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第二章过关检测
(时间:45分钟,满分:100分)
一、选择题(每小题6分,共48分)
1.袋中有2个黑球6个红球,从中任取两个,可以作为随机变量的是( ).
A.取到的球的个数
B.取到红球的个数
C.至少取到一个红球
D.至少取到一个红球的概率
答案:B
解析:取到球的个数是一个固定的数字,不是 ( http: / / www.21cnjy.com )随机变量,故A不正确;取到红球的个数是一个随机变量,它的可能取值是0,1,2,故B正确;至少取到一个红球表示取到一个红球,或取到两个红球,表示一个事件,故C不正确;D显然不正确.故选B.2-1-c-n-j-y
2.(2013福建厦门模拟)位于坐标原点的 ( http: / / www.21cnjy.com )一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位长度,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是( ).【来源：21cnj*y.co*m】
A. B.
C. D.
答案:B
解析:由于质点每次移动一个单位长度,移动的 ( http: / / www.21cnjy.com )方向为向上或向右,移动五次后位于点(2,3),所以质点P必须向右移动二次,向上移动三次,故其概率为·.【版权所有：21教育】
3.某射手射击所得环数ξ的分布列如下:
ξ 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知ξ的数学期望E(ξ)=8.9,则y的值为( ).
A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8
答案:B
解析:∵E(ξ)=7x+8×0.1+9×0.3+10y=7(0.6-y)+10y+3.5=7.7+3y,【出处：21教育名师】
∴7.7+3y=8.9,∴y=0.4.
4.某普通高校招生体育专业 ( http: / / www.21cnjy.com )测试合格分数线确定为60分.甲、乙、丙三名考生独立参加测试,他们能达到合格的概率分别是0.9,0.8,0.75,则三人中至少有一人达标的概率为( ).
A.0.015 B.0.005
C.0.985 D.0.995
答案:D
解析:三人都不合格的概率为(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.75)=0.005.
∴至少有一人合格的概率为1-0.005=0.995.
5.将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A={两个点数互不相同},B={出现一个5点},则P(B|A)=( ). 21*cnjy*com
A. B.
C. D.
答案:A
解析:出现点数互不相同的共有6×5=30种,
出现一个5点共有5×2=10种,
∴P(B|A)=.
6.已知一次考试共有60名同学参加,考生成绩X~N(110,52),据此估计,大约有57人的分数所在的区间为( ).21教育名师原创作品
A.(90,100] B.(95,125]
C.(100,120] D.(105,115]
答案:C
解析:∵X~N(110,52),
∴μ=110,σ=5.
=0.95≈P(μ-2σ∴X∈(100,120].
7.把10个骰子全部投出,设出现6点的骰子的个数为X,则P(X≤2)=( ).
A.
B.
C.
D.以上都不对
答案:D
解析:P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=.
8.已知随机变量X~B(6,0.4),则当η=-2X+1时,D(η)=( ).
A.-1.88 B.-2.88
C.5.76 D.6.76
答案:C
解析:由已知D(X)=6×0.4×0.6=1.44,则D(η)=4D(X)=4×1.44=5.76.21cnjy.com
二、填空题(每小题6分,共18分)
9.已知正态总体的数据落在区间(-3,-1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等,那么这个正态总体的数学期望为 . 21·cn·jy·com
答案:1
解析:区间(-3,-1)和区间(3,5)关于x=1对称(-1的对称点是3,-3的对称点是5),所以正态分布的数学期望就是1.2·1·c·n·j·y
10.将一个大正方形平均分成9个小正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形,向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中),投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A,投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B,则P(A|B)= . www-2-1-cnjy-com
答案:
解析:根据几何概型,得P(AB)=,P(B)=,所以P(A|B)=.
11.某毕业生参加人才招聘会,分别 ( http: / / www.21cnjy.com )向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=,则随机变量X的数学期望E(X)= .
答案:
解析:由P(X=0)=,所以×(1-p)×(1-p)=,得p=,所以X的分布列如下:
X 0 1 2 3
P ×
所以E(X)=0×+1×+2×+3×.
三、解答题(共34分)
12.(10分)设进入某商场的每一 ( http: / / www.21cnjy.com )位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.
(1)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率;
(2)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求ξ的分布列及期望.
解:(1)由题可得,至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率为p=1-(1-0.5)(1-0.6)=0.8.
(2)ξ可能的取值有0,1,2,3,
p(ξ=0)=(1-0.8)3=0.008,
p(ξ=1)=(1-0.8)20.8=0.096,
p(ξ=2)=(1-0.8)10.82=0.384,
p(ξ=3)=0.83=0.512.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
p 0.008 0.096 0.384 0.512
ξ的数学期望E(ξ)=3×0.8=2.4.
13.(12分)(2014大纲全国高考)设每 ( http: / / www.21cnjy.com )个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.www.21-cn-jy.com
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;
(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.
解:记Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,
B表示事件:甲需使用设备,
C表示事件:丁需使用设备,
D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.
(1)D=A1·B·C+A2·B+A2··C.
P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=×0.52,i=0,1,2,
所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)
=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C)
=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)
=0.31.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,其分布列为
P(X=0)=P(·A0·)
=P()P(A0)P()
=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)
=0.06,
P(X=1)=P(B·A0··A0·C+·A1·)
=P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P()
=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)21教育网
=0.25,
P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06,
P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,
P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)
=1-0.06-0.25-0.25-0.06
=0.38,
数学期望E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)
=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.
14.(12分)某同学参加 ( http: / / www.21cnjy.com )3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p,q(p>q),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记ξ为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为【来源：21·世纪·教育·网】
ξ 0 1 2 3
P a b
(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率;
(2)求p,q的值;
(3)求数学期望E(ξ).
解:事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”,i=1,2,3.
由题意知P(A1)=,P(A2)=p,P(A3)=q.
(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ=0”是对立的,所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是21世纪教育网版权所有
1-P(ξ=0)=1-.
(2)由题意知
P(ξ=0)=P()=(1-p)(1-q)=,
P(ξ=3)=P(A1A2A3)=pq=.
整理得pq=,p+q=1.
由p>q,可得p=,q=.
(3)由题意知
a=P(ξ=1)=P(A1 )+P( A2 )+P( A3)=(1-p)(1-q)+p(1-q)+(1-p)q=,21·世纪*教育网
b=P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=.
所以E(ξ)=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=.
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丛书主编任志鸿
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