课时训练11 离散型随机变量的均值
一、选择题
1.随机抛掷一枚骰子,则所得骰子点数ξ的数学期望是( ).
A.0.6 B.1 C.3.5 D.2
答案:C
解析:由已知可得ξ的分布列为P(ξ=k)=(k=1,2,3,4,5,6),
故E(ξ)=1×+2×+3×+4×+5×+6×=21×=3.5.
2.已知离散型随机变量ξ的分布列如下:
ξ
0
1
2
P
0.3
3k
4k
随机变量η=2ξ+1,则η的数学期望为( ).
A.1.1 B.3.2 C.11k D.22k
答案:B
解析:由0.3+3k+4k=1,得k=0.1,
故E(ξ)=0×0.3+1×0.3+2×0.4=1.1,
E(η)=2E(ξ)+1=2×1.1+1=3.2.
3.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为( ).
A.100 B.200 C.300 D.400
答案:B
解析:1 000粒种子的发芽数记为随机变量η,则η服从二项分布,记η~B(1 000,0.9).
则E(η)=1 000×0.9=900.
∵发芽种子数的数学期望为900.
∴补种数的数学期望为2×(1 000-900)=200.
4.设随机变量X的分布列如下表:
X
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
且E(ξ)=1.6,则a-b=( ).
A.-0.2 B.-0.4 C.0.1 D.0.2
答案:A
解析:根据题意,有
解得所以a-b=-0.2.
5.设10件产品中含有3件次品,从中抽取2件进行检查,则查得次品数的数学期望为( ).
A. B. C. D.
答案:B
解析:用ξ表示抽取2件产品的次品件数,则ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
故E(ξ)=0×+1×+2×.
6.已知随机变量X的分布列如下表所示:
X
-1
0
1
2
P
则E(X2)的值是( ).
A. B. C. D.
答案:C
解析:随机变量X2的分布列如下:
X2
0
1
4
P
E(X2)=0×+1×+4×.
7.(2014上海交大附中高三月考)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X,则X的均值E(X)=( ).
A. B.
C. D.
答案:B
解析:由题意知X可能的取值为0,1,2,3,
故有P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=0×+1×+2×+3×.
二、填空题
8.同时抛掷两颗骰子,至少有一个3点或6点出现时,就说这次试验成功,则在9次试验中,成功次数ξ的数学期望是 .?
答案:5
解析:由已知同时抛掷两颗骰子一次,至少有一个3点或6点出现时的概率为P=,
故9次试验相当于独立重复试验9次,则成功次数ξ服从二项分布,且ξ~B.
因此E(ξ)=9×=5.
9.(2014上海静安、杨浦、青浦、宝山四区高考模拟)从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动,若随机变量ξ表示所选3人中女志愿者的人数,则ξ的数学期望是 .?
答案:
解析:由8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动共有=56种情况.所以P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=.
所以ξ的数学期望是E(ξ)=×2+×3=.
10.节日期间,某种鲜花的进价是每束2.5元,售价是每束5元,节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理.根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表),若进这种鲜花500束在今年节日期间销售,则利润的均值是 元.?
ξ
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
答案:706
解析:节日期间这种鲜花需求量的均值为E(ξ)=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340(束).
设利润为η,则η=5ξ+1.6×(500-ξ)-500×2.5
=3.4ξ-450,
所以E(η)=3.4E(ξ)-450=3.4×340-450=706(元).
三、解答题
11.(2014安徽高考)甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.
(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;
(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望).
解:用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”,则P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5.
(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)
=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)·P(B2)P(A3)P(A4)
=.
(2)X的可能取值为2,3,4,5.
P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=,
P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)
=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=,
P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)
=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)·P(B4)=,
P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=.
故X的分布列为
X
2
3
4
5
P
E(X)=2×+3×+4×+5×.
12.(2014湖南高考)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.
分析:在第(1)问中,考虑到欲求概率的事件包含的互斥事件较多,因此可先求其对立事件的概率,再根据互为对立事件的概率之和为1,求得原事件的概率.在第(2)问中,先列出该企业所获利润的所有可能的取值,然后用相互独立事件的概率公式求出各个概率值,列出表格即得分布列,最后利用数学期望的定义求得期望值.
