《初中同步测控全优设计》2013-2014学年人教版七年级数学上册例题与讲解：第二章2.1 整式
文档属性
| 名称 | 《初中同步测控全优设计》2013-2014学年人教版七年级数学上册例题与讲解：第二章2.1 整式 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-11-06 21:15:30 | ||
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文档简介
2.1 整式
1．用字母表示数
(1)用字母表示数的意义
用字母表示数，字母和数一样可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来．
用字母表示数为叙述和研究问题带来很大方便，用字母表示数是代数的一个重要特点，是数学发展史上的一大进步．
①用字母表示数可以简明地表达数学运算律．
用字母简明地表示加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律、乘法分配律等．
②用字母表示数可以简明地表达公式、法则．
用字母表示三角形面积公式、正方形、长方形、圆及梯形的周长、面积等公式，分数运算法则等．
③用字母表示数可以简明地表达问题中的数量关系．
例如，有两个数，其中第二个数比第一个数小4.如果用字母a表示第一个数，则第二个数为a－4.
④用字母表示数可以简洁、准确地表达一些数学概念．
如用a与b表示互为相反数的两个数，则a＋b＝0；若a＋b＝0，则a与b互为相反数．
(2)用字母表示数应注意的问题
①字母的确定性：在同一个问题中，同一个字 ( http: / / www.21cnjy.com )母表示同一个量，不同的量要用不同的字母来表示；如长方形的长和宽要分别用a，b两个字母表示，面积用S表示，则有S＝ab.
②字母的限制性：用字母表示实际问题的某一数量时，字母的取值须使实际问题有意义；并且符合实际．
③字母具有一般性：用字母可以表示我们已经学过的和今后要学的任何一个数．
④字母的不确定性：同一个式子可以表示多种实际问题中的数量关系．
⑤字母的抽象性：要逐步理解和接受有些问题的结果可能就是一个用字母表示的式子．
(3)用字母表示数的书写规定
①含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写成“·”或省略不写．
字母与字母相乘时“×”省略，按字母表顺序书写，如m×n写成mn；相同字母写成幂的形式，
如a×a写成a2，(a＋b)×(a＋b)写成(a＋b)2.
数字与字母相乘时省略“×”，但数字要写在字母的前面，数字是带分数要化成假分数；如4×n写成4n,1×a要写成a.
数字与数字相乘时乘号不能省略，也不能写成“·”，仍用“×”．
②含有字母的式子中如果出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，即除号不用，改用分数线．
如s÷t写成，x÷2一般写成或x.
③式子后面有单位时，单位名称写在最后，若是和差形式的式子，要在单位前把式子括起来．
如t ℃升高2 ℃后是(t＋2) ℃，不能写成t＋2 ℃.
【例1－1】 列式子表示下列关系：
①全校学生总数是x，其中女生占总数的48%，则女生人数是__________，男生人数是__________；
②一辆长途汽车从杨柳村出发，3小时后到达相距s千米的溪河镇，这辆长途汽车的平均速度是__________；
③产量由m千克增长10%，就达到了__________千克；
④若三角形一边长为a，并且这边上的高为h，则这个三角形的面积为__________；
⑤有这样一组数字：3,6,9,12，…，则第n个数可表示为__________．
解析：列式子，可以将这个字母看作一个具体数 ( http: / / www.21cnjy.com )，只不过它不具体．④三角形面积等于二分之一底乘以高；⑤关键在于找到序号1,2,3，…n与数字之间的关系，此题成3倍关系．
答案：①48%x (1－48%)x ②千米/时
③(1＋10%)m ④ah ⑤3n
【例1－2】 式子2a＋b表示的实际意义是________________________________．
解析：同一个式子在不同问题中意义不同，因此本题答案不唯一，只要将a，b赋予实际意义即可．
答案：①工人甲每小时加工a个零件，工人乙每 ( http: / / www.21cnjy.com )小时加工b个零件，甲加工两小时，乙加工1小时共加工(2a＋b)个零件；②笔记本每本a元，钢笔每支b元，两本笔记本、一支钢笔共(2a＋b)元；…….
2．单项式
(1)定义：数或字母的积构成的式子，叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．
(2)理解：除单独的一个数以外，所有的单项式都可以分为两部分，一部分是数字因数，另一部分是字母因数(可以含有乘方运算)，如：n可以看作1×n，－可以看作－×ab等．
解技巧 判断单项式 判断是否是单项式主要抓住两点：①不能含有加减运算；②单项式中可以含有分母，但分母中一定不含有字母．
【例2】 判断下列各式哪些是单项式．
(1)；(2)abc；(3)b2；(4)－5ab2；(5)y；(6)x2y；(7)－5；(8).
