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20.1 数据的集中趋势
第2课时 用样本平均数估计总体平均数
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 加权平均数(用个数表示的“权”)
1.某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数,调查结果如下表所示,那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是( )
次数 2 3 4 5
人数 2 2 10 6
A.3次 B.3.5次 C.4次 D.4.5次
1.【答案】C
解:(2×2+3×2+4×10+5×6)÷20=4(次).
2.某老师为了了解学生周末学习时间的情况,在所任班级中随机调查了10名学生,绘成了如图所示的条形统计图,则这10名学生周末学均时间是( )
A.4时 B.3时 C.2时 D.1时
2.【答案】B
解:根据题意得
(1×1+2×2+3×4+4×2+5×1)÷10=3(时).
所以这10名学生周末学均时间是3时.
故选B.
3.对某校八年级随机抽取若干名学生进行体能测试,成绩记为1分、2分、3分、4分共4个等级,将调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图.根据图中信息,这些学生的平均分数是( )
A.2.25分 B.2.5分 C.2.95分 D.3分
3.【答案】C
解:因为成绩为4分的人数占总人数的30%,所以总人数为12÷30%=40(人),所以成绩为3分的人数为40×42.5%=17(人),所以成绩为2分的人数为40-3-17-12=8(人),最后利用加权平均数公式计算加权平均数.
知识点2 用组中值(用频数表示“权”)求平均数
4.对一组数据进行了整理,结果如下表:
分组 0≤x<10 10≤x<20
频数 8 12
则这组数据的平均数约是( )
A.10 B.11 C.12 D.16
4.【答案】B
解:根据题意分析发现,取每一区间的首尾两数的平均数乘该区间的频数,再全部加起来除以总数即可解答.
知识点3 用样本估计总体
5.黄石农科所在相同条件下经试验发现蚕豆种子的发芽率为97.1%,请估计黄石地区1 000斤蚕豆种子中不能发芽的大约有( )
A.971斤 B.129斤 C.97.1斤 D.29斤
5.【答案】D
解:由题意可得,黄石地区1 000斤蚕豆种子中不能发芽的大约有
1 000×(1-97.1%)=1 000×0.029=29(斤).故选D.
6.某校开展“节约每一滴水”活动,为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况,从八年级的400名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月节约用水情况,见下表:
节水量/m3 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5
家庭数/个 2 4 6 7 1
请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量是( )
A.130 m3 B.135 m3 C.6.5 m3 D.260 m3
6.【答案】A
解:因为20名同学各自家庭一个月平均节约用水量是
(0.2×2+0.25×4+0.3×6+0.4×7+0.5×1)÷20=0.325(m3),因此这400名同学
的家庭一个月节约用水的总量大约是400×0.325=130(m3),故选A.
题型总结
题型1 利用组中值求平均数估计总体
7.某服装厂为了解林海中学八年级学生的校服尺码,随机抽查了50名学生的校服尺码,经统计得到下表:
尺码/cm 组中值 频数
140≤x<150 145 6
150≤x<160 155 35
160≤x<170 165 7
170≤x<180 175 2
若该校八年级共有1 200名学生,试问八年级学生的校服尺码的平均数是多少
7.解:由表中的组中值及加权平均数公式得:
==156(cm).
即样本的平均数为156 cm,所以八年级学生的校服尺码的平均数约是156 cm.
规律总结:统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据,把各组的频数(这里是人数)看作相应组中值的权.
题型2 利用统计图求平均数估计总体
8.济南以“泉水”而闻名，为保护泉水，造福子孙后代，济南市积极开展“节水保泉”活动，宁宁利用课余时间对某小区300户居民的用水情况进行了统计，发现5月份各户居民的用水量比4月份有所下降，宁宁将5月份各户居民的节水量统计整理如下统计图表：
节水量(米3) 1 1.5 2.5 3
户数 50 80 100 70
(1)扇形统计图中2.5米3对应扇形的圆心角为________度；
(2)该小区300户居民5月份平均每户节约用水多少米3
8.解析：(1)首先计算出节水量2.5米3对应的户数所占百分比，再用360°×百分比即可；(2)根据加权平均数公式计算即可．
解：(1)120
(2)(50×1＋80×1.5＋2.5×100＋3×70)÷300＝2.1(米3)．
答：该小区300户居民5月份平均每户节约用水2.1米3.
