北师大版八年级上册数学第七章平行线的证明测试题（含答案）

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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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北师大版八年级上册数学第七章测试题（附答案）
一、单选题（共12题；共24分）
1.如图，下列条件中，不能判断直线 的是
A. B. C. D.
2.如图，已知l1∥l2 ， ∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A. 60° B. 80° C. 100° D. 120°
3.下列命题是真命题的是（ ）
A. 同角的补角相等 B. 一条直线截另外两条直线所得到的同位角相等
C. 有公共顶点且相等的两个角是对顶角 D. 两个无理数的和仍是无理数
4.如图，己知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE=150°，则∠C的度数是（ ）
A. 100° B. 110° C. 120° D. 150°
5.下列语句正确的是( )
A. 一个角小于它的补角 B. 相等的角是对顶角
C. 同位角互补，两直线平行 D. 同旁内角互补，两直线平行
6.下列说法中正确的是（ ）
A. 不相交的两条直线叫做平行线 B. 点到直线的距离是这点到直线的垂线段
C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行
7.下列命题中是真命题的个数是（ ） ①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③若a∥b，b∥c，则a∥c；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤三条直线两两相交，总有三个交点．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8.如图，从①∠1=∠2 ②∠C=∠D ③∠A=∠F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（　　）
A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2
10.下列命题真命题是( )
A. 同位角相等 B. 同旁内角相等，两直线平行
C. 不相等的角不是内错角 D. 同旁内角不互补，两直线不平行
11.如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点.设AD＝x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
12.如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是( )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题（共6题；共12分）
13.如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=________
14.已知：如图，∠1=∠2，求证：AB∥CD
∵ ∠1=∠2，(已知)
又∠3=∠2，________∴∠1=________．________
∴ AB∥CD．(________，________)
15.把命题“实数是无理数”改成“如果…，那么…”的形式；________，它是个________命题．（填“真”或“假”）
16.如图所示，将长方形ABCD的纸片沿EF折叠，点D、C分别落在点D′、C′处，若∠AED′=50°，则∠EFB的度数为________．
17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，点D在边BC上，BD＝2CD，把△ABC绕点D逆时针旋转m度后（0°＜m＜360°），如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边所在的直线上，那么m＝________
18.如图，在 ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是________．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．
三、解答题（共4题；共17分）
19.如图，已知AB∥CD，AF=CE，∠B=∠D，证明BE和DF的关系．
20.如图，△ABC中，∠B=60°，∠C=75°，AC=3 ，求AB的长．
21.如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC ， ∠ABC的角平分线BF交DE于点P ， 交AC于点M ， 连接PC ．
（Ⅰ）若∠A＝60°，∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；
（Ⅱ）若AB＝BC ， BM2+CM2＝m2（m＞0），△PCM的周长为m+2时，求△BCM的面积（用含m的代数式表示）．
22.有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．
（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝ ∠D，∠C＝ ∠A，求∠B与∠C的度数之和；
（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO．∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF．
求证：四边形DBCF是半对角四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G．当DH＝BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．
四、综合题（共4题；共47分）
23.在 中， 分别是边 上的点， 和 交于点 ，且 .
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，过点 作 ，交 于点 ，求证 ；
（3）如图3，在（2）的条件下， ，求线段 的长.
24.【问题探究】如图1，DF∥CE，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β，猜想∠DPC与α、β之间有何数量关系？并说明理由；
【问题迁移】
如图2，DF∥CE，点P在三角板AB边上滑动，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β.
（1）当点P在E、F两点之间运动时，如果α=30°，β=40°，则∠DPC=________°
（2）如果点P在E、F两点外侧运动时（点P与点A、B、E、F四点不重合），写出∠DPC与α、β之间的数量关系，并说明理由．
25.如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠PAC=50°，∠ADC=30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．
（1）求∠AEC的度数；
（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1 ， CE平分∠ACD1 ， A1E与CE相交于E，∠PAC=50°，∠A1D1C=30°，求∠A1EC的度数．
（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A1EC的度数．
26.探究题
学行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题。
（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2 ， 点P在l1、l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系．小明过点P作l1的平行线，可证∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB=________．
（2）如图2，若AC∥BD，点P在AB、CD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请你补全下面的证明过程.
过点P作PE∥AC.
∴∠A=________
∵AC∥BD
∴________∥________
∴∠B=________
∵∠BPA=∠BPE-∠EPA
∴________．
（3）随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途.试构造平行线解决以下问题：
已知：如图3，三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°.
