课时训练13 正态分布
一、选择题
1.设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=φμ,σ(x)=,则这个正态总体的平均数与标准差分别是( ).
A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10
答案:B
解析:由正态密度函数的定义可知,总体的均值μ=10,方差σ2=4,即σ=2.
2.设两个正态分布N(μ1,)(σ1>0)和N(μ2,)(σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有( ).
A.μ1<μ2,σ1<σ2 B.μ1<μ2,σ1>σ2
C.μ1>μ2,σ1<σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2
答案:A
解析:根据正态分布密度曲线的性质:正态分布密度曲线是一条关于直线x=μ对称,在x=μ处取得最大值的连续钟形曲线;σ越大,曲线越“矮胖”;σ越小,曲线越“瘦高”,结合图象可知μ1<μ2,σ1<σ2.故选A.
3.已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.682 6,则P(X>4)=( ).
A.0.158 8 B.0.158 7
C.0.158 6 D.0.158 5
答案:B
解析:P(X>4)=[1-P(2≤X≤4)]=×(1-0.682 6)=0.158 7.
4.已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4),则E(2ξ+1)与D(2ξ+1)的值分别为( ).
A.13,4 B.13,8
C.7,8 D.7,16
答案:D
解析:由已知E(ξ)=3,D(ξ)=4,得E(2ξ+1)=2E(ξ)+1=7,D(2ξ+1)=4D(ξ)=16.
5.(2014河北高阳中学高三月考)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)等于( ).
A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
答案:C
解析:P(ξ≥4)=1-0.8=0.2,P(ξ≤0)=0.2,P(0<ξ<2)==0.3.
6.设随机变量X服从正态分布N(2,9),若P(X>C+1)=P(XA.1 B.3 C.2 D.5
答案:C
解析:∵X~N(2,9),
∴P(X>C+1)=P(X<3-C).
又P(X>C+1)=P(X∴3-C=C-1.∴C=2.
7.某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站,由于交通拥挤,所需时间(单位:min)服从X~N(50,102),则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率为( ).
A.0.682 6 B.0.997 4
C.0.317 4 D.0.954 4
答案:D
解析:∵X~N(50,102),μ=50,σ=10,
∴P(30二、填空题
8.(2014山东桓台一中月考)已知正态分布总体落在区间(-∞,0.3)的概率为0.5,那么相应的正态曲线Φμ,σ(x)在x= 时达到最高点.?
答案:0.3
解析:∵P(X<0.3)=0.5,
∴P(X≥0.3)=0.5,即x=0.3是正态曲线的对称轴,
∴当x=0.3时Φμ,σ(x)达到最高点.
9.设在一次数学考试中,某班学生的分数服从ξ~N(110,202),且知满分150分,这个班的学生共54人.则这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数的和约为 .?
答案:54
解析:因为ξ~N(110,202),所以μ=110,σ=20,P(110-20<ξ≤110+20)=0.682 6.
所以ξ>130的概率为(1-0.682 6)=0.158 7.
所以ξ≥90的概率为0.682 6+0.158 7=0.841 3.
所以及格的人数为54×0.841 3≈45,
130分以上的人数为54×0.158 7≈9.
故所求的和约为45+9=54人.
10.某班有50名学生,一次考试的成绩ξ(ξ∈N)近似服从正态分布N(100,102),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估计该班数学成绩在110分以上的人数为 .?
答案:10
解析:考试的成绩ξ服从正态分布N(100,102),
∴考试的成绩ξ关于ξ=100对称.
∵P(90≤ξ≤100)=0.3,
∴P(100≤ξ≤110)=0.3.
∴P(ξ>110)=0.2.
∴该班数学成绩在110分以上的人数约为0.2×50=10.
三、解答题
11.设X~N(1,22),试求:
(1)P(-1解:因为X~N(1,22),所以μ=1,σ=2,如图.
(1)P(-1(2)因为P(3所以P(3=[P(1-4=[P(μ-2σ=(0.954 4-0.682 6)=0.135 9.
(3)因为P(X≥5)=P(X≤-3),
所以P(X≥5)=[1-P(-3=[1-P(1-4=[1-P(μ-2σ=(1-0.954 4)
=0.022 8.
12.已知某种零件的尺寸X(单位:mm)服从正态分布,其正态曲线在(0,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,且f(80)= .
(1)求正态分布密度函数的解析式:
(2)估计尺寸在72 mm~88 mm之间的零件大约占总数的百分之几.
解:(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,
所以正态曲线关于直线x=80对称,且在x=80处取得最大值.
因此得μ=80,,所以σ=8.
故正态分布密度函数的解析式是f(x)=.
(2)由μ=80,σ=8,得
μ-σ=80-8=72,μ+σ=80+8=88,
所以零件尺寸X在区间(72,88)内的概率是0.682 6.
因此尺寸在72 mm~88 mm间的零件大约占总数的68.26%.
13.正态总体当μ=0,σ=1时的概率密度函数是φμ,σ(x)=,x∈R.
(1)证明φμ,σ(x)是偶函数;
(2)求φμ,σ(x)的最大值;
(3)利用指数函数的性质说明φμ,σ(x)的增减性.
(1)证明:对于任意的x∈R,
φμ,σ(-x)==φμ,σ(x),
所以φμ,σ(x)是偶函数.
(2)解:令z=,当x=0时,z=0,e-z=1;
当x≠0时,>0,ez>1,由于y=ez是关于z的增函数,
所以当x=0(即z=0)时,=e0取得最大值.
这时φμ,σ(x)的最大值为e0= .
(3)任取x1<0,x2<0且x1所以,
即φμ,σ(x1)<φμ,σ(x2).
它表明当x<0时,φμ,σ(x)是递增的.
又因为φμ,σ(x)是偶函数,所以φμ,σ(x)在(0,+∞)上是减函数.
故φμ,σ(x)在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数.
课件29张PPT。目标导航预习导引目标导航预习导引xxx目标导航预习导引x目标导航预习导引x目标导航预习导引目标导航预习导引目标导航预习导引x目标导航预习导引目标导航预习导引xx问题导学当堂检测x问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测xxx问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测1 2 3 4 5xx问题导学当堂检测1 2 3 4 5xx1 2 3 4 5问题导学当堂检测xx1 2 3 4 5问题导学当堂检测xx1 2 3 4 5问题导学当堂检测x