方法总结：本题主要考查了统计表，扇形统计图，平均数，关键是看懂统计图表，从统计图表中获取必要的信息，熟练掌握平均数的计算方法．
9.为宣传节约用水，小明随机调查了某小区部分家庭5月份的用水情况，并将收集的数据整理成如下统计图．
(1)小明一共调查了多少户家庭？
(2)求所调查家庭5月份用水量的平均数；
(3)若该小区有400户居民，请你估计这个小区5月份的用水量．
9.解析：(1)条形统计图上户数之和即为调查的家庭户数；(2)根据加权平均数的定义计算即可；(3)利用样本估计总体的方法，用“400×所调查的20户家庭的平均用水量”即可．
解：(1)1＋1＋3＋6＋4＋2＋2＋1＝20(户)，
答：小明一共调查了20户家庭；
(2)(1×1＋1×2＋3×3＋4×6＋5×4＋6×2＋7×2＋8×1)÷20＝4.5(吨)，
答：所调查家庭5月份用水量的平均数为4.5吨；
(3)400×4.5＝1800(吨)，
答：估计这个小区5月份的用水量为1800吨．
方法总结：读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
拓展培优
拓展角度1 利用比例关系求样本的数量估计总体
10.学校学生会干部对校学生会倡导的“助残”自愿捐款活动进行抽样调查,得到一组学生捐款情况的数据,如图是根据这组数据绘制的统计图,图中从左到右各长方形高度之比为3∶4∶5∶8∶2,又知此次调查中捐15元和20元的人数共39人.
(1)他们一共抽查了多少人
(2)若该校共有2 310名学生,请估计全校学生共捐款多少元.
10.解:(1)设捐15元的人数为5x人,则捐20元的人数为8x人.
∴5x+8x=39,∴x=3.
(3+4+5+8+2)×3=22×3=66(人).
答:他们一共抽查了66人.
(2)(3×3×5+4×3×10+5×3×15+8×3×20+2×3×30)÷66×2 310=36 750(元).
答:全校学生共捐款约36 750元.
拓展角度2利用统计图表信息求相关数据估计总体
11.统计武汉园博会前20天日参观人数，得到如下频数分布表和频数分布直方图(部分未完成)：
武汉园博会前20天日参观人数的频数分布表
组别(万人) 组中值(万人) 频数 频率
7.5～14.5 11 5 0.25
14.5～21.5 6 0.3
21.5～28.5 25 0.3
28.5～35.5 32 3
(1)请补全频数分布表和频数分布直方图；
(2)求出日参观人数不低于21.5万的天数和所占的百分比；
(3)利用以上信息，试估计武汉园博会(会期247天)的参观总人数．
11.解析：(1)根据表格的数据求出14.5～21.5小组的组中值，最后即可补全频数分布表和频数分布直方图；(2)根据表格知道日参观人数不低于21.5万的天数有两个小组，共9天，除以总人数即可求出所占的百分比；(3)利用每一组的组中值和每一组的频数可以求出武汉园博会(会期247天)的参观总人数．
解：(1)14.5～21.5小组的组中值是(14.5＋21.5)÷2＝18，3÷20＝0.15.
武汉园博会前20天日参观人数的频数分布表：
组别(万人) 组中值(万人) 频数 频率
7.5～14.5 11 5 0.25
14.5～21.5 18 6 0.3
21.5～28.5 25 6 0.3
28.5～35.5 32 3 0.15
(2)依题意得日参观人数不低于21.5万有6＋3＝9(天)，所占百分比为9÷20＝45%；
(3)∵园博会前20天的平均每天参观人数约为＝＝20.45(万人)，∴武汉园博会(会期247天)的参观总人数约为20.45×247＝5051.15(万人)．
答：武汉园博会(会期247天)的参观总人数约为5051.15万人．
方法总结：本题考查运用样本估计总体的思想，解决问题的关键是读懂频数分布直方图和从统计图中获取有用信息．
拔尖角度2利用统计图表信息求相关数据估计总体
12.有一学校为了了解九年级学生某次体育的测试成绩,现对这次体育测试成绩进行抽样调查,经统计分析得到如下图表,其中扇形统计图中C组所在的扇形圆心角为36°.
被抽取的学生体育测试成绩频数分布表
组别 成绩/分 频数
A 20B 24C 28D 32E 36合计 a
根据上面图表提供的信息,回答下列问题:
(1)计算频数分布表中a与b的值;
(2)根据C组28(3)请估计该校九年级学生这次体育测试成绩的平均分(结果取整数).
12.解:(1)a=5÷(36÷360)=50,
b=50-2-3-5-20=20.
(2)150
(3)=34.24≈34(分)
答:该校九年级学生这次体育测试成绩的平均分约为34分.
