课时训练4 二项式定理
一、选择题
1.·2n+·2n-1+…+·2n-k+…+等于( ).
A.2n B.2n-1 C.3n D.1
答案:C
解析:原式=(2+1)n=3n.
2.(1-i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第7项为( ).
A.-210 B.210 C.-120i D.-210i
答案:A
解析:由通项公式得T7=·(-i)6=-=-210.
3.展开式中x3的系数为10,则a的值等于( ).
A.-1 B. C.1 D.2
答案:D
解析:展开式的通项公式Tr+1=·x5-r·=ar·x5-2r,
令5-2r=3,则r=1.
∵x3的系数为10,∴a=10.∴a=2.
4.(2012安徽高考)(x2+2)的展开式的常数项是( ).
A.-3 B.-2 C.2 D.3
答案:D
解析:的通项为Tr+1=(-1)r=(-1)r.要使(x2+2)的展开式为常数,须令10-2r=2或0,此时r=4或5.故(x2+2)·的展开式的常数项是(-1)4×+2×(-1)5×=3.
5.若x+x2+…+xn能被7整除,则x,n的值可能为( ).
A.x=5,n=5 B.x=5,n=4
C.x=4,n=4 D.x=4,n=3
答案:B
解析:x+x2+…+xn=(1+x)n-1,检验得B正确.
6.(2014内蒙古鄂尔多斯高三下学期模拟考试)在的展开式中x3的系数等于-5,则该展开式各项的系数中最大值为( ).
A.5 B.10 C.15 D.20
答案:B
解析:展开式的通项为Tr+1=x5-r=(-a)rx5-2r,令5-2r=3,则r=1,所以-a×5=-5,即a=1,故系数最大值应该为=10,故选B.
7.(2014四川高考)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为( ).
A.30 B.20 C.15 D.10
答案:C
解析:含x3的项是由(1+x)6展开式中含x2的项与x相乘得到,又(1+x)6展开式中含x2的项的系数为=15,
故含x3项的系数是15.
二、填空题
8.(2014广东梅州高三3月总复习质检)(2x-1)5的展开式x3项的系数是 .(用数字作答)?
答案:80
解析:根据二项式定理可得(2x-1)5的第n+1项展开式为(2x)n(-1)5-n,则n=3时,得到展开式x3项为(2x)3(-1)2=80x3,所以系数为80.
9.(2012浙江高考)若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3= .?
答案:10
解析:由x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5可得,
可解得
10.(2014课标全国Ⅰ高考)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为 .(用数字填写答案)?
答案:-20
解析:(x+y)8的通项公式为Tr+1=x8-ryr(r=0,1,…,8,r∈Z).
当r=7时,T8=xy7=8xy7,当r=6时,T7=x2y6=28x2y6,
所以(x-y)(x+y)8的展开式中含x2y7的项为x·8xy7-y·28x2y6=-20x2y7,故系数为-20.
三、解答题
11.利用(a+b)n的二项展开式解题.
(1)求二项式(a+2b)4的展开式;
(2)展开.
解:(1)根据二项式定理(a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn,得(a+2b)4=a4+a3(2b)+a2(2b)2+a(2b)3+(2b)4
=a4+8a3b+24a2b2+32ab3+16b4.
(2)(2x)5+(2x)4·(2x)3(2x)2(2x)
=32x5-120x2+.
12.(2014重庆一中高二下学期期中考试)在(3-x)20(x∈R,x≠0)的展开式中,已知第2r项与第r+1项(r≠1)的二项式系数相等.
(1)求r的值;
(2)若该展开式的第r项的值与倒数第r项的值的相等,求x的值.
解:(1)由题意知,
即2r-1=r或2r-1=20-r,解得r=7或r=1(舍去).
故r的值为7.
(2)Tr=·321-r·(-x)r-1,
当r=7时,T7=·314·x6,
倒数第7项,即T15=·36·x14,
由题意·314·x6=··36·x14,
解得x=±6.
13.已知在的展开式中,第6项为常数项.
(1)求n;
(2)求含x2的项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
解:(1)通项公式为
Tk+1=(-3)k(-3)k.
∵第6项为常数项,
∴k=5时有=0,即n=10.
(2)令=2,得k=(n-6)=2,
因此所求的系数为(-3)2=405.
(3)根据通项公式,
由题意得
令=r(r∈Z),
则10-2k=3r,即k=5-r.
∵k∈Z,∴r应为偶数.
于是r可取2,0,-2,即k可取2,5,8.
故第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为(-3)2x2,(-3)5,(-3)8x-2.
课件27张PPT。目标导航预习导引目标导航预习导引目标导航预习导引目标导航预习导引问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测1 2 3 4 5问题导学当堂检测1 2 3 4 51 2 3 4 5问题导学当堂检测1 2 3 4 5问题导学当堂检测1 2 3 4 5问题导学当堂检测课时训练5 “杨辉三角”与二项式系数的性质
一、选择题
1.(1-x)13的展开式中系数最小的项为( ).
