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20.1.2 数据的集中趋势
第2课时 应用中位数、众数及平均数分析数据
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 “三数”在统计数据中应用
1.赵老师是一名健步走运动的爱好者,她用手机软件记录了某个月(30天)每天健步走的步数(单位:万步),将记录结果绘制成了如图所示的统计图.在每天所走的步数这组数据中,众数和中位数分别是( )
A.1.2万步,1.3万步 B.1.4万步,1.3万步 C.1.4万步,1.35万步 D.1.3万步,1.3万步
1.【答案】B
解:由条形统计图中出现频数最大(即条形最高)的数据是在第四组,故众数是1.4万步,因为图中是按从小到大的顺序排列的,最中间的步数都是1.3万步,所以中位数是1.3万步.
故选B.
2.某校为了了解八年级学生的身高情况(单位:cm,精确到1 cm),抽查了部分学生,将所得数据处理后分成七组(每组只含最低值,不含最高值),并制成了下列两个图表(部分):
分组 人数
一 140~145 6
二 145~150 12
三 150~155
四 155~160 26
五 160~165
六 165~170
七 170~175 4
根据以上信息可知,样本的中位数落在( )
A.第二组 B.第三组 C.第四组 D.第五组
2.【答案】C
解:结合扇形统计图可知第三、五、六组的人数分别为18,24,10,且样本容量为100,所以中位数是第50和第51个数的平均数,显然这两个数都落在第四组,因此样本的中位数也落在第四组.
3.有13位同学参加学校组织的才艺表演比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设7个获奖名额，某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是__________(填“众数”“中位数”或“平均数”)．
3.解析：因为7位获奖者的分数肯定是13名参赛选手中最高的，所以把13个不同的分数按从小到大排序，只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．故填中位数．
方法总结：中位数与数据的排列顺序有关，受极端值的影响较小，所以当一组数据中个别数据变化较大时，可以用中位数描述其“平均情况”，但不能充分利用所有数据的信息．
4.抽样调查了某班30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下(单位：码)．在这组数据的平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是( )
码号 33 34 35 36 37
人数 7 6 15 1 1
A.平均数 B．中位数 C．众数 D．无法确定
4.解析：由于众数是数据中出现最多的数，故鞋厂最感兴趣的是销售量最多的鞋号即这组数据的众数．故选C.
方法总结：众数是反映一组数据中出现次数最多的数据，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往能反映问题．
5.假期里小菲和小琳结伴去超市买水果，三次购买的草莓价格和数量如下表，从平均价格看，买得比较划算的是( )
价格/(元/kg) 12 10 8 合计/kg
小菲购买的数量/kg 2 2 2 6
小琳购买的数量/kg 1 2 3 6
A.一样划算 B．小菲划算 C．小琳划算 D．无法比较
5.解析：∵小菲购买的平均价格是(12×2＋10×2＋8×2)÷6＝10(元/kg)，小琳购买的平均价格是(12×1＋10×2＋8×3)÷6＝(元/kg)，∴小琳划算．故选C.
方法总结：数据的“权”能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，“权”的差异对结果会产生直接的影响．
知识点2 “三数”在分析数据中应用
6.某中学开展演讲比赛活动，九(1)、九(2)班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分为100分)如下图所示．
(1)根据上图填写下表：
平均分(分) 中位数(分) 众数(分)
九(1)班 85 85
九(2)班 85 80
(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；
(3)如果在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛，你认为哪个班的实力更强一些？说明理由．
6.解析：(1)根据统计图中的具体数据以及中位数和众数的概念计算；(2)观察数据发现：平均数相同，则中位数大的较好；(3)分别计算前两名的平均分，比较其大小．
解：(1)85 100
(2)∵两班的平均数相同，九(1)班的中位数高，∴九(1)班的复赛成绩好些；
(3)∵九(1)班、九(2)班前两名选手的平均分分别为92.5分，100分，∴在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛，九(2)班的实力更强一些．
方法总结：读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
题型总结
题型1 利用平均数、中位数分析数据
7.甲、乙两班参加“学数学用数学”知识竞赛,两班的参赛人数相等,比赛结束后,依据两班学生成绩绘制了统计表和统计图(如图).
乙班学生“学数学用数学”知识竞赛成绩统计表
分数 6分 7分 8分 9分
人数 1 10 3 6
(1)经计算乙班学生的平均成绩为7.7分,中位数为7分.请计算甲班学生的平均成绩、中位数,并从平均数和中位数的角度分析哪个班的成绩较好.
(2)如果学校决定要组织6个人的代表队参加校级邀请赛,为了便于管理,决定依据本次比赛成绩,只在这两个班的其中一个班中挑选参赛选手,你认为应在哪个班选 请说明理由.