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20.1 数据的集中趋势
第2课时 用样本平均数估计总体平均数
夯基训练
知识点1 加权平均数(用个数表示的“权”)
1.某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数,调查结果如下表所示,那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是( )
次数 2 3 4 5
人数 2 2 10 6
A.3次 B.3.5次 C.4次 D.4.5次
2.某老师为了了解学生周末学习时间的情况,在所任班级中随机调查了10名学生,绘成了如图所示的条形统计图,则这10名学生周末学均时间是( )
A.4时 B.3时 C.2时 D.1时
3.对某校八年级随机抽取若干名学生进行体能测试,成绩记为1分、2分、3分、4分共4个等级,将调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图.根据图中信息,这些学生的平均分数是( )
A.2.25分 B.2.5分 C.2.95分 D.3分
知识点2 用组中值(用频数表示“权”)求平均数
4.对一组数据进行了整理,结果如下表:
分组 0≤x<10 10≤x<20
频数 8 12
则这组数据的平均数约是( )
A.10 B.11 C.12 D.16
知识点3 用样本估计总体
5.黄石农科所在相同条件下经试验发现蚕豆种子的发芽率为97.1%,请估计黄石地区1 000斤蚕豆种子中不能发芽的大约有( )
A.971斤 B.129斤 C.97.1斤 D.29斤
6.某校开展“节约每一滴水”活动,为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况,从八年级的400名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月节约用水情况,见下表:
节水量/m3 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5
家庭数/个 2 4 6 7 1
请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量是( )
A.130 m3 B.135 m3 C.6.5 m3 D.260 m3
题型总结
题型1 利用组中值求平均数估计总体
7.某服装厂为了解林海中学八年级学生的校服尺码,随机抽查了50名学生的校服尺码,经统计得到下表:
尺码/cm 组中值 频数
140≤x<150 145 6
150≤x<160 155 35
160≤x<170 165 7
170≤x<180 175 2
若该校八年级共有1 200名学生,试问八年级学生的校服尺码的平均数是多少
题型2 利用统计图求平均数估计总体
8.济南以“泉水”而闻名，为保护泉水，造福子孙后代，济南市积极开展“节水保泉”活动，宁宁利用课余时间对某小区300户居民的用水情况进行了统计，发现5月份各户居民的用水量比4月份有所下降，宁宁将5月份各户居民的节水量统计整理如下统计图表：
节水量(米3) 1 1.5 2.5 3
户数 50 80 100 70
(1)扇形统计图中2.5米3对应扇形的圆心角为________度；
(2)该小区300户居民5月份平均每户节约用水多少米3
9.为宣传节约用水，小明随机调查了某小区部分家庭5月份的用水情况，并将收集的数据整理成如下统计图．
(1)小明一共调查了多少户家庭？
(2)求所调查家庭5月份用水量的平均数；
(3)若该小区有400户居民，请你估计这个小区5月份的用水量．
拓展培优
拓展角度1 利用比例关系求样本的数量估计总体
10.学校学生会干部对校学生会倡导的“助残”自愿捐款活动进行抽样调查,得到一组学生捐款情况的数据,如图是根据这组数据绘制的统计图,图中从左到右各长方形高度之比为3∶4∶5∶8∶2,又知此次调查中捐15元和20元的人数共39人.
(1)他们一共抽查了多少人
(2)若该校共有2 310名学生,请估计全校学生共捐款多少元.
拓展角度2利用统计图表信息求相关数据估计总体
11.统计武汉园博会前20天日参观人数，得到如下频数分布表和频数分布直方图(部分未完成)：
武汉园博会前20天日参观人数的频数分布表
组别(万人) 组中值(万人) 频数 频率
7.5～14.5 11 5 0.25
14.5～21.5 6 0.3
21.5～28.5 25 0.3
28.5～35.5 32 3
(1)请补全频数分布表和频数分布直方图；
(2)求出日参观人数不低于21.5万的天数和所占的百分比；
(3)利用以上信息，试估计武汉园博会(会期247天)的参观总人数．
拔尖角度2利用统计图表信息求相关数据估计总体
12.有一学校为了了解九年级学生某次体育的测试成绩,现对这次体育测试成绩进行抽样调查,经统计分析得到如下图表,其中扇形统计图中C组所在的扇形圆心角为36°.
被抽取的学生体育测试成绩频数分布表
组别 成绩/分 频数
A 20B 24C 28D 32E 36合计 a
根据上面图表提供的信息,回答下列问题:
(1)计算频数分布表中a与b的值;
(2)根据C组28(3)请估计该校九年级学生这次体育测试成绩的平均分(结果取整数).
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