课时训练8 条件概率
一、选择题
1.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)=( ).
A. B. C. D.
答案:C
解析:∵P(B|A)=,
∴P(AB)=P(B|A)·P(A)=.
2.某种电子元件用满3 000 h不坏的概率为,用满8 000 h不坏的概率为.现有一个此种电子元件,已经用满3 000 h不坏,还能用满8 000 h不坏的概率是( ).
A. B. C. D.
答案:B
解析:记事件A为“用满3 000 h不坏”,则P(A)=;
记事件B为“用满8 000 h不坏”,则P(B)=.
因为B?A,所以P(AB)=P(B)=,
则P(B|A)=.
3.将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A为两个点数都不相同,事件B为两个点数和是7或8,则P(B|A)=( ).
A. B. C. D.
答案:A
解析:由已知n(A)=30,n(AB)=10,
∴P(B|A)=.
4.投掷红、蓝两个骰子,设事件A为“红骰子出现4点”,事件B为“蓝骰子出现的点数是偶数”,则P(A|B)=( ).
A. B. C. D.
答案:A
解析:∵A,B相互独立,∴P(AB)=P(A)P(B).
P(A|B)==P(A)=.
5.甲、乙两班共有70名同学,其中女同学40名,设甲班有30名同学,而女同学有15名,则在碰到甲班同学时正好碰到一名女同学的概率为( ).
A. B. C. D.
答案:A
解析:设“碰到甲班同学”为事件A,“碰到女同学”为事件B,则P(A)=,P(AB)=,所以P(B|A)=.
6.(2014课标全国Ⅱ高考)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( ).
A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45
答案:A
解析:设某天空气质量为优良为事件A,随后一天空气质量为优良为事件B,由已知得P(A)=0.75,P(AB)=0.6,所求事件的概率为P(B|A)==0.8,故选A.
二、填空题
7.设A,B为两个事件,若事件A和B同时发生的概率为,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为,则事件A发生的概率为 .?
答案:
解析:由已知P(AB)=,P(B|A)=,
故P(A)=.
8.分别用集合M={2,4,5,6,7,8,11,12}中的任意两个元素作分子与分母构成真分数,已知取出的一个元素是12,则取出的另一个元素与之构成可约分数的概率是 .?
答案:
解析:设“取出的两个元素中有一个是12”为事件A,“取出的两个元素构成可约分数”为事件B.则n(A)=7,n(AB)=4,所以P(B|A)=.
9.6位同学参加百米短跑比赛,赛场共有6条跑道,已知甲同学排在第一跑道,则乙同学排在第二跑道的概率是 .?
答案:
解析:甲排在第一道记为A,乙排在第二道记为B.
则P(A)=,P(AB)=.
故P(B|A)=.
三、解答题
10.一只口袋内装有2个白球和2个黑球,那么
(1)先摸出1个白球不放回,再摸出1个白球的概率是多少?
(2)先摸出1个白球后放回,再摸出1个白球的概率是多少?
解:(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A,“再摸出1个白球”为事件B,则“先后两次摸到白球”为事件AB,先摸出一球不放回,再摸出一球共有4×3种结果.
∵P(A)=,P(AB)=,
∴P(B|A)=.
∴先摸出一个白球不放回,再摸出一个白球的概率为.
(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1,“再摸出1个白球”为事件B1,则“两次都摸到白球”为事件A1B1.
∵P(A1)=,P(A1B1)=,
∴P(B1|A1)=.
∴先摸出1个白球后放回,再摸出1个白球的概率为.
11.现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,求:
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率;
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率;
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率.
解:设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A,“第2次抽到舞蹈节目”为事件B,则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)==30,
根据分步计数原理n(A)==20,
于是P(A)=.
(2)因为n(AB)==12,
于是P(AB)=.
(3)方法一:由(1)(2)可得,在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)=.
方法二:因为n(AB)=12,n(A)=20,
所以P(B|A)=.
12.某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者.把符合条件的1 000名志愿者按年龄分组:第1组[20,25)、第2组[25,30)、第3组[30,35)、第4组[35,40)、第5组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示:
(1)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取12名志愿者参加广场的宣传活动,应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者?
(2)在(1)的条件下,该市决定在这12名志愿者中随机抽取3名志愿者介绍宣传经验,求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率;
(3)在(2)的条件下,若ξ表示抽出的3名志愿者中第3组的人数,求ξ的分布列.
解:(1)由题意可知,第3组的人数为0.06×5×1 000=300,
第4组的人数为0.04×5×1 000=200,
第5组的人数为0.02×5×1 000=100,
第3,4,5组共有600名志愿者.
所以利用分层抽样在600名志愿者中抽取12名志愿者,每组抽取的人数为
第3组:×300=6;
第4组:×200=4;
第5组:×100=2.
