
10.如图,直线y=x+与两坐标轴分别交于A,B两点.
(1)求∠ABO的度数;
(2)过A的直线l交x轴正半轴于C,AB=AC,求直线l的函数解析式.
10.解:(1)对于直线y=x+,
令x=0,则y=,
令y=0,则x=-1,
∴点A的坐标为(0,),点B的坐标为(-1,0).
∴AO=,BO=1,
在Rt△ABO中,
AB===2,
∴∠BAO=30°.
∴∠ABO=60°.
(2)在△ABC中,
∵AB=AC,AO⊥BC,
∴AO为BC的垂直平分线.
∴BO=CO.
∴C点的坐标为(1,0).
设直线l的函数解析式为y=kx+b(k,b为常数),
则
解得
即直线l的函数解析式为y=-x+.
拓展培优
拓展角度1利用平移法求一次函数的解析式
11.如图,直线l上有一点P1(2,1),将点P1先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到点P2,点P2恰好在直线l上.
(1)写出点P2的坐标;
(2)求直线l所对应的一次函数的解析式;
(3)若将点P2先向右平移3个单位长度,再向上平移6个单位长度得到点P3,请判断点P3是否在直线l上,并说明理由.版权所有
11.解:(1)P2(3,3).
(2)设直线l所对应的一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),
因为点P1(2,1),P2(3,3)在直线l上,
所以2k+b=1且3k+b=3.将b=1-2k代入3k+b=3中,得3k+1-2k=3,解得k=2,所以b=-3.
所以直线l所对应的一次函数的解析式为y=2x-3.
(3)点P3在直线l上.理由:
由题意知点P3的坐标为(6,9),
因为2×6-3=9,
所以点P3在直线l上.
拓展角度2利用一次函数的图象和性质解与几何综合的求最小值问题(数形结合思想)
12.如图,一次函数y=kx+b的图象与x轴,y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).
(1)求该函数的解析式;
(2)O为坐标原点,设OA,AB的中点分别为C,D,P为OB上一动点(不与点O,点B重合),求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点的坐标.
12.解:(1)将点A,B的坐标分别代入y=kx+b,
得2k+b=0,b=4.解得k=-2,b=4.
所以所求函数的解析式为y=-2x+4.
(2)因为C,D分别是OA,AB的中点,
所以C(1,0),D(1,2).
作点C关于点O的对称点C',连接PC',C'D,如图所示,则PC=PC'.
所以PC+PD=PC'+PD≥C'D.
所以当C',P,D共线时,PC+PD取得最小值,为C'D.
连接CD,易知∠DCC'=90°.
在Rt△DCC'中,
C'D===2,即PC+PD的最小值为2.
因为C'点的坐标为(-1,0),D点的坐标为(1,2),所以线段C'D所在的直线的解析式为y=x+1.因为当x=0时,y=1,所以PC+PD取得最小值时点P的坐标为(0,1).
拓展角度3与确定函数解析式有关的综合性问题
13.已知水银体温计的读数y(℃)与水银柱的长度x(cm)之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰(如图)，表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．
水银柱的长度x(cm) 4.2 … 8.2 9.8
体温计的读数y(℃) 35.0 … 40.0 42.0
(1)求y关于x的函数关系式(不需要写出函数自变量的取值范围)；
(2)用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm，求此时体温计的读数．
13.解析：(1)设y关于x的函数关系式为y＝kx＋b，由统计表的数据建立方程组求出k，b即可；(2)当x＝6.2时，代入(1)的解析式就可以求出y的值．
解：(1)设y关于x的函数关系式为y＝kx＋b，由题意，得解得∴y＝1.25x＋29.75.∴y关于x的函数关系式为y＝1.25x＋29.75；
(2)当x＝6.2时，y＝1.25×6.2＋29.75＝37.5.
答：此时体温计的读数为37.5℃.
方法总结：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由解析式根据自变量的值求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
14. 如图，A、B是分别在x轴上位于原点左右侧的点，点P(2，m)在第一象限内，直线PA交y轴于点C(0，2)，直线PB交y轴于点D，S△AOP＝12.
