(共24张PPT)
4.3.1 对数函数的概念
4.3.2 对数函数y＝log2x的图像和性质
1.理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系；
2.了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数；
3.会画具体函数的图像.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
知识点一 对数函数
思考 你能把指数式y＝ax(a>0，a≠1)化成对数式吗？在这个对数式中，x是y的函数吗？
答案 根据对数的定义，
得x＝logay(a>0，a≠1).
因为y＝ax是单调函数，每一个y都有唯一确定的x与之对应，
所以x是y的函数.
答案
问题导学 新知探究 点点落实
答案
一般地，我们把函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，a叫作对数函数的 ，x是 ，定义域是 ，值域是 .
两类特殊的对数函数
常用对数函数：y＝lg x，其底数为 .
自然对数函数：y＝ln x，其底数为无理数 .
底数
真数
(0，＋∞)
R
10
e
答案
知识点二 反函数
思考 函数y＝ax的定义域和值域与y＝logax的定义域和值域有什么关系？
答案 对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，
对数函数y＝logax的值域是指数函数y＝ax的定义域.
指数函数y＝ax(a>0，a≠1)是对数函数 的反函数；
同时对数函数y＝logax(a>0，a≠1)也是 的反函数，即同底的指数函数与对数函数互为反函数.
y＝logax(a>0，a≠1)
指数函数y＝ax(a>0，a≠1)
知识点三 函数y＝log2x的图像和性质
观察函数y＝log2x的图像可得：
图像特征 函数性质
过点_____ 当x＝1时，_____
在y轴的右侧 定义域是_________
向上、向下无限延伸 值域是___
在直线x＝1右侧，图像位于x轴上方； 在直线x＝1左侧，图像位于x轴下方 若x>1，则 ；
若0
函数图像从左到右是上升的 在(0，＋∞)上是 函数
(1,0)
y＝0
(0，＋∞)
R
y>0
y<0
增
答案
返回
解析答案
反思与感悟
题型探究 重点难点 个个击破
类型一 对数函数的概念
解 设y＝logax(a>0且a≠1)，则2＝loga4，
故a＝2，即y＝log2x，
反思与感悟
判断一个函数是否为对数函数的方法
判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0且a≠1)的形式，
即必须满足以下条件：
①系数为1.
②底数为大于0且不等于1的常数.
③对数的真数仅有自变量x.
跟踪训练1 判断下列函数是不是对数函数？并说明理由.
(1)y＝logax2(a>0，且a≠1)；
(2)y＝log2x－1；
(3)y＝logxa(x>0，且x≠1)；
(4)y＝log5x.
解 ∵(1)中真数不是自变量x，
∴不是对数函数；
∵(2)中对数式后减1，∴不是对数函数；
∵(3)中底数是自变量x，而非常数a，
∴不是对数函数.
(4)为对数函数.
解析答案
解析答案
类型二 对数函数的定义域
例2 求下列函数的定义域：
(1)y＝loga(9－x2)；
解 由9－x2>0，得－3∴函数y＝loga(9－x2)的定义域是{x|－3(2)y＝log2(16－4x).
解 由16－4x>0，得4x<16＝42，由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}.
反思与感悟 求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 求下列函数的定义域：
∴x≥1，∴所求函数定义域为{x|x≥1}.
解析答案
类型三 求反函数
例3 求下列函数的反函数：
(1)y＝10x；
解 指数函数y＝10x，
它的底数是10，它的反函数是对数函数y＝lg x.
解析答案
(3)
解 对数函数
(4)y＝log7x.
解 对数函数y＝log7x，
它的底数是7，它的反函数是指数函数y＝7x.
反思与感悟 同底的指数函数、对数函数互为反函数.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 写出下列函数的反函数(用x表示自变量，y表示函数)：
(1)y＝2.5x；
解 函数y＝2.5x的反函数是y＝log2.5x(x>0).
(2)
解析答案
类型四 函数y＝log2x的图像与性质
例4 根据函数f(x)＝log2x的图像和性质求解以下问题：
(1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围；
(2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最值.
解 函数y＝log2x的图像如图.
(1)∵y＝log2x是增函数，
若f(a)>f(2)，即log2a>log22，则a>2.
∴a的取值范围为(2，＋∞).
(2)∵2≤x≤14，∴3≤2x－1≤27，
∴函数y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最小值为log23，最大值为log227.