所以应从第3,4,5组分别抽取6人、4人、2人.
(2)从12名志愿者中抽取3名共有=220种可能,第4组至少有一位志愿者被抽中有=164种可能,
所以第4组至少有一位志愿者被抽中的概率为P=.
(3)ξ的可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
课件23张PPT。目标导航预习导引目标导航预习导引目标导航预习导引xx问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测x问题导学当堂检测xxxx问题导学当堂检测xxx问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测x问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测1 2 3 4 5xx问题导学当堂检测1 2 3 4 5xx1 2 3 4 5问题导学当堂检测xx1 2 3 4 5问题导学当堂检测xx1 2 3 4 5问题导学当堂检测x课时训练9 事件的相互独立性
一、选择题
1.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是p1,乙解决这个问题的概率是p2,那么恰好有1人解决这个问题的概率是( ).
A.p1p2 B.p1(1-p2)+p2(1-p1)
C.1-p1p2 D.1-(1-p1)(1-p2)
答案:B
解析:甲解决问题而乙没有解决问题的概率是p1(1-p2),乙解决问题而甲没有解决问题的概率是p2(1-p1).故恰有1人解决问题的概率是p1(1-p2)+p2(1-p1).
2.从甲袋中摸出1个红球的概率为,从乙袋中摸出1个红球的概率为,从两袋中各摸出1个球,则等于( ).
A.2个球不都是红球的概率
B.2个球都是红球的概率
C.至少有1个红球的概率
D.2个球中恰有1个红球的概率
答案:C
解析:从甲、乙两袋中摸出红球分别记为事件A,B,则P(A)=,P(B)=,至少有1个红球的概率P=1-P()=1-.
3.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A,B中至少有一件发生的概率是( ).
A. B. C. D.
答案:C
解析:依题意得P(A)=,P(B)=,事件A,B中至少有一件发生的概率为
1-P()=1-P()P()
=1-=1-.
4.(2014广东梅州重点中学高一上学期质检)同时抛两枚硬币,则一枚朝上一枚朝下的事件发生的概率是( )
A. B. C. D.
答案:A
解析:分两种情况:可能第一枚朝上第二枚朝下,也可能第一枚朝下第二枚朝上.朝上时概率为,朝下时概率为1-.故所求概率为P=.
5.如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( ).
A. B. C. D.
答案:A
解析:左边转盘指针落在奇数区域的概率为,右边转盘指针落在奇数区域的概率为,故两个指针同时落在奇数区域的概率为.
6.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( ).
A. B. C. D.
答案:D
解析:由甲、乙两队每局获胜的概率相同,知甲每局获胜的概率为,甲要获得冠军有两种情况:第一种情况是再打一局甲赢,甲获胜概率为;第二种情况是再打两局,第一局甲输,第二局甲赢.则其概率为.故甲获得冠军的概率为.
7.(2013河北石家庄模拟)甲、乙两人各射击一次,如果两人击中目标的概率都是0.6,则其中恰有1人击中目标的概率是( ).
A.0.48 B.0.24 C.0.36 D.0.16
答案:A
解析:设A表示:“甲击中目标”,B表示:“乙击中目标”,则A,B相互独立.
从而“两人中恰有1人击中目标”可以表示为AB.因为AB互斥,
所以P(AB)=P(A)+P(B)
=P(A)P()+P()P(B)
=0.6×(1-0.6)+(1-0.6)×0.6=0.48.
二、填空题
8.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 .?
答案:
解析:记两个零件中恰有一个一等品的事件为A,则P(A)=.
9.有2个人从一座7层大楼的底层进入电梯,假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的,则这2个人在不同层离开的概率为 .?
答案:
解析:因为每个人自第二层开始在每一层离开电梯都是等可能的,所以每个人自第二层开始在每一层离开电梯的概率都是,根据相互独立事件的概率乘法公式可得这2个人在不同层离开的概率为.
10.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜”,即以先赢2局者为胜,根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.6,则本次比赛中甲获胜的概率是 .?
答案:0.648
解析:“每局比赛中甲获胜”记为事件A,则P(A)=0.6,P()=0.4,“本次比赛中甲获胜”为事件AA+AA+AA,所以“本次比赛中甲获胜”的概率为P=0.6×0.6+0.6×0.6×0.4×2=0.648.
三、解答题
11.某班甲、乙、丙三名同学竞选班委,甲当选的概率为,乙当选的概率为,丙当选的概率为.
(1)求恰有一名同学当选的概率;
(2)求至多两人当选的概率.
解:设甲、乙、丙当选的事件分别为A,B和C,
则有P(A)=,P(B)=,P(C)=.
(1)因为事件A,B,C相互独立,恰有一名同学当选的概率为P(A)+P()+P(C)=P(A)·P()P()+P()P(B)P()+P()P()P(C)=.