7.解:(1)由甲、乙两班参赛人数相等知,甲班为20人.得6分人数:20×25%=5(人),得7分人数:20×20%=4(人),得8分人数:20×35%=7(人),得9分人数:20×20%=4(人).甲班学生的平均成绩为(6×5+7×4+8×7+9×4)÷20=7.5(分),中位数为8分.
从平均数看,乙班成绩较好;从中位数看,甲班成绩较好.
(2)应在乙班选.
因为乙班有6人得9分,而甲班只有4人得9分,所以应在乙班选.
题型2 利用中位数、众数分析数据
8.在对全市初中生进行的体质健康测试中,青少年体质研究中心随机抽取的10名学生的坐位体前屈的成绩(单位:厘米)如下:
11.2,10.5,11.4,10.2,11.4,11.4,11.2,9.5,12.0,10.2
(1)通过计算,样本数据(10名学生的成绩)的平均数是10.9,中位数是________,众数是________;
(2)一名学生的成绩是11.3厘米,你认为他的成绩如何 说明理由.
(3)研究中心确定了一个标准成绩,等于或大于这个成绩的学生该项素质被评定为“优秀”等级,如果全市有一半左右的学生能够达到“优秀”等级,你认为标准成绩定为多少 说明理由.
8.解:(1)11.2;11.4
(2)他的成绩比一半以上学生的成绩好,理由如下:根据(1)中得到的样本数据的结论,可以估计在这次坐位体前屈的测试成绩中,全市大约有一半学生的成绩大于11.2厘米,有一半学生的成绩小于11.2厘米,这名学生的成绩是11.3厘米,大于中位数(11.2厘米),可以推测他的成绩比一半以上学生的成绩好(答案不唯一,合理即可).
(3)如果全市有一半左右的学生能够达到“优秀”等级,那么标准成绩应定为11.2厘米(中位数),因为从样本情况看,成绩在11.2厘米以上(含11.2厘米)的学生占总人数的一半左右,可以估计,如果标准成绩定为11.2厘米,全市将有一半左右的学生能够达到“优秀”等级.
拓展培优
拓展角度1利用平均数、中位数、众数分析数据
9.在喜迎“中国人民抗日战争胜利70周年暨世界反法西斯战争胜利70周年”，某校举办校园唱红歌比赛，选出10名同学担任评委，并事先拟定从如下四种方案中选择合理方案来确定演唱者的最后得分(每个评委打分最高10分)．
方案1：所有评委给分的平均分；
方案2：在所有评委中，去掉一个最高分和一个最低分，再计算剩余评委的平均分；
方案3：所有评委给分的中位数；
方案4：所有评委给分的众数．
为了探究上述方案的合理性，
先对某个同学的演唱成绩进行统计实验，下图是这个同学的得分统计图：
(1)分别按上述四种方案计算这个同学演唱的最后得分；
(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演唱的最后得分？
9.解析：本题关键是理解每种方案的计算方法：(1)方案1：平均数＝总分数÷10；方案2：平均数＝去掉一个最高分和一个最低分的总分数÷8.方案3：10个数据，中位数应是数据从小到大(或从大到小)排列的第5个和第6个数据的平均数；方案4：求出评委给分中，出现次数最多的分数．(2)考虑不受极值的影响，不能有两个得分等原因进行排除．
解：(1)方案1：最后得分为×(3.2＋7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4＋9.8)＝7.7；
方案2：最后得分为×(7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4)＝8；
方案3：最后得分为8；
方案4：最后得分为8和8.4；
(2)因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不适合作为这个同学演讲的最后得分，所以方案1不适合作为最后得分的方案．因为方案4中的众数有两个，众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案．
方法总结：给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．中位数的定义：将一组数据从小到大(或从大到小)依次排列，把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数．平均数＝总数÷个数．学会选用适当的统计量分析问题．
10.在一次中学生田径运动会上,根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩(单位:m),绘制出如下所示的统计图,请根据相关信息,解答下列问题:
(1)图①中a的值为_________;
(2)求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数;
(3)根据这组初赛成绩,由高到低确定9人进入复赛,请判断初赛成绩为1.65 m的运动员能否进入复赛.
10.解:(1)25
(2)观察条形统计图得=
=1.61(m),
∴这组数据的平均数为1.61 m.
∵在这组数据中,1.65 m出现了6次,出现的次数最多,
∴这组数据的众数是1.65 m.
将这组数据从小到大排列,其中处于中间的两个数都是1.60 m,
∴这组数据的中位数是1.60 m.
(3)∵共有20个人,中位数是第10,11个数的平均数,
∴根据中位数可以判断出能否进入前9名.
