八年级数学上册试题 第一章 勾股定理 综合复习题-北师大版（含答案）

第一章 勾股定理 综合复习题
一、单选题
1．如果直角三角形的三边长分别是6、8、，则满足（　　　　）
A． B． C．或 D．以上答案都不对
2．某直角三角形的周长为30，且一条直角边长为5，则另一条直角边长为（ ）
A．3 B．4 C．12 D．13
3．下列各组数是勾股数的是（　　）
A．3，4，5 B．7，8，9 C．9，41，47 D．52，122，132
4．如图，分别以直角三角形三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，、表示，若，，则的值为（ ）．
A．9 B．12 C．16 D．18
5．下列说法正确的是（ ）．
A．若、、是的三边长，则
B．若、、是的三边长，则
C．若、、是的三边长，，则
D．若、、是的三边长，，则
6．如图所示，，为垂足，设，，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
7．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形通过该图形，可以验证公式（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m，顶端距离地面2m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m，那么小巷的宽度为（ ）
A．3.2m B．3.5m C．3.9m D．4m
9．如图，在中，，是边上一点，，，，则的长为（ ）
A． B． C．6 D．8
10．某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q、R处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿(　　)方向航行．
A．西南 B．东北 C．西北 D．东南
11．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则图中所有正方形的面积的和是（ ）
A． B． C． D．
12．七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小明将一个直角边长为的等腰直角三角形纸板，切割七块．正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为（　　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．△ABC三边长分别为2，3，，则△ABC的面积为______．
14．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长都为1，则△ABC是_____ 三角形．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若AB＝，则图中阴影部分的面积为______．
16．的周长为36 cm，且满足.点从点开始沿边向点以1 cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s|的速度移动若两点同时出发，则经过3 s后，的面积为_______.
17．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为_______（杯壁厚度不计）．
18．我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”大意为：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，葛生长在木下的一方，绕木7周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是______尺．(注：l丈等于10尺，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计)
19．如图是一个长方形零件示意图，已知在长为，宽为的长方形零件上有两个圆孔，与孔中心，的相关数据如图所示．则孔中心间的距离________．
20．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方行ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH,已知AM为Rt△ABM的较长直角边，AM＝EF，则正方形ABCD的面积为_______.
21．如图，在中，点、、分别在、、上，且，，，，，则______度．
22．如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为________________为直角三角形．
三、解答题
23．如图所示的四边形是张亮家的一块种小麦的田地.经测量边长为30米，边长为40米，边长为120米，边长为130米，，求这块地的面积.
24．如图，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D，求证：.
25．已知在如图的方格中，有一个格点三角形ABC（三个顶点均在格点上），其中，，
（1）请你在方格中画出该三角形；
（2）求的面积；
（3）求中AC边上的高的长（结果保留根号）．
26．如图，已知长方体的长，宽，高，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从点爬到点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？
27．中国机器人创意大赛于2014年7月15日在哈尔滨开幕．如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A处先往东走4m，又往北走1.5m，遇到障碍后又往西走2m，再转向北走4.5m处往东一拐，仅走0.5m就到达了B．问机器人从点A到点B之间的距离是多少？
28．在中，，.过点在外作直线，于，于．
（1）证明：；
（2）若，，.试利用此图验证勾股定理．
29．如图，，，，…分别表示各个三角形的面积，仔细观察，并认真分析各式，然后解答问题.
，；
，；
，；
……
（1）用含n（n是正整数）的式子表示和；
（2）若一个三角形的面积是，通过计算说明它是第几个三角形.
30．阅读理解：
（问题情境）
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
（探索新知）
从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．
从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×ab，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．
（初步运用）
（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝　 　；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为　 　；
（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．
（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝　 　．
（迁移运用）
如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？
带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
答案
一、单选题
C．C．A.C．D.C．C．C．A．C．D．B.
二、填空题
13．3.
14．直角
15．2.5．
16．18.
17．
18．29．
19．15
20．32
21．80．
22．3或2或．
三、解答题
23．
连接，由勾股定理得到，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，再根据三角形面积公式进行计算，即可得到答案.如图，连接.
在中，根据勾股定理是，
得.
在中，
因为，
所以为直角三角形，且.
所以（平方米）.
所以这块地的面积为3600平方米.
24．
连接AM得到三个直角三角形，运用勾股定理分别表示出AD 、AM 、BM 进行代换就可以最后得到所要证明的结果．证明：连接MA，
∵MD⊥AB，
∴AD2=AM2-MD2，BM2=BD2+MD2，
∵∠C=90°，
∴AM2=AC2+CM2
∵M为BC中点，
∴BM=MC．
∴AD2=AC2+BD2
25．
（1）根据，，来找出该三角形是三条边，然后顺次连接；
（2）三角形的面积矩形的面积三个小三角形的面积；
（3）由面积法来求中边上的高的长．解：（1）如图，作图（不含；
（2）；
（3）如图，过点作于点，则．
26．
要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．如图，
图1
图2 图3
根据题意，如图所示，路径有以下三种情况：
（1）沿，，，，，剪开，得图1，；
（2）沿，，，，，剪开，得图2，；
（3）沿，，，，，剪开，得图3，.
综上所述，最短路径应为图1所示，所以，即，因此最短路程是5cm.
27．过点B作BCAD于C，
所以AC=4﹣2+0．5=2．5m，BC=4．5+1．5=6m，
在直角△ABC中，AB为斜边，则m,
答：机器人从点A到点B之间的距离是m．
考点：勾股定理．
28．
（1）利用已知得出，根据全等三角形的判定可证，进而可得，，即可即可求证；
（2）根据题意利用，，继而即可求证．证明：（1）∵，于，于.
∴，，
∴，
在和中，，
∴（AAS），
∴，，
∴，
即；
（2）∵，
∴，，，
∴，
∵，
，
∴，
∴．
29．
（1）此题要利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现，第n个图形的一直角边就是，然后利用面积公式可得．
（2）把三角形的面积代入到（1）的公式即可解答.（1），.
（2）当时，，即，
所以它是第20个三角形.
30．（1）由题意：b=2a，c=，
∴小正方形面积：大正方形面积=5a2：9a2=5：9，
故答案为：5：9；
（2）空白部分的面积为=52﹣2××4×6=28，
故答案为：28；
（3）24÷4=6，
设AC=x，依题意有：（x+3）2+32=（6﹣x）2，
解得x=1，
∴面积为：×（3+1）×3×4
=×4×3×4
=24，
故该飞镖状图案的面积是24；
（4）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=40，
∴S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，
∴S1+S2+S3=3x+12y=40，
∴x+4y=，
∴S2=x+4y=，
故答案为：；
[迁移运用]结论：a2+b2﹣ab=c2．
理由：由题意：大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积，
可得：（a+b）×k（a+b）=3××b×ka+×c×ck，
∴（a+b）2=3ab+c2，
∴a2+b2﹣ab=c2．