解:记E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功}.由题设知
P(E)=,P()=,P(F)=,P()=,
且事件E与F,E与与F,都相互独立.
(1)记H={至少有一种新产品研发成功},则,于是P()=P()P()=,
故所求的概率为P(H)=1-P()=1-.
(2)设企业可获利润为X(万元),则X的可能取值为0,100,120,220.
因P(X=0)=P()=,
P(X=100)=P(F)=,
P(X=120)=P(E)=,
P(X=220)=P(EF)=,
故所求的分布列为
X
0
100
120
220
P
数学期望为E(X)=0×+100×+120×+220×=140.
13.(2014山东日照一中高三开学考试)计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分进行,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考试都“合格”者,则计算机考试“合格”并颁发合格证书,甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为,在实际操作考试中“合格”的概率依次为,所有考试是否合格相互之间没有影响.
(1)假设甲、乙、丙3人同时进行理论与实际操作两项考试,谁获得合格证书的可能性大?
(2)求这3人进行理论与实际操作两项考试后,恰有2人获得合格证书的概率;
(3)用X表示甲、乙、丙3人计算机考试获合格证书的人数,求X的分布列和数学期望EX.
解:(1)记“甲获得合格证书”为事件A,“乙获得合格证书”为事件B,“丙获得合格证书”为事件C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=
.
因P(C)>P(B)>P(A),所以丙获得合格证书的可能性大.
(2)设“3 人考试后恰有2人获得合格证书”为事件D,则P(D)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=.
故恰有2人获得合格证书的概率为.
(3)X的可能取值为0,1,2,3,
且P(X=0)=,
由(2)知P(X=2)=P(D)=,
P(X=3)=,
P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)-P(X=3)=1-.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×.
课件43张PPT。目标导航预习导引目标导航预习导引目标导航预习导引x目标导航预习导引xx目标导航预习导引问题导学当堂检测x问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测x问题导学当堂检测x问题导学当堂检测x问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测1 2 3 4 5xx问题导学当堂检测1 2 3 4 5xx1 2 3 4 5问题导学当堂检测xx1 2 3 4 5问题导学当堂检测xx1 2 3 4 5问题导学当堂检测1 2 3 4 5问题导学当堂检测课时训练12 离散型随机变量的方差
一、选择题
1.设随机变量ξ~B(n,p),且E(ξ)=1.6,D(ξ)=1.28,则( ).
A.n=8,p=0.2 B.n=4,p=0.4
C.n=5,p=0.32 D.n=7,p=0.45
答案:A
解析:由已知
解得
2.设随机变量X的分布列为P(X=k)=pk(1-p)1-k(k=0,1,0
A.0和1 B.p和p2
C.p和1-p D.p和(1-p)p
答案:D
解析:由分布列的表达式知随机变量X服从两点分布,所以E(X)=p,D(X)=(1-p)p.
3.已知ξ的分布列为
X
-1
0
1
P
若η=2ξ+2,则D(η)的值为( ).
A.- B. C. D.
答案:D
解析:E(ξ)=-1×+0×+1×=-,D(ξ)=,D(η)=D(2ξ+2)=4D(ξ)=.
4.(2014湖北部分重点中学高二上学期期末考试)若X是离散型随机变量,P(x=x1)=,P(x=x2)=,且x1A. B. C.3 D.
答案:C
解析:本题考查期望与方差的公式,利用期望及方差的公式,建立方程,即可求得结论.
5.已知随机变量ξ,η满足ξ+η=8,且ξ服从二项分布ξ~B(10,0.6),则E(η)和D(η)的值分别是( ).
A.6和2.4 B.2和2.4
C.2和5.6 D.6和5.6
答案:B
解析:由已知E(ξ)=10×0.6=6,D(ξ)=10×0.6×0.4=2.4.
∵ξ+η=8,∴η=8-ξ.
∴E(η)=-E(ξ)+8=2,D(ξ)=(-1)2D(ξ)=2.4.
6.已知A1,A2为两所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为,该同学一旦通过某所高校的考试,就不再参加其他高校的考试,设该同学通过高校的个数为随机变量X,则D(X)=( ).
A. B. C. D.
答案:A
解析:由已知X的取值可能为0,1.