分析：由单项式概念可知(2)～(7)都是，(1)字母x与1之间是和的运算，(8)中字母在分母上．
解：(2)(3)(4)(5)(6)(7)是单项式，(1)和(8)不是．
3．单项式的系数与次数
(1)系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
注意点：
①当单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写；
②圆周率π是常数；
③当单项式的系数是带分数时，必须写成假分数；
④单项式的系数应包括它前面的符号．
(2)次数：在一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
注意点：
①单项式的次数是所有字母的指数的和，且仅指字母的指数．
注意：单项式52x3y2的次数是5次的，52是系数，52的指数2不是字母的 指数，所以不算．
②当字母因数是单个的字母时，指数是1而不是0，切不可弄错．如5ab2中a的指数是1，单项式次数是3不是2.
【例3】 判断下列各式是否是单项式，如果不是，请说明理由；如果是，请指出它的系数和次数．
①x＋1；②；③πr2；④－a2b.
分析：①②不是单项式，是和、商，不是数字与字母的积，③④是，其中π，－是单项式中的数字因数，是系数．
解：①不是，因为原式中出现了加法运算；②不是，因为原式是2与y的商；
③是，它的系数是π，次数是2；
④是，它的系数是－，次数是3.
4.多项式
(1)定义：几个单项式的和叫做多项式．
(2)多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；
①名称：一个多项式含有几项，就叫几项式，
如：多项式3n4－2n2＋1有3n4，－2n2，＋1三项，称作三项式．
②注意：多项式中的每一项都带有符号，不论移动还是将来运算都要带着符号；
(3)次数：多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数．
①多项式的所有项中，哪项的次数最高，这项的次数就是(代表了)整个多项式的次数．
②要知道多项式的次数，前提 ( http: / / www.21cnjy.com )是必须了解每一项的次数；当一个多项式中的各项的次数都相同(不存在哪一项的次数最高)，或次数最高的项有多个时，任取某一项的次数作为这个多项式的次数．如多项式a2＋2ab＋b2的次数是2.
③在多项式中，一个项的次数是几，就称它为几次项．如：多项式3n4－2n2＋1中3n4称为四次项，－2n2称为二次项，＋1为常数项．
谈重点 多项式的系数和次数 ①系数：多项式是由单项式构成的，因此对于多项式中的每一项，都有次数和系数(常数项除外)，但多项式没有系数概念；②次数：对于多项式，多项式中的项，单项式都有次数，它们之间既有区别也有联系；③方法：合为多项式，分为单项式，判断一个多项式的项的构成，一般类比数的运算：看作省略括号和加号的形式去判断，只看作是性质符号，不看作运算符号．
【例4－1】 指出下列多项式的项和次数：
(1)3x－1＋3x2；(2)4x3＋2x－2y2.
分析：注意两点：①构成多项式的每一个单项式就是多项式的项，注意要带着符号；②次数最高那项的次数就是这个多项式的次数．
解：(1)有3x，－1，＋3x2三项，其中＋3x2这项的次数是2次的，最高，所以这个多项式的次数是2.
(2)有4x3，＋2x，－2y2三项，其中4x3的次数最高，是3次，所以这个多项式的次数是3.
【例4－2】 指出下列多项式是几次几项式，并分别指出其中的二次项．
(1)x3－2x2＋5x－1；(2)x3－2x2y2＋3y2.
分析：①多项式中由几项构成就称为几项式，次数是几就是几次式；二次项是指构成多项式的项中，次数为2的单项式，并且有几个写几个．
解：(1)x3－2x2＋5x－1有x3，－2x2，＋5x，－1四项，且次数是3，所以是三次四项式；二次项是－2x2.
(2)x3－2x2y2＋3y2是四次三项式；二次项是3y2.
几次几项式中的数字要大写，不能用阿拉伯数字哦！
5．整式
(1)定义：单项式与多项式统称整式．
(2)理解：
①整式包括单项式和多项式两类，类似于整数和分数统称为有理数一样．
②是整式不一定是单项式(多项式)，但是单项式或多项式一定是整式．
【例5】 下列式子中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
x2＋5，－1，x2－3x＋2，π，，x2＋，.
分析：根据概念：－1，π，是单项式，x2＋5，x2－3x＋2是多项式，单项式和多项式都是整式，因，x2＋中含有数字(字母)除以字母，所以不是单项式也不是多项式，也就不是整式．
解：单项式有：－1，π，；
多项式有：x2＋5，x2－3x＋2；
整式有：－1，π，，x2＋5，x2－3x＋2.