A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项
答案:C
解析:展开式中共有14项,中间两项(第7,8项)的二项式系数最大.
由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足:奇数项相等,偶数项互为相反数.
故系数最小的项为第8项,系数最大的项为第7项.
2.(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n的展开式的各项系数和是( ).
A.2n+1 B.2n+1+1
C.2n+1-1 D.2n+1-2
答案:D
解析:令x=1,可知其各项系数和为2+22+…+2n=2n+1-2.
3.展开式中只有第6项二项式系数最大,则展开式中的常数项是( ).
A.180 B.90 C.45 D.360
答案:A
解析:因为的展开式中只有第6项二项式系数最大,所以n=10,则由Tr+1=)10-r·2r,令=0,解得r=2,所以展开式中的常数项是·22=180,故选A.
4.(2-)8展开式中不含x4项的系数的和为( ).
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案:B
解析:令x=1,得展开式中各项系数之和为(2-)8=1,由Tr+1=·28-r()r,令r=8,得T9=·20x4=x4,其系数为1,
故展开式中不含x4的项的系数和为1-1=0.
5.已知展开式中的第10项是常数项,则展开式中系数最大的项是( ).
A.第19项 B.第17项
C.第17项或第19项 D.第18项或第19项
答案:A
解析:T10=)n-9·,由T10为常数项,得-9=0,所以n=36,故第19项系数最大.
6.已知(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=( ).
A.1 B.-1 C.36 D.26
答案:C
解析:由已知展开式中a0,a2,a4,a6大于零,a1,a3,a5小于零.
令x=1,得a0+a1+a2+…+a6=1,①
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36,②
则①+②得a0+a2+a4+a6=,
①-②得a1+a3+a5=,
故|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|==36.
二、填空题
7.(2014安徽高考)设a≠0,n是大于1的自然数,的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a= .?
答案:3
解析:由题意得a1=·=3,
∴n=3a;
a2==4,
∴n2-n=8a2.
将n=3a代入n2-n=8a2得9a2-3a=8a2,即a2-3a=0,解得a=3或a=0(舍去).∴a=3.
8.如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第 行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.?
答案:34
解析:由题可设第n行的第14个与第15个数的比为2∶3,
故二项展开式的第14项和第15项的系数比为2∶3,
即=2∶3,
所以=2∶3,
故,即n=34.
三、解答题
9.已知(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式的系数最大的项等于54,求a的值.
解:由,得Tr+1=··,令Tr+1为常数项,则20-5r=0,
所以r=4,常数项T5==16.
又(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于2n,由此得到2n=16,n=4.
所以(a2+1)4展开式中系数最大项是中间项T3=a4=54.
所以a=±.
10.(2014河北邢台一中高二月考)
(1)求的展开式中的常数项;
(2)已知x10=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a10(x+2)10,求a1+a2+a3+…+a10的值.
解:(1)展开式通项为Tr+1=(r=0,1,2,…,9).由r-9=0,可得r=6.
因此展开式的常数项为第7项
T6+1=.
(2)恒等式中赋值,分别令x=-2与x=-1,得到
②-①得a1+a3+…+a10=1-210=-1 023.
故a1+a2+…+a10的值为-1 023.
11.求证:(1)+2+…+n=n·2n-1;
(2)+…+(2n+1-1).
证明:(1)∵k=k·=n·=n,
∴左边=n+n+…+n
=n(+…+)=n·2n-1=右边.
(2)∵·
=·
=.
∴左边=+…+.
=+…+)
=(2n+1-1)=右边.
12.已知在的展开式中,只有第6项的二项式系数最大.
(1)求n;
(2)求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项.
解:(1)∵展开式中只有第6项的二项式系数最大,
∴n是偶数,第6项即为中间项.
∵它前边5项,后边5项,共有11项,
∴+1=6,得n=10.
(2)展开式的通项是Tr+1=(-1)r·2-r·,
系数的绝对值是·2-r,若它最大,
则≤r≤.
∵r∈N*,∴r=3.
因此系数绝对值最大的项是第4项,
即-·2-3·=-15.
系数最大的项应在项数为奇数的项之内,即r取偶数0,2,4,6,8时,各项系数分别为=1,·2-2=·2-4=·2-6=·2-8=,
故系数最大的项是第5项,即.
13.在杨辉三角中,每一个数值是它左上角和右上角两个数值之和,三角形开头几行如下:
(1)利用杨辉三角展开(1-x)6;
(2)求0.9986的近似值,使误差小于0.001;
(3)在杨辉三角中的哪一行会出现相邻的数,它们的比是3∶4∶5?
解:(1)由杨辉三角知,第6行二项式系数为1,6,15,20,15,6,1.
所以(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6.
令其中a=1,b=-x,得(1-x)6=1-6x+15x2-20x3+15x4-6x5+x6.
(2)0.9986=(1-0.002)6=1-6×0.002+15×0.0022+…+0.0026≈1-6×0.002=0.988.
(3)设在第n行出现,并设相邻的三个数分别是
,那么有
故
即
故解得n=62,k=27,即第62行,此时=3∶4∶5.
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