(2)至多有两人当选的概率为1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)=1-.
12.甲、乙两人进行射击比赛,在一轮比赛中,甲、乙各射击一次,根据以往资料知,甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.6,0.3,0.1,乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.4,0.4,0.2.设甲、乙的射击相互独立.求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数的概率.
解:记A1,A2分别表示甲击中9环,10环,B1,B2分别表示乙击中8环,9环,
A表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数,
A=A1B1+A2B1+A2B2,
P(A)=P(A1B1+A2B1+A2B2)
=P(A1B1)+P(A2B1)+P(A2B2)
=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B2)
=0.3×0.4+0.1×0.4+0.1×0.4
=0.2
13.(2014湖北部分重点中学高三第一次联考理科)已知某音响设备由五个部件组成,A电视机,B影碟机,C线路,D左声道和E右声道,其中每个部件工作的概率如图所示,能听到声音,当且仅当A与B中有一个工作,C工作,D与E中有一个工作;且若D和E同时工作则有立体声效果.
(1)求能听到立体声效果的概率;
(2)求听不到声音的概率.(结果精确到0.01)
解:(1)因为A与B中都不工作的概率为(1-0.9)(1-0.8),
所以能听到立体声效果的概率为[1-(1-0.9)(1-0.8)]×0.95×0.8×0.7≈0.52.
(2)当A,B都不工作,或C不工作,或D,E都不工作时,就听不到音响设备的声音.
其否定是:A,B至少有1个工作,且C工作,且D,E中至少有一个工作.
所以,听不到声音的概率为1-[1-(1-0.9)(1-0.8)]×0.95×[1-(1-0.8)(1-0.7)]≈0.12.
课件32张PPT。目标导航预习导引目标导航预习导引目标导航预习导引x目标导航预习导引x问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测x问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测1 2 3 4 5xx问题导学当堂检测1 2 3 4 5xx1 2 3 4 5问题导学当堂检测xx1 2 3 4 5问题导学当堂检测xx1 2 3 4 5问题导学当堂检测x课时训练10 独立重复试验与二项分布
一、选择题
1.某学生通过英语听力测试的概率为,他连续测试3次,那么其中恰有1次获得通过的概率是( ).
A. B. C. D.
答案:A
解析:记“恰有1次获得通过”为事件A,则P(A)=.
2.袋子里装有5张卡片,用1,2,3,4,5编号,从中抽取3次,每次抽出一张且抽后放回,则3次中恰有2次抽得奇数编号的卡片的概率为( ).
A.0.234 B.0.432 C.0.5 D.0.02
答案:B
解析:有放回地抽取,可看作独立重复试验,取得奇数编号的概率为P=,3次中恰有2次抽得奇数编号的卡片的概率为=0.432.
3.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,甲队与乙队实力之比为3∶2,比赛时均能正常发挥技术水平,则在5局3胜制中,甲打完4局才胜的概率为( ).
A. B.
C. D.
答案:A
解析:由题意知第4局甲胜,前3局中甲胜2局,故第4局甲才胜的概率为.
4.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率的取值范围是( ).
A.(0,0.4) B.(0,0.6] C.[0.4,1) D.[0.6,1)
答案:C
解析:根据题意,p(1-p)3≤p2(1-p)2,解得p≥0.4.∵0
5.甲、乙两人进行羽毛球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为,则甲以3∶1的比分获胜的概率为( ).
A. B. C. D.
答案:A
解析:当甲以3∶1的比分获胜时,说明甲乙两人在前三场比赛中,甲只赢了两局,乙赢了一局,第四局甲赢,所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P==3×,故选A.
6.若随机变量ξ~B,则P(ξ=k)最大时,k的值为( ).
A.5 B.1或2 C.2或3 D.3或4
答案:B
解析:依题意P(ξ=k)=,k=0,1,2,3,4,5.
可以求得P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=,P(ξ=5)=.
故当k=2或1时P(ξ=k)最大.
7.某射手有5发子弹,射击一次,命中的概率为0.9,如果命中就停止射击,否则一直到子弹用尽,则所用子弹数X的分布列为( ).
A.
X
1
2
3
4
5
P
0.9
0.09
0.009
0.000 9
0.000 1
B.
X
1
2
3
4
5
P
0.9
0.009
0.09
0.000 9
0.000 1
C.
X
1
2
3
4
5
P
0.9
0.09
0.009
0.000 1
0.000 9
D.
X
1
2
3
4
5
P
0.09
0.9
0.009
0.000 9
0.000 1
答案:A
解析:X的取值有1,2,3,4,5.