(1)求点A的坐标及m的值；
(2)求直线AP的解析式；
(3)若S△BOP＝S△DOP，求直线BD的解析式．
14.解析：(1)S△POA＝S△AOC＋S△COP，根据三角形面积公式得到×OA×2＋×2×2＝12，可计算出OA＝10，则A点坐标为(－10，0)，然后再利用S△AOP＝×10×m＝12求出m；(2)已知A点和C点坐标，可利用待定系数法确定直线AP的解析式；(3)利用三角形面积公式由S△BOP＝S△DOP得PB＝PD，即点P为BD的中点，则可确定B点坐标为(4，0)，D点坐标为(0，)，然后利用待定系数法确定直线BD的解析式．
解：(1)∵S△POA＝S△AOC＋S△COP，∴×OA×2＋×2×2＝12，∴OA＝10，∴A点坐标为(－10，0)．∵S△AOP＝×10×m＝12，∴m＝；
(2)设直线AP的解析式为y＝kx＋b，把A(－10，0)，C(0，2)代入得解得∴直线AP的解析式为y＝x＋2；
(3)∵S△BOP＝S△DOP，∴PB＝PD，即点P为BD的中点，∴B点坐标为(4，0)，D点坐标为.设直线BD的解析式为y＝k′x＋b′，把B(4，0)，D代入得解得∴直线BD的解析式为y＝－x＋.
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19.2.2 一次函数
第 3 课时 一次函数解析式的求法
夯基训练
知识点1 用待定系数法求正比例函数的解析式
图象过原点,函数为正比例函数,可设解析式为________,再找________的坐标代入解析式,即可求出k.
2.已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示,则在下列选项中,k值可能是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
知识点2 用待定系数法求一次函数的解析式
3.已知一次函数图象经过点A(3，5)和点B(－4，－9)．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)若点C(m，2)是该函数图象上一点，求C点坐标．
4.如图,一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A,B两点,P是线段AB上任意一点(不包括端点),过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10,则该直线的函数解析式是( )
y=x+5 B.y=x+10 C.y=-x+5 D.y=-x+10
知识点3用对称、平移、旋转法求一次函数的解析式
5.已知一次函数y＝kx＋b的图象过点(1，2)，且其图象可由正比例函数y＝kx向下平移4个单位得到，求一次函数的解析式．
6.如图,在平面直角坐标系中,点A(-1,m)在直线y=2x+3上,连接OA,将线段OA绕点O顺时针旋转90°,点A的对应点B恰好落在直线y=-x+b上,则b的值为( )
-2 B.1 C. D.2
题型总结
题型1 利用k,b特征求解析式中字母的值
7.已知关于x的一次函数y=(k-2)x-3k2+12.
(1)k为何值时,函数图象经过原点;
(2)k为何值时,函数图象与直线y=-2x+9的交点在y轴上;
(3)k为何值时,函数图象平行于y=-2x的图象;
(4)k为何值时,y随x的增大而减小.
题型2 利用已知直线的几何性质求函数解析式
如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，如果A点的坐标为(2，0)，且OA＝OB，试求一次函数的解析式．
9.如图，点B的坐标为(－2，0)，AB垂直x轴于点B，交直线l于点A，如果△ABO的面积为3，求直线l的解析式．
10.如图,直线y=x+与两坐标轴分别交于A,B两点.
(1)求∠ABO的度数;
(2)过A的直线l交x轴正半轴于C,AB=AC,求直线l的函数解析式.
拓展培优
拓展角度1利用平移法求一次函数的解析式
11.如图,直线l上有一点P1(2,1),将点P1先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到点P2,点P2恰好在直线l上.
(1)写出点P2的坐标;
(2)求直线l所对应的一次函数的解析式;
(3)若将点P2先向右平移3个单位长度,再向上平移6个单位长度得到点P3,请判断点P3是否在直线l上,并说明理由.版权所有
拓展角度2利用一次函数的图象和性质解与几何综合的求最小值问题(数形结合思想)
12.如图,一次函数y=kx+b的图象与x轴,y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).
(1)求该函数的解析式;
(2)O为坐标原点,设OA,AB的中点分别为C,D,P为OB上一动点(不与点O,点B重合),求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点的坐标.
拓展角度3与确定函数解析式有关的综合性问题
13.已知水银体温计的读数y(℃)与水银柱的长度x(cm)之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰(如图)，表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．
水银柱的长度x(cm) 4.2 … 8.2 9.8
体温计的读数y(℃) 35.0 … 40.0 42.0
(1)求y关于x的函数关系式(不需要写出函数自变量的取值范围)；
(2)用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm，求此时体温计的读数．
14. 如图，A、B是分别在x轴上位于原点左右侧的点，点P(2，m)在第一象限内，直线PA交y轴于点C(0，2)，直线PB交y轴于点D，S△AOP＝12.
(1)求点A的坐标及m的值；
(2)求直线AP的解析式；
(3)若S△BOP＝S△DOP，求直线BD的解析式．
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