北师版高中数学必修第一册4.1.2利用二分法求方程的近似解 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
第四章　§1　函数与方程
1.2　利用二分法求方程的近似解
1.理解二分法的原理及其适用条件；
2.掌握二分法的实施步骤；
3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
知识点一　二分法的原理
思考　通过上节课的学习，我们知道f(x)＝ln x＋2x－6的零点在区间(2,3)内，如何缩小零点所在区间(2,3)的范围？
答案　①取区间(2,3)的中点2.5.
②计算f(2.5)的值，用计算器算得f(2.5)≈－0.084.
因为f(2.5)·f(3)<0，
所以零点在区间(2.5,3)内.
答案
问题导学 　　　　新知探究 点点落实
答案
二分法的概念：
如果在区间[a，b]上，函数f(x)的图像是 ，且 ，
则区间[a，b]内有方程f(x)＝0的解.
依次取有解 ，如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)＝0，则x0就是所求的一个解；如果区间中点的函数值总不等于零，那么，不断地重复上述操作，就得到一系列闭区间，方程的一个解在这些区间中，区间长度 ，端点逐步逼近方程的解，可以得到一个近似解.
像这样每次 ， ，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法.
一条连续的曲线
f(a)·f(b)<0
区间的中点
越来越小
取区间的中点
将区间一分为二
答案
知识点二　精度与精确到
思考　“精确到0.1”与“精度为0.1”一样吗？
答案　不一样.
比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.
而“精度为0.1”指零点近似值所在区间(a，b)满足|a－b|<0.1，
比如零点近似值所在区间(1.25,1.34).
若精度为0.1，
则近似值可以是1.25，也可以是1.34.
答案
使得
区间长度b－a≤ε
知识点三　二分法求方程近似解的步骤
利用二分法求方程实数解的过程可以用下图表示出来.
在这里：
“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；
“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的
中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间
两端点的函数值反号；
“N”的含义是：方程解满足要求的精度；
“P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为
方程的近似解.
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解析答案
题型探究 　　　　重点难点 个个击破
类型一　二分法求零点近似值
例1　借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解.(精度0.1)
反思与感悟
解　原方程即2x＋3x－7＝0，令f(x)＝2x＋3x－7，
用计算器或计算机作出函数f(x)＝2x＋3x－7的对应值表与图像如下：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
f(x)＝2x＋3x－7 －6 －2 3 10 21 40 75 142 273 …
观察图或表可知f(1)·f(2)<0，
说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.
取区间(1,2)的中点x1＝1.5，
用计算器算得f(1.5)≈0.33.
因为f(1)·f(1.5)<0，所以x0∈(1,1.5).
解析答案
反思与感悟
再取区间(1,1.5)的中点x2＝1.25，用计算器算得f(1.25)≈－0.87.
因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25,1.5).
同理可得，x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375,1.437 5).
由于|1.375－1.437 5|＝0.062 5<0.1，
所以，原方程的近似解可取为1.437 5.
反思与感悟
反思与感悟
用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.
解析答案
跟踪训练1　用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点.
(精度0.01)
解　经试算f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0.
取(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，
因为f(1.5)·f(1.25)<0，所以x0∈(1.25,1.5).
如果继续下去，如下表：
区间 中点值 中点函数近似值
(1,1.5) 1.25 －0.30
(1.25,1.5) 1.375 0.22
(1.25,1.375) 1.312 5 －0.05
(1.312 5,1.375) 1.343 75 0.08
(1.312 5,1.343 75) 1.328 125 0.01
(1.312 5,1.328 125) 1.320 312 5 －0.02
因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5<0.01，
所以函数f(x)＝x3－x－1精度为0.01的一个近似零点可取为1.328 125.
解析答案
类型二　二分法思想的实际应用
例2　如果在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥所的电话线发生故障，这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？
解　如图，
如果他先从线段AB的中点C查找，用随身带的话机向两端测试，
若发现AC段正常，断定故障在BC段；
再查线段BC的中点D，若发现BD段正常，则故障在CD段；
再查线段CD的中点E……以此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半.
反思与感悟
反思与感悟
二分法的思想在实际生活中的应用十分广泛，在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用，在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用.
解析答案
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跟踪训练2　广州亚运会比赛所用的羽毛球是要经过严格检验的，但由于检验人员的疏忽，把一只已检验不合格(质量较小，不符合要求)的羽毛球装进了一比赛专用的羽毛球盒中(一盒12只)，现有一标准天平，你能尽快找出这只不合格的羽毛球吗？
解　只需用天平称3次就可以找出那只不合格的羽毛球.先把12只羽毛球分为两份，各6只，分放在天平的两端(不用砝码)，天平肯定不平衡，质量较小的一端含有不合格的羽毛球.
把含有不合格羽毛球的6只羽毛球分成两份，各3只，分放在天平的两端，同样质量较小的一端含有不合格的羽毛球.
再从含有不合格羽毛球的3只羽毛球中，任取两只放在天平的两端，
若天平不平衡，则质量较小的那一只为不合格的羽毛球；
若天平平衡，则不合格的羽毛球为未放入天平衡量的那一只.
1
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达标检测
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1.下列函数中，只能用二分法求其零点的是(　　)
A.y＝x＋7 B.y＝5x－1
C.y＝log3x D.y＝( )x－x
5
D
答案
2.观察下列函数的图像，判断能用二分法求其零点的是(　　)
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5
A
答案
3.方程2x－1＋x＝5的根所在的区间(　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
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C
答案
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5
B
答案
5.用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点x1＝ ＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是(　　)
A.(2,4) B.(2,3)
C.(3,4) D.无法确定
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B
答案
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规律与方法
1.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选
区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图像是连续的，且两端点函数值异号.
3.求函数零点的近似值时，所要求的精度不同，得到的结果也不相同.
4.二分法的实施步骤可以概括为一段口诀：
定区间，找中点，中值计算两边看.
同号去，异号算，零点落在异号间.
周而复始怎么办？精度上来判断.
本课结束