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19.2.3 一次函数与方程、不等式
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 一次函数与一元一次方程
1.一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝0的解为( )
A．x＝－1 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝3
1.解析：∵y＝kx＋b经过点(2，3)、(0，1)，∴解得∴一次函数解析式为y＝x＋1.令x＋1＝0，解得x＝－1.故选A.
方法总结：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝kx＋b，确定它与x轴的交点的横坐标的值
2.如图,直线y=ax+b过点A(0,2)和点B(-3,0),则方程ax+b=0的解是( )版权所有
A.x=2 B.x=0 C.x=-1 D.x=-3
2.【答案】D
解:方程ax+b=0的解,即为函数y=ax+b的图象与x轴交点的横坐标.
∵直线y=ax+b过点B(-3,0),
∴方程ax+b=0的解是x=-3.
故选D.
知识点2一次函数与一元一次不等式
3.对照图象，请回答下列问题：
(1)当x取何值时，2x－5＝－x＋1
(2)当x取何值时，2x－5＞－x＋1
(3)当x取何值时，2x－5＜－x＋1
3.解析：(1)直线y＝2x－5与直线y＝－x＋1的交点横坐标的值即为方程2x－5＝－x＋1的解；(2)直线y＝2x－5在直线y＝－x＋1上方的部分对应的x的取值范围即为不等式2x－5＞－x＋1的解集；(3)直线y＝2x－5在直线y＝－x＋1下方的部分对应的x的取值范围即为不等式2x－5＜－x＋1的解集．
解：(1)由图象可知，直线y＝2x－5与直线y＝－x＋1的交点的横坐标是2，所以当x取2时，2x－5＝－x＋1；
(2)由图象可知，当x＞2时，直线y＝2x－5落在直线y＝－x＋1的上方，即2x－5＞－x＋1；
(3)由图象可知，当x＜2时，直线y＝2x－5落在直线y＝－x＋1的下方，即2x－5＜－x＋1.
方法总结：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx＋b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
4.直线y=kx+3经过点A(2,1),则不等式kx+3≥0的解集是( )
A.x≤3 B.x≥3 C.x≥-3 D.x≤0
4.【答案】A
解:首先把点A(2,1)的坐标代入y=kx+3中,可得k的值,再解不等式kx+3≥0即可.
5.如图,直线y=kx+b经过A(2,1),B(-1,-2)两点,则不等式x>kx+b>-2的解集为( )
A.x<2 B.x>-1 C.x<1或x>2 D.-15.【答案】D
解:把A(2,1),B(-1,-2)两点的坐标分别代入y=kx+b,得解得解不等式组x>x-1>-2,得-16.一次函数y=3x+b和y=ax-3的图象如图所示,其交点为P(-2,-5),则不等式3x+b>ax-3的解集在数轴上表示正确的是( )21cnjy.com
6.【答案】C
解:从图象得到,当x>-2时,y=3x+b的图象在函数y=ax-3的图象上面,所以不等式3x+b>ax-3的解集为x>-2.故选C.
知识点3一次函数与二元一次方程的关系
7.以方程y-2x-2=0的解为坐标的点组成的图象是( )
A B C D
7.【答案】C
解:因为以方程y-2x-2=0的解为坐标的点组成的图象与函数y=2x+2的图象相同,所以由函数的解析式可知图象自左向右是上升的,且与y轴交于点(0,2),所以只有选项C正确.
知识点4一次函数与二元一次方程组的关系
8.直角坐标系中有两条直线：y＝x＋，y＝－x＋6，它们的交点为P，第一条直线交x轴于点A，第二条直线交x轴于点B.
(1)求A、B两点的坐标；
(2)用图象法解方程组
(3)求△PAB的面积．
8.解析：(1)分别令y＝0，求出x的值即可得到点A、B的坐标；(2)建立平面直角坐标系，然后作出两直线，交点坐标即为方程组的解；(3)求出AB的长，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：(1)令y＝0，则x＋＝0，解得x＝－3，所以点A的坐标为(－3，0)．令－x＋6＝0，解得x＝4，所以点B的坐标为(4，0)；
(2)如图所示，方程组的解是
(3)AB＝4－(－3)＝4＋3＝7，S△PAB＝×7×3＝.