∵1.65 m>1.60 m,∴能进入复赛.
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第2课时 应用中位数、众数及平均数分析数据
夯基训练
知识点1 “三数”在统计数据中应用
1.赵老师是一名健步走运动的爱好者,她用手机软件记录了某个月(30天)每天健步走的步数(单位:万步),将记录结果绘制成了如图所示的统计图.在每天所走的步数这组数据中,众数和中位数分别是( )
A.1.2万步,1.3万步 B.1.4万步,1.3万步 C.1.4万步,1.35万步 D.1.3万步,1.3万步
2.某校为了了解八年级学生的身高情况(单位:cm,精确到1 cm),抽查了部分学生,将所得数据处理后分成七组(每组只含最低值,不含最高值),并制成了下列两个图表(部分):
分组 人数
一 140~145 6
二 145~150 12
三 150~155
四 155~160 26
五 160~165
六 165~170
七 170~175 4
根据以上信息可知,样本的中位数落在( )
A.第二组 B.第三组 C.第四组 D.第五组
3.有13位同学参加学校组织的才艺表演比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设7个获奖名额，某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是__________(填“众数”“中位数”或“平均数”)．
4.抽样调查了某班30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下(单位：码)．在这组数据的平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是( )
码号 33 34 35 36 37
人数 7 6 15 1 1
A.平均数 B．中位数 C．众数 D．无法确定
5.假期里小菲和小琳结伴去超市买水果，三次购买的草莓价格和数量如下表，从平均价格看，买得比较划算的是( )
价格/(元/kg) 12 10 8 合计/kg
小菲购买的数量/kg 2 2 2 6
小琳购买的数量/kg 1 2 3 6
A.一样划算 B．小菲划算 C．小琳划算 D．无法比较
知识点2 “三数”在分析数据中应用
6.某中学开展演讲比赛活动，九(1)、九(2)班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分为100分)如下图所示．
(1)根据上图填写下表：
平均分(分) 中位数(分) 众数(分)
九(1)班 85 85
九(2)班 85 80
(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；
(3)如果在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛，你认为哪个班的实力更强一些？说明理由．
题型总结
题型1 利用平均数、中位数分析数据
7.甲、乙两班参加“学数学用数学”知识竞赛,两班的参赛人数相等,比赛结束后,依据两班学生成绩绘制了统计表和统计图(如图).
乙班学生“学数学用数学”知识竞赛成绩统计表
分数 6分 7分 8分 9分
人数 1 10 3 6
(1)经计算乙班学生的平均成绩为7.7分,中位数为7分.请计算甲班学生的平均成绩、中位数,并从平均数和中位数的角度分析哪个班的成绩较好.
(2)如果学校决定要组织6个人的代表队参加校级邀请赛,为了便于管理,决定依据本次比赛成绩,只在这两个班的其中一个班中挑选参赛选手,你认为应在哪个班选 请说明理由.
题型2 利用中位数、众数分析数据
8.在对全市初中生进行的体质健康测试中,青少年体质研究中心随机抽取的10名学生的坐位体前屈的成绩(单位:厘米)如下:
11.2,10.5,11.4,10.2,11.4,11.4,11.2,9.5,12.0,10.2
(1)通过计算,样本数据(10名学生的成绩)的平均数是10.9,中位数是________,众数是________;
(2)一名学生的成绩是11.3厘米,你认为他的成绩如何 说明理由.
(3)研究中心确定了一个标准成绩,等于或大于这个成绩的学生该项素质被评定为“优秀”等级,如果全市有一半左右的学生能够达到“优秀”等级,你认为标准成绩定为多少 说明理由.
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拓展角度1利用平均数、中位数、众数分析数据
9.在喜迎“中国人民抗日战争胜利70周年暨世界反法西斯战争胜利70周年”，某校举办校园唱红歌比赛，选出10名同学担任评委，并事先拟定从如下四种方案中选择合理方案来确定演唱者的最后得分(每个评委打分最高10分)．
方案1：所有评委给分的平均分；
方案2：在所有评委中，去掉一个最高分和一个最低分，再计算剩余评委的平均分；
方案3：所有评委给分的中位数；
方案4：所有评委给分的众数．
为了探究上述方案的合理性，
先对某个同学的演唱成绩进行统计实验，下图是这个同学的得分统计图：
(1)分别按上述四种方案计算这个同学演唱的最后得分；
(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演唱的最后得分？
10.在一次中学生田径运动会上,根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩(单位:m),绘制出如下所示的统计图,请根据相关信息,解答下列问题:
(1)图①中a的值为_________;
(2)求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数;
(3)根据这组初赛成绩,由高到低确定9人进入复赛,请判断初赛成绩为1.65 m的运动员能否进入复赛.
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