6．单项式系数情况汇总
单项式中的系数一般包括下面几种情况：
(1)省略系数情况：当系数是1或－1时，省略了系数1或－1，但不能说没系数．如：ab的系数是1，－ab的系数是－1.
(2)分数系数：当写作xy3形式时，比较容易确定，当写作－这种形式时，它的实质是－·xy，应注意区别．
(3)用科学记数法表示的系数：如：3×105a2b，它的系数是3×105，其中指数5不是单项式中的次数．
(4)π作系数：因为π是一个常数，所以π是系数，不是字母；
(5)整数或小数系数(或百分数)：一般较好辨认，其中的数字部分就是系数．
【例6－1】 指出下列单项式的系数．
(1)4x；(2)－；(3)－3 ( http: / / www.21cnjy.com ).2×103x2y；(4)－；(5)－4.3x2y；(6)－3a2bc；(7)xy2；(8)－20%a；(9)2×103a；(10)2πR2.
解：系数分别是：(1)4；(2)－；(3)－3.2×103；(4)－；(5)－4.3；(6)－3；(7)1；(8)－20%；(9)2×103；(10)2π.
【例6－2】 下列说法正确的是( )．
A．5y＋1是单项式
B．单项式的系数是2
C．单项式的系数是
D．单项式4xy2是二次单项式
答案：C
【例6－3】 写出一个系数为，关于x，y的四次单项式．
解：答案不唯一，只要符合要求即可，如：xy3，x2y2，….
7.多项式应用方法归类
多项式的应用和单项式的应用一样，重点在于概念的把握，它的应用主要分为两类，一是基础应用：考查多项式的识别，或在已知一个多项式的前提下，认定多项式的次数、项、是几次几项式、认定各项系数、次数等；二是变化应用，根据要求写出符合条件的多项式，或已知多项式具备某些特征，通过具备的特征，判断多项式中未知数的系数，未知的指数应具备的特点，从而通过列式求未知数的值，这些题目，一般具有灵活性特点，要综合分析判断，很多时候具有开放性．
解技巧 列多项式 紧紧抓住定义和要求，写出符合题意的式子，或根据题意列出关系式，从而判断字母的取值情况．
【例7－1】 多项式－3xy＋5x ( http: / / www.21cnjy.com )3y－2x2y3＋5是__________次__________项式，最高次项的系数是__________，二次项是__________，常数项是__________．
解析：多项式中次数最高项的次数就代表了多项式 ( http: / / www.21cnjy.com )的次数，有几项就是几项式，在所有项中次数最高的是5次，有4项，所以是五次四项式，最高次项是－2x2y3，所以系数就是－2，次数是2的项是－3xy,5是常数项．
答案：五 四 －2 －3xy 5
【例7－2】 写出一个多项式，使它的项数是3，次数是4.
分析：根据定义，写出符合要求的式子，字母不限，也可以有两个或三个4次项．
解：答案不唯一，如：2x4－3x2＋1,3x2y2－4xy＋1，….
【例7－3】 已知n是自然数，多项式yn＋1＋3x3－2x是三次三项式，那么n可以是哪些数？
分析：已知多项式是三次三项式，由题目可知，yn＋1项的次数不能超过3，即n＋1的值不能超过3，n又是自然数，所以n＝0或1或2.
解：n可以是0,1,2.
8．多项式的排列
当多项式的项较多时，为了容 ( http: / / www.21cnjy.com )易识别，我们一般将多项式按某一字母的次数由高到低或由低到高进行排列，由低到高排列叫做升幂排列，由高到低排列叫做降幂排列；
(1)根据加法交换律交换项的位置，所以排列后的多项式的值不变，注意：在排列过程中交换加数(即项)的位置时一定要连同项的符号一起交换；
(2)不论升幂排列还是降 ( http: / / www.21cnjy.com )幂排列都是按其中某一个字母的次数的高低排列，而不是按项的次数的高低，当只有一个字母时，因字母的次数就是项的次数，所以按次数排列和按字母次数排列一样．
【例8－1】 将下列各式按x的升幂排列．
(1)x3＋4x－7－2x4；
(2)6x4－2xy3＋3x3y－4x2y2＋5y4.
分析：按x的升幂排列就是按x的次数从低到高排列，不用考虑y的次数，(2)题5y4项中不含x，所以这项中的x的次数最低．
解：(1)－7＋4x＋x3－2x4；
(2)5y4－2xy3－4x2y2＋3x3y＋6x4.
【例8－2】 将多项式－x3－xy2＋2yx2＋3y3按y的降幂排列正确的是( )．
A．－3y3－xy2＋2yx2