方法总结：本题考查了二元一次方程(组)与一次函数的关系：两个方程的解的对应点分别在两条直线上，所以作出两个二元一次方程所对应的两条直线，求出交点，则交点的坐标同时满足两个方程，即为方程组的解．
9.在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(m,3),(3m-1,3),若线段AB与直线y=2x+1相交,则m的取值范围为___________.
9.≤m≤1
解:当y=3时,2x+1=3,解得x=1,所以直线y=3与直线y=2x+1的交点坐标为(1,3),当点B在点A的右侧时,则有m≤1且3m-1≥1,解得≤m≤1;当点B在点A的左侧时,则m≥1且3m-1≤1,无解.所以m的取值范围为≤m≤1.
题型总结
题型1 利用一个一次函数图象解一元一次方程、不等式
10.画出函数y=2x+6的图象,利用图象:
(1)求方程2x+6=0的解;
(2)求不等式2x+6>0的解集;
(3)若-2≤y≤2,请直接写出x的取值范围.
10.解:图象如图:
(1)观察图象知:该函数图象经过点(-3,0),
故方程2x+6=0的解为x=-3;
(2)观察图象知:当x>-3时,y>0,
故不等式2x+6>0的解集为x>-3;
(3)当-2≤y≤2时,x的取值范围为-4≤x≤-2.
题型2 利用两个一次函数图象解一元一次方程、不等式
11.如图,对照图象,请回答下列问题:
(1)当x取何值时,2x-5=-x+1
(2)当x取何值时,2x-5>-x+1
(3)当x取何值时,2x-5<-x+1
11.解:(1)由图象可知,直线y=2x-5与直线y=-x+1的交点的横坐标是2,所以当x取2时,2x-5=-x+1.
(2)由图象可知,当x>2时,直线y=2x-5落在直线y=-x+1的上方,即2x-5>-x+1.
(3)由图象可知,当x<2时,直线y=2x-5落在直线y=-x+1的下方,即2x-5<-x+1.
题型3利用方程组的解与直线交点的关系求字母的值
12.已知一次函数y=3x+6与y=2x+b的图象的交点为P(-10,-24).
求方程组的解和b的值
12.解:由题意可得方程组的解为将代入y=2x+b,得-24=2×(-10)+b,所以b=-4.
题型4利用图象法解二元一次方程(组)
13.在同一平面直角坐标系内画出二元一次方程2x-y-2=0和x-y+3=0所对应的一次函数的图象.利用图象求:21*
(1)方程2x-2=x+3的解;
(2)方程组的解.
13.分析:(1)首先画出y=2x-2,y=x+3的图象,求方程的解看两直线的交点的横坐标的值.(2)求方程组的解看两直线的交点,x=横坐标的值,y=纵坐标的值.
解:画出y=2x-2和y=x+3的图象,如图所示.
(1)根据图象可知方程2x-2=x+3的解为x=5.
(2)根据图象可知方程组的解为
拓展培优
拓展角度1利用一次函数解一元一次方程综合应用问题
14.已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上,它们之间的距离如图所示.小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆,付费9元,中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院,付费12.6元.若该市出租车的收费标准是:不超过3公里计费为m元,3公里后按n元/公里计费.
(1)求m,n的值,并直接写出车费y(元)与路程x(公里)(x>3)之间的函数关系式.
(2)如果小张这天外出的消费还包括:中午吃饭花费15元,在光明电影院看电影花费25元.问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学 为什么 21·cn·jy·com
14.解:(1)由题图可知光明中学和市图书馆相距2公里,付费9元,
所以m=9.
因为从市图书馆乘出租车去光明电影院,路程为5公里,付费12.6元,
所以(5-3)n+9=12.6,
解得n=1.8.
所以车费y(元)与路程x(公里)(x>3)之间的函数关系式
为:y=1.8(x-3)+9=1.8x+3.6(x>3).