∴log23≤log2(2x－1)≤log227.
反思与感悟
反思与感悟
函数f(x)＝log2x是最基本的对数函数.它在(0，＋∞)上是单调递增的.利用单调性可以解不等式，求函数值域，比较对数值的大小.
解 函数f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，
(2)若log2(2－x)>0，求x的取值范围.
解 log2(2－x)>0，即log2(2－x)>log21，
∵函数y＝log2x为增函数，
∴2－x>1，即x<1.
∴x的取值范围为(－∞，1).
解析答案
返回
1
2
3
解析答案
达标检测
4
1.函数f(x)＝lg(x－1)＋ 的定义域为( )
A.(1,4] B.(1,4)
C.[1,4] D.[1,4)
5
A
解析答案
2.函数y＝log2x在[1,2]上的值域是( )
A.R B.(－∞，1]
C.[0,1] D.[0，＋∞)
解析 ∵1≤x≤2，
∴log21≤log2x≤log22.
即0≤y≤1.
1
2
3
4
5
C
解析答案
3.函数y＝ln x的反函数是______.
解析 同底的对数函数与指数函数互为反函数.
1
2
3
4
5
y＝ex
解析答案
1
2
3
4
5
如图所示.
由图知它们的图像只有一个交点，
1
解析答案
1
2
3
4
5
返回
规律与方法
1.解与对数有关的问题，首先要保证在定义域范围内解题，即真数大于零，底数大于零且不等于1，函数定义域的结果一定要写成集合或区间的形式.
2.指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们定义域与值域互反，图像关于直线y＝x对称.
3.应注意数形结合思想在解题中的应用.
本课结束(共29张PPT)
4.3.3 对数函数的图像和性质
1.掌握对数函数性质，并会运用性质比较大小，求单调区间，解对数不等式等；
2.会画对数函数图像，知道多个对数函数图像如何判断相对位置，会对对数函数图像进行简单的变换；
3.了解互为反函数的两函数图像关于直线y＝x对称.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
知识点一 对数函数的图像与性质
思考 y＝logax化为指数式是x＝ay.你能用指数函数单调性推导出对数函数单调性吗？
答案 当a>1时，若0则 ，解指数不等式，
得y1当0答案
问题导学 新知探究 点点落实
类似地，我们可以借助指数函数图像和性质得到对数函数图像和性质：
对数函数的图像与性质
定义 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0图像
答案
定义域 __________ 值域 ___ 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图像过点 ，即loga1＝0 函数值特点 x∈(0,1)时， y∈ ； x∈[1，＋∞)时， y∈_________ x∈(0,1)时，
y∈ ；
x∈[1，＋∞)时，
y∈________
对称性 函数y＝logax与y＝ 的图像关于 对称； 函数y＝logax与y＝ax的图像关于直线y＝x对称. (0，＋∞)
R
(1,0)
(－∞，0)
(0，＋∞)
[0，＋∞)
(－∞，0]
x轴
答案
知识点二 不同底的对数函数图像相对位置
思考 y＝log2x与y＝log3x同为(0，＋∞)上的增函数，都过点(1,0)，怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置？
答案 可以通过描点定位，也可令y＝1，对应x值即底数.
一般地，对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0答案
知识点三 y＝logaf(x)型函数的单调区间
思考 我们知道y＝2f(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，那么y＝log2f(x)的单调区间与y＝f(x)的单调区间相同吗？
答案 y＝log2f(x)与y＝f(x)的单调区间不一定相同，
因为y＝log2f(x)的定义域与y＝f(x)定义域不一定相同.
一般地，形如函数f(x)＝logag(x)的单调区间的求法：①先求g(x)>0的解集(也就是函数的定义域)；②当底数a大于1时，g(x)>0限制之下g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间，g(x)>0限制之下g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间；③当底数a大于0且小于1时，g(x)>0限制之下g(x)的单调区间与f(x)的单调区间正好相反.
知识点四 对数不等式的解法
思考 log2x答案 不等价.log2x0，
∴log2x一般地，对数不等式的常见类型：
答案
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解析答案
题型探究 重点难点 个个击破
类型一 比较对数的大小
例1 比较下列各组数中两个值的大小：
(1)log23.4，log28.5；
解 考察对数函数y＝log2x，
因为它的底数2>1，
所以它在(0，＋∞)上是增函数，
又3.4<8.5，
于是log23.4解析答案
(2)log0.31.8，log0.32.7；
解 考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0<0.3<1，
所以它在(0，＋∞)上是减函数，
又1.8<2.7，于是 log0.31.8>log0.32.7.