答 案
一、单选题
1. C 2. C 3. A 4. C 5. D 6.D 7.B 8. D 9. B 10. D 11. A 12. D
二、填空题
13. 115° 14.对顶角相等；∠3；等量代换；同位角相等；两直线平行
15.如果一个数是实数，那么它是无理数；假 16.65° 17. 100°或120° 18.①②④
三、解答题
19.证明：∵AB∥CD，BE=DF， ∴∠A=∠C，
又∵AF=CE，∴AF+FE=CE+FE，
即AE=CF．
在△ABE和△CDF中， ，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE=DF
20.解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠B=60°，∠C=75°，∴∠A=45°，
在△ADC中，AC=3 ，
∵sinA= ，∴AD=sin45°×3 =3=CD，
在△BDC中，∠DCB=30°，
∵ctgB= ∴BD=cot60°×3= ，∴AB= +3，
21. 解：（Ⅰ）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC ，
∴PB＝PC ，
∴∠PBC＝∠PCB ，
∵BP平分∠ABC ，
∴∠PBC＝∠ABP ，
∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP ，
∵∠A＝60°，∠ACP＝24°，
∴∠PBC+∠PCB+∠ABP＝120°﹣24°，
∴3∠ABP＝120°﹣24°，
∴∠ABP＝32°；
（Ⅱ）∵AB＝BC ， BP平分∠ABC ，
∴BM⊥AC ，
∴∠BMC＝90°，
∵PD⊥BC ， 点D是BC边的中点，
∴PD垂直平分BC ，
∴PB＝PC ，
∵△PCM的周长为m+2，
∴PM+PC+CM＝PM+PB+CM＝BM+CM＝m+2，
∴（BM+CM）2＝BM2+CM2+2BM CM＝m2+2 BM CM＝（m+2）2 ，
∴BM CM＝2m+2，
∴△BCM的面积＝ BM CM＝m+1．
22. （1）解：在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A.
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴3∠B+3∠C=360°.
∴∠B+∠C=120°.
即∠B与∠C的度数之和120°.
（2）证明：在△BED和△BEO中，
. ∴△BED≌△BEO（SAS）. ∴∠BDE=∠BOE.
又∵∠BCF=∠BOE. ∴∠BCF=∠BDE.
如下图，连结OC.
设∠EAF=.则∠AFE=2∠EAF=2.
∴∠EFC=180°-∠AFE=180°-2.
∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA=.
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2. ∴∠ABC=∠AOC=∠EFC.
∴四边形DBCF是半对角四边形.
（3）解：如下图，作过点OM⊥BC于点M.
∵四边形DBCF是半对角四边形，
∴∠ABC+∠ACB=120°.
∴∠BAC=60°.
∴∠BOC=2∠BAC=120°.
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB=30°.
∴BC=2BM=BO=BD.
∵DG⊥OB,
∴∠HGB=∠BAC=60°.
∵∠DBG=∠CBA,
∴△DBG△CBA.
∴=2=.
∵DH=BG,BG=2HG. ∴DG=3HG.
∴= ∴=.
四、综合题
23. （1）证明：在 中，∠ECF+∠CFE+∠CEF=180°，
在 中，
且 是公共角
∴∠CEF=∠CDB
即
（2）证明： ，
∴∠DCB=∠ACG=90°，∴
即
∵∠ACD+∠B=∠CAB，∴∠GCB+∠B=∠CAB，
∵∠CGA=∠GCB+∠B，∴∠CAB=∠CGA，∴AC=GC
（3）解：如图，过点 作 交 的延长线于点 ，过点 分别作 于点 ， 于点
且
∴∠CAG=∠CGA=45°， ，
∴ ，
∴ ∴
∵ ∴ ，
∵∠CAG=45°，∴∠CAH=∠CAG，
平分 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
在四边形 中， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
又 ， ， ，
∴ ，
∴AE=AH，
∵ ，CM=CN，∠HNC=∠CMD，
∴△HNC≌△CMD，∴CD=CH，
∵CE+CD=AE，
∴CE+CH=AE=EH∴AE=EH=HA，∴∠H=60°，
在 中， ∴∠B=30°，
在 中，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ .
24. （1）70
（2）解：如图1，
∠DPC=β -α
∵DF∥CE,
∴∠PCE=∠1=β，
∵∠DPC=∠1-∠FDP=∠1-α．
∴∠DPC=β -α
如图2，
∠DPC= α -β
∵DF∥CE,
∴∠PDF=∠1=α
∵∠DPC=∠1-∠ACE=∠1-β．
∴∠DPC=α - β
25. （1）解：如图1所示：
∵直线PQ∥MN，∠ADC=30°，
∴∠ADC=∠QAD=30°，
∴∠PAD=150°，
∵∠PAC=50°，AE平分∠PAD，
∴∠PAE=75°，
∴∠CAE=25°，
可得∠PAC=∠ACN=50°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECA=25°，
∴∠AEC=180°﹣25°﹣25°=130°；
（2）解：如图2所示：
∵∠A1D1C=30°，线段AD沿MN向右平移到A1D1 ， PQ∥MN，
∴∠QA1D1=30°，
∴∠PA1D1=150°，
∵A1E平分∠AA1D1 ，
∴∠PA1E=∠EA1D1=75°，
∵∠PAC=50°，PQ∥MN，
∴∠CAQ=130°，∠ACN=50°，
∵CE平分∠ACD1 ，
∴∠ACE=25°，
∴∠CEA1=360°﹣25°﹣130°﹣75°=130°；
（3）解：如图3所示：过点E作FE∥PQ，
∵∠A1D1C=30°，线段AD沿MN向左平移到A1D1 ， PQ∥MN，
∴∠QA1D1=30°，
∵A1E平分∠AA1D1 ，
∴∠QA1E=∠2=15°，
∵∠PAC=50°，PQ∥MN，
∴∠ACN=50°，
∵CE平分∠ACD1 ，
∴∠ACE=∠ECN=∠1=25°，
∴∠CEA1=∠1+∠2=15°+25°=40°
26. （1）∠APB=∠A+∠B
（2）∠1；PE；BD；∠EPB；∠APB=∠B -∠1
（3）证明：过点A作MN∥BC
∴∠B= ∠1 ∠C= ∠2
∵∠BAC+∠1+∠2=180°∴∠BAC+∠B+∠C=180°
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