(2)不够.理由如下:小张剩下的现金为:75-15-25-9-12.6=13.4(元),
乘出租车从光明电影院返回光明中学的费用:1.8×(2+5)+3.6=16.2(元)
因为13.4<16.2,
故小张剩下的现金不够乘出租车从光明电影院返回光明中学.
拓展角度2利用一次函数解与不等式综合应用问题
15.代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展.小明计划给朋友快递一部分物品,经了解有甲、乙两家快递公司比较合适.甲公司表示:快递物品不超过1千克的,按每千克22元收费;超过1千克,超过的部分按每千克15元收费.乙公司表示:按每千克16元收费,另加包装费3元.设小明快递物品x千克.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)请分别写出甲、乙两家快递公司快递物品的费用y(元)与x(千克)之间的函数解析式;
(2)小明选择哪家快递公司更省钱
15.解:(1)由题意知y甲=
y乙=16x+3.
(2)①当0令y甲解得0令y甲=y乙,即22x=16x+3,
解得x=;
令y甲>y乙,即22x>16x+3,
解得②当x>1时,
令y甲解得x>4;
令y甲=y乙,即15x+7=16x+3,
解得x=4;
令y甲>y乙,即15x+7>16x+3,
解得1答:当4时,选甲快递公司省钱.
拓展角度3利用一次函数与二元一次方程的关系解几何问题
16.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y=x与一次函数y=-x+7的图象交于点A.【来源y.co*m】
(1)求点A的坐标;
(2)设x轴上有一点P(a,0),过点P作x轴的垂线(垂线位于点A的右侧),分别交y=x和y=-x+7的图象于点B,C,连接OC,若BC=7,求三角形OBC的面积.【出处：】
16.解:(1)由题意得解得所以点A的坐标为(4,3).
(2)因为P(a,0),所以B(a,,C(a,-a+7),
所以BC=a-(-a+7)=a-7,
所以a-7=7,解得a=8.
所以S三角形OBC=BC·OP=×7×8=28.
拓展角度4利用一次函数与二元一次方程组解实际应用问题
17.孝感市在创建国家级园林城市中,绿化档次不断提升.某校计划购进A,B两种树木共100棵进行校园绿化升级,经市场调查:购买A种树木2棵,B种树木5棵,共需600元;购买A种树木3棵,B种树木1棵,共需380元.【版权所有：21教育】
(1)求A种,B种树木每棵各多少元
(2)因布局需要,购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍.学校与中标公司签订的合同中规定:在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素),实际付款总金额按市场价九折优惠,请设计一种购买树木的方案,使实际所花费用最省,并求出最省的费用.
17.解:(1)设A种树木每棵x元,B种树木每棵y元,
依题意得
解得
答:A种树木每棵100元,B种树木每棵80元.
(2)设购买A种树木a棵,则购买B种树木(100-a)棵,
则a≥3(100-a),解得a≥75.
设实际付款总金额是w元,则
w=0.9[100a+80(100-a)],即w=18a+7 200.
∵18>0,∴w随a的增大而增大.
∴当a=75时,w最小.
即当a=75时,w最小值=18×75+7 200=8 550.此时,100-a=25.
答:当购买A种树木75棵,B种树木25棵时,实际所花费用最省,最省的费用为8 550元.
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19.2.3 一次函数与方程、不等式
夯基训练
知识点1 一次函数与一元一次方程
1.一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝0的解为( )
A．x＝－1 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝3
2.如图,直线y=ax+b过点A(0,2)和点B(-3,0),则方程ax+b=0的解是( )版权所有
A.x=2 B.x=0 C.x=-1 D.x=-3
知识点2一次函数与一元一次不等式
3.对照图象，请回答下列问题：
(1)当x取何值时，2x－5＝－x＋1
(2)当x取何值时，2x－5＞－x＋1
(3)当x取何值时，2x－5＜－x＋1
4.直线y=kx+3经过点A(2,1),则不等式kx+3≥0的解集是( )
A.x≤3 B.x≥3 C.x≥-3 D.x≤0
5.如图,直线y=kx+b经过A(2,1),B(-1,-2)两点,则不等式x>kx+b>-2的解集为( )
A.x<2 B.x>-1 C.x<1或x>2 D.-16.一次函数y=3x+b和y=ax-3的图象如图所示,其交点为P(-2,-5),则不等式3x+b>ax-3的解集在数轴上表示正确的是( )21cnjy.com
知识点3一次函数与二元一次方程的关系
7.以方程y-2x-2=0的解为坐标的点组成的图象是( )
A B C D
知识点4一次函数与二元一次方程组的关系
8.直角坐标系中有两条直线：y＝x＋，y＝－x＋6，它们的交点为P，第一条直线交x轴于点A，第二条直线交x轴于点B.
