山西省忻州市名校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题（含解析）

忻州市名校2022-2023学年高一下学期期中联考
数学
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：必修第二册6.1~8.3.
一 选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知复数，则复数的虚部为（ ）
A.2 B.-2 C. D.
2.已知向量，则实数的值为（ ）
A. B. C.6 D.2
3.在中，，则角的度数为（ ）
A. B. C.或 D.
4.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高相等，下面部分的容积为，则这个漏斗的容积为（ ）
A. B. C. D.
5.在中，若，则此三角形解的情况为（ ）
A.无解 B.两解 C.一解 D.解的个数不能确定
6.如图，测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高等于（ ）
A. B. C. D.
7.《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式.用该术可求得圆周率的近似值.现用该术求得的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为27，则该圆锥体积的近似值为（ ）
A. B.3 C. D.9
8.已知平面内一正三角形的外接圆半径为4，以三角形中心为圆心，为半径的圆上有一个动点，则的最大值为（ ）
A.13 B. C. D.
二 多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知与是共轭复数（虚部均不为0），则（ ）
A. B.
C. D.
10.若点分别为的边的中点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
11.在中，角的对边分别为，且满足；则（ ）
A. B.的面积为
C. D.为锐角三角形
12.如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水（未满），现将容器底面一边固定在底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，则（ ）
A.水的部分始终呈棱柱状
B.水面四边形EFGH的面积为定值
C.多面体的表面积不变
D.若，则是定值
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，则的夹角为__________.
14.若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的侧面积为__________.
15.三角形中，是边上一点，，且三角形与三角形面积之比为，则__________.
16.如图，一块边长为的正方形纸片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形和一个正方形做成一个正四梭锥，则该正四棱锥的体积为__________.
四 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
17.（10分）
已知非零向其和不共线.
（1）如果，求证：三点共线；
（2）欲使向量与平行，试确定实数的值.
18.（12分）
如图，正方体的棱长为，连接，得到一个三棱锥.求：
（1）三棱锥的表面积；
（2）三棱锥的体积.
19.（12分）
已知的内角所对的边分别为.
（1）求角
（2）若边上的高为，求.
20.（12分）
已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为96，
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）求圆锥内半径最大的球的体积.
21.（12分）
已知半圆圆心为，直径为半圆弧上靠近点的三等分点，若为半径上的动点，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示.
（1）直接写出点的坐标；
（2）若，求与夹角的大小；
（3）若，当取得最小值时，求点的坐标及的最小值.
22.（12分）
锐角中，内角所对的边分别为，满足：.
（1）求；
（2）求面积的取值范围.
忻州市名校2022-2023学年高一下学期期中联考
数学
参考答案 提示及评分细则
1.B 因为，所以复数的虚部为-2.
2.C 因为，故，即，解得.
3.C 的面积为，所以，又，故或.
4.A 长方体与四棱锥同底等高，故长方体的体积是四棱锥体积的3倍，故这个漏斗的容积为.
5.C 由正弦定理，得，得，因为，则，故为锐角，故满足条件的只有一个.
6.D 在中，，由正弦定理得，解得.在Rt中，.
7.D 已知圆锥的底面周长与高，其体积的近似公式.设底面圆的半径为，则，可得，所以，整理得.再来计算所求圆锥体积的近似值：该圆锥的底面直径和母线长相等，其表面积的近似值为27，设该圆锥的底面半径为，母线长为，高为，解得.又，所以，所以所求圆锥体积.故该圆锥体积的近似值为9.
8.A 建立如图所示坐标系，则点，设点，且，则，故当时，有最大值为13.
9.BC 因为与是共轨复数，设，则，对于选项，当时，和不能比大小，A选项错误；对于B选项，，B选项正确；对于C选项，，C选项正确；对于D选项，若，选项错误.
10.ABC 如图，在中，，故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D不正确.
11.AB，即在中，，，A正确.由余弦定理，得，得，即，解得或，又，C错误；的面积，B正确；又为钝角，为钝角三角形，错误.
12.AD 由于四边形与四边形全等，由棱柱的定义可知，水的部分始终呈棱柱状，所以正确；因为水面四边形为矩形，所以水面四边形的面积等于，因为水面四边形的边长不变，在变化，所以水面四边形的面积在变化，所以错误；由于水平放置时，水的体积是定值，水的高度是定值，底面面积不变，所以当一部分上升的同时，另一部分下降相同的高度，设，则，所以为定值，所以当时，是定值，所以正确；因为棱柱的体积不变，高为不变，故其底面积不变，由知，当时，是定值，但不是定值，故底面周长不是定值，故侧面积不是定值，故表面积不是定值，C错误.
13. 设的夹角为，则.又，所以，所以，因为，故.
14.100 因正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则该正四棱台上底 下底面边心距分别为1，4，而正四棱台的高 斜高 两底面对应边心距构成直角梯形，于是得斜高，因此，侧面积，所以所求的侧面积为100.
15. 因为为的平分线，故.又，整理得，所以，故.又，则.
16. 如图设正方形纸片为，其内的小正方形为，做成的正四棱锥为.取，的中点分别为，连接.由题意，，由对称性可知，所以，所以.即在正四棱锥中，，又，所以
，所以正四棱锥的体积为.
17.（1）证明：因为，
且为非零向量，所以与共线，即三点共线.
（2）解：因为与平行，且两向量都为非零向量，
所以存在实数使得成立，即，
因为和不共线，所以所以.
18.解：（1）是正方体，，
三棱锥的表面积为.
（2）三棱锥是完全一样的.
且正方体的体积为，故.
19.解：（1）由已知条件得，
由正弦定理得.
.
又.
（2）由三角形面积公式得
，即.
由余弦定理得，将代入可得，
解得或（舍去），故.
20.解：（1）设圆锥的高为，因为圆锥的底面半径为6，其体积为，
所以，解得，则圆锥的母线为，
所以圆锥的侧面积为.
（2）如图所示.
当球为圆锥的内切球时，球的半径最大，由图象知：，
解得，所以圆锥内半径最大的球的体积是.
21.解：（1）因为半圆的直径，所以，
又，则，即.
（2）由（1）知，.
则.
又，即与的夹角为.
（3）设，由（1）知，.
故，
.
又当时，有最小值为，
此时点的坐标为.
22.解：（1）因为，由正弦定理得：，
因为，所以，所以，
化简得，所以，
因为，所以.
（2）由正弦定理，得.
又
，
因为锐角，所以解得，则
所以.