P(X=0)=,
P(X=1)=,
∴E(X)=0×+1×,
D(X)=.
二、填空题
7.(2014浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2,若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则D(ξ)= .?
答案:
解析:设ξ=1时的概率为p,则E(ξ)=0×+1×p+2=1,解得p=.
故D(ξ)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×.
8.随机变量ξ的分布列如下:
ξ
-1
0
1
P
a
b
c
其中a,b,c成等差数列.若E(ξ)=,则D(ξ)的值是 .?
答案:
解析:根据已知条件,得
解得b=,a=,c=,
∴D(ξ)=.
三、解答题
9.设在12个同类型的零件中有2个次品,抽取3次进行检验,每次抽取1个,并且取出不再放回,若以ξ表示取出次品的个数,求ξ的分布列、期望值及方差.
解:ξ的可能值为0,1,2,
P(ξ=0)=;
P(ξ=1)=;
P(ξ=2)=.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
∴E(ξ)=0×+1×+2×,
D(ξ)=.
10.(2013北京高考)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率;
(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)
解:设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i=1,2,…,13).
根据题意,P(Ai)=,且Ai∩Aj=?(i≠j).
(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则B=A5∪A8.
所以P(B)=P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)=.
(2)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,且
P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=,
P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)=P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=,
P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
故X的期望EX=0×+1×+2×.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
11.(2013浙江高考)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.
(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若E(η)=,D(η)=,求a∶b∶c.
解:(1)由题意得ξ=2,3,4,5,6.
故P(ξ=2)=,
P(ξ=3)=,
P(ξ=4)=,
P(ξ=5)=,
P(ξ=6)=,
所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
5
6
P
(2)由题意知η的分布列为
η
1
2
3
P
所以E(η)=,
D(η)=···,
化简得
解得a=3c,b=2c,故a∶b∶c=3∶2∶1.
12.(2014长春高三第三次调研测试)低碳生活,从“衣食住行”开始.在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用,人们可以由此计算出自己每天的碳排放量,如家居用电的二氧化碳排放量(kg)=耗电度数×0.785,家用天然气的二氧化碳排放量(kg)=天然气使用立方数×0.19等.某校开展“节能减排,保护环境,从我做起!”的活动,该校高一六班同学利用假期在东城、西城两个小区进行了逐户的关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查.生活习惯符合低碳观念的称为“低碳家庭”,否则称为“非低碳家庭”.经统计,这两类家庭占各自小区总户数的比例P数据如下:
东城小区
低碳家庭
非低碳家庭
比例P
西城小区
低碳家庭
非低碳家庭
比例P
(1)如果在东城、西城两个小区内各随机选择2个家庭,求这4个家庭中恰好有2个家庭是“低碳家庭”的概率;
(2)该班同学在东城小区经过大力宣传节能减排的重要意义,每周“非低碳家庭”中有20%的家庭能加入到“低碳家庭”的行列中.宣传两周后随机地从东城小区中任选5个家庭,记ξ表示5个家庭中“低碳家庭”的个数,求E(ξ)和D(ξ).
解:(1)设事件“4个家庭中恰好有2个家庭是‘低碳家庭’”为A,
则有以下三种情况:“低碳家庭”均来自东城小区,“低碳家庭”分别来自东城、西城两个小区,“低碳家庭”均来自西城小区.
故P(A)=+4×.
(2)因为东城小区每周有20%的人加入“低碳家庭”行列,经过两周后,两类家庭占东城小区总家庭数的比例如下:
东城小区
低碳家庭
非低碳家庭
比例P
由题意,两周后东城小区5个家庭中的“低碳家庭”的个数ξ服从二项分布,即ξ~B,
故Eξ=5×,Dξ=5×.
课件32张PPT。目标导航预习导引目标导航预习导引xxxxx目标导航预习导引x目标导航预习导引xx目标导航预习导引xxx问题导学当堂检测x问题导学当堂检测x问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测x问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测1 2 3 4 5xx问题导学当堂检测1 2 3 4 5xx1 2 3 4 5问题导学当堂检测xx1 2 3 4 5问题导学当堂检测xx1 2 3 4 5问题导学当堂检测xx