(1)求A、B两点的坐标；
(2)用图象法解方程组
(3)求△PAB的面积．
9.在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(m,3),(3m-1,3),若线段AB与直线y=2x+1相交,则m的取值范围为___________.
题型总结
题型1 利用一个一次函数图象解一元一次方程、不等式
10.画出函数y=2x+6的图象,利用图象:
(1)求方程2x+6=0的解;
(2)求不等式2x+6>0的解集;
(3)若-2≤y≤2,请直接写出x的取值范围.
题型2 利用两个一次函数图象解一元一次方程、不等式
11.如图,对照图象,请回答下列问题:
(1)当x取何值时,2x-5=-x+1
(2)当x取何值时,2x-5>-x+1
(3)当x取何值时,2x-5<-x+1
题型3利用方程组的解与直线交点的关系求字母的值
12.已知一次函数y=3x+6与y=2x+b的图象的交点为P(-10,-24).
求方程组的解和b的值
题型4利用图象法解二元一次方程(组)
13.在同一平面直角坐标系内画出二元一次方程2x-y-2=0和x-y+3=0所对应的一次函数的图象.利用图象求:21*
(1)方程2x-2=x+3的解;
(2)方程组的解.
拓展培优
拓展角度1利用一次函数解一元一次方程综合应用问题
14.已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上,它们之间的距离如图所示.小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆,付费9元,中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院,付费12.6元.若该市出租车的收费标准是:不超过3公里计费为m元,3公里后按n元/公里计费.
(1)求m,n的值,并直接写出车费y(元)与路程x(公里)(x>3)之间的函数关系式.
(2)如果小张这天外出的消费还包括:中午吃饭花费15元,在光明电影院看电影花费25元.问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学 为什么 21om
拓展角度2利用一次函数解与不等式综合应用问题
15.代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展.小明计划给朋友快递一部分物品,经了解有甲、乙两家快递公司比较合适.甲公司表示:快递物品不超过1千克的,按每千克22元收费;超过1千克,超过的部分按每千克15元收费.乙公司表示:按每千克16元收费,另加包装费3元.设小明快递物品x千克.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)请分别写出甲、乙两家快递公司快递物品的费用y(元)与x(千克)之间的函数解析式;
(2)小明选择哪家快递公司更省钱
拓展角度3利用一次函数与二元一次方程的关系解几何问题
16.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y=x与一次函数y=-x+7的图象交于点A.【来源y.co*m】
(1)求点A的坐标;
(2)设x轴上有一点P(a,0),过点P作x轴的垂线(垂线位于点A的右侧),分别交y=x和y=-x+7的图象于点B,C,连接OC,若BC=7,求三角形OBC的面积.【出处：】
拓展角度4利用一次函数与二元一次方程组解实际应用问题
17.孝感市在创建国家级园林城市中,绿化档次不断提升.某校计划购进A,B两种树木共100棵进行校园绿化升级,经市场调查:购买A种树木2棵,B种树木5棵,共需600元;购买A种树木3棵,B种树木1棵,共需380元.【版权所有：21教育】
(1)求A种,B种树木每棵各多少元
(2)因布局需要,购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍.学校与中标公司签订的合同中规定:在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素),实际付款总金额按市场价九折优惠,请设计一种购买树木的方案,使实际所花费用最省,并求出最省的费用.
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