(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1).
解 当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又5.1<5.9，于是loga5.1当0又5.1<5.9，于是loga5.1>loga5.9.
综上，当a>1时，loga5.1当0loga5.9.
反思与感悟
反思与感悟
比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论.
解析答案
A
解析答案
类型二 对数函数的图像
例2 画出函数y＝lg|x－1|的图像.
解 (1)先画出函数y＝lg x的图像(如图).
(2)再画出函数y＝lg|x|的图像(如图).
(3)最后画出函数y＝lg|x－1|的图像(如图).
反思与感悟
反思与感悟
画图像一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点如本题x＝0,1,2三点.
解析答案
跟踪训练2 画出函数y＝|lg(x－1)|的图像.
解 (1)先画出函数y＝lg x的图像(如图).
(2)再画出函数y＝lg(x－1)的图像如图.
(3)再画出函数y＝|lg(x－1)|的图像如图：
解析答案
类型三 对数不等式
例3 已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a>0，且a≠1).解关于x的不等式：
loga(1－ax)>f(1).
解 ∵f(x)＝loga(1－ax)，∴f(1)＝loga(1－a).
∴1－a>0.∴0∴不等式可化为loga(1－ax)>loga(1－a).
∴0∴不等式的解集为(0,1).
反思与感悟
反思与感悟
对数不等式解法要点
(1)化为同底logaf(x)>logag(x)；
(2)根据a>1或0(3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)>0且g(x)>0.
解析答案
则实数a的取值范围是( )
A.(－1,0)∪(0,1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(－1,0)∪(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(0,1)
解析 ①当a>0时，f(a)＝log2a， f(a)>f(－a)，
即
②当a<0时， f(－a)＝log2(－a)，f(a)>f(－a)，
即
由①②得－11.
C
类型四 对数型复合函数的单调性
例4 求函数 的值域和单调区间.
解 设t＝－x2＋2x＋1，则t＝－(x－1)2＋2.
为减函数，且0即函数的值域为[－1，＋∞).
再由函数 的定义域为－x2＋2x＋1>0，
而 为减函数.
解析答案
反思与感悟
反思与感悟
求复合函数的单调性要抓住两个要点：(1)单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域；(2)f(x)，g(x)单调性相同，则f(g(x))为增函数；f(x)，g(x)单调性相异，则f(g(x))为减函数，简称“同增异减”.
解析答案
跟踪训练4 已知函数
(1)求函数f(x)的值域；
解 由题意得－x2＋2x>0，
∴x2－2x<0，
∴0当0∴函数 的值域为[0，＋∞).
(2)求f(x)的单调性.
解 设u＝－x2＋2x(0∵函数u＝－x2＋2x在(0,1)上是增函数，
在(1,2)上是减函数， 是减函数，
∴由复合函数的单调性得到函数
在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数.
解析答案
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1
2
3
达标检测
4
1.当a>1时，函数y＝logax和y＝(1－a)x的图像只可能是( )
5
B
答案
2.函数y＝lg|x|的图像是( )
1
2
3
4
5
答案
A
3.f(x)＝lg(x2＋a)的值域为R，则实数a可以是( )
A.0 B.1
C.2 D.10
1
2
3
4
5
A
答案
4.如果 那么( )
A.yC.11
2
3
4
5
D
答案
解析答案
5.已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f(3)·g(3)<0，则f(x)与g(x)在同一坐标系里的图像是( )
1
2
3
4
5
解析 ∵a>0且a≠1，∴f(3)＝a3>0，
又f(3)g(3)<0，∴g(3)＝loga3<0，∴0∴f(x)＝ax在R上是减函数，g(x)＝logax在(0，＋∞)上是减函数，故选C.
C
规律与方法
1.与对数函数有关的复合函数单调区间、奇偶性、不等式
问题都要注意定义域的影响.
2.y＝ax与x＝logay图像是相同的，只是为了适应习惯用x表示自变量，y表示应变量，把x＝logay换成y＝logax，y＝logax才与y＝ax关于y＝x对称，因为(a，b)
与(b，a)关于y＝x对称.
3.比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图像，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较.
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