当X=1时,即第一枪就命中,故P(X=1)=0.9;
当X=2时,即第一枪未中,第二枪命中,故P(X=2)=0.1×0.9=0.09;
同理,P(X=3)=0.12×0.9=0.009;
P(X=4)=0.13×0.9=0.000 9;
P(X=5)=0.14=0.000 1.
则所用子弹数X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
0.9
0.09
0.009
0.000 9
0.000 1
二、填空题
8.若血色素化验的准确率为p,则在10次化验中,有两次不准的概率为 .?
答案:45(1-p)2p8
解析:由题意知,血色素化验的准确率为p,则不准确的概率为1-p,由独立重复试验的概率公式得(1-p)2p8=45(1-p)2p8.
9.在等差数列{an}中,a4=2,a7=-4.现从{an}的前10项中随机取数,每次取出一个数,取后放回,连续抽取3次,假定每次取数互不影响,那么在这三次取数中,取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为 .(用数字作答)?
答案:
解析:由已知可求通项公式为an=10-2n(n=1,2,3,…),其中a1,a2,a3,a4为正数,a5=0,a6,a7,a8,a9,a10为负数,故从中取一个数为正数的概率为,取得负数的概率为.三次取数相当于三次独立重复试验.
故取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为··.
10.(2014河北邢台一中高二月考)箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球,从箱中一次摸出两个球,记下号码并放回,如果两球号码之积是4的倍数,则获奖.现有4人参与摸奖,恰好有3人获奖的概率是 .?
答案:
解析:由题意知,首先求出摸一次中奖的概率,从6个球中摸出2个,共有=15种结果,两个球的号码之积是4的倍数,共有(1,4),(3,4),(2,4),(2,6),(4,5),(4,6)6种,故摸一次中奖的概率是.4个人摸奖,相当于发生4次试验,且每一次发生的概率是,故有4人参与摸奖,恰好有3人获奖的概率是.
三、解答题
11.某校的有关研究性学习小组进行一种验证性试验,已知该种试验每次成功的概率为.
(1)求他们做了5次这种试验至少有2次成功的概率;
(2)如果在若干次试验中,累计有两次成功就停止试验,求该小组做了5次试验就停止试验的概率.
解:(1)设5次试验中,只成功一次为事件A,一次都不成功为事件B,至少2次成功为事件C,
则P(C)=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)
=1-.
所以5次试验至少2次成功的概率为.
(2)该小组做了5次试验,所以前4次有且只有一次成功,且第5次成功.
设该事件为D,则P(D)=.
所以做了5次试验就停止的概率为.
12.甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是,假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
(1)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;
(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;
(3)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击,问:乙恰好射击5次后被终止射击的概率是多少?
解:设“甲、乙两人各射击一次击中目标分别记为A,B”,则P(A)=,P(B)=.
(1)甲射击4次,全击中目标的概率为
P4(A)[1-P(A)]0=.
所以甲射击4次至少1次未击中目标的概率为
1-.
(2)甲、乙各射击4次,甲恰好击中2次的概率为
P2(A)·[1-P(A)]2=6×.
乙恰好击中3次的概率为
P3(B)·[1-P(B)]1=.
故所求的概率为.
(3)乙射击5次后,中止射击,第3次击中,第4,5次不中,而第1,2次至少1次击中目标,
所以终止的概率为.
13.(2014河北邢台一中高二月考)“蛟龙号”从海底中带回了某种生物,甲、乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究,每次试验一个生物,甲组能使生物成活的概率为,乙组能使生物成活的概率为,假定试验后生物成活,则称该试验成功,如果生物不成活,则称该次试验是失败的.
(1)甲小组做了3次试验,求至少2次试验成功的概率;
(2)如果乙小组成功了4次才停止试验,求乙小组第4次成功前共有3次失败,且恰有2次连续失败的概率;
(3)若甲、乙两小组各进行2次试验,设试验成功的总次数为ξ,求ξ的分布列.
解:(1)甲小组做了3次实验,至少2次试验成功的概率
为P(A)=.
(2)根据乙小组在第4次成功前共有3次失败,可知乙小组在第4次成功前共进行了6次试验,其中3次成功3次失败,且恰有2次连续失败,所以各种可能的情况数为=12种.故所求的概率为P(B)=12×.
(3)由题意ξ的取值为0,1,2,3,4,
P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,
P(ξ=3)=,
P(ξ=4)=.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
课件35张PPT。目标导航预习导引目标导航预习导引目标导航预习导引目标导航预习导引xx问题导学当堂检测x问题导学当堂检测x问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测问题导学当堂检测x问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测1 2 3 4 5xx问题导学当堂检测1 2 3 4 5xx1 2 3 4 5问题导学当堂检测xx1 2 3 4 5问题导学当堂检测xx1 2 3 4 5问题导学当堂检测1 2 3 4 5问题导学当堂检测1 2 3 4 5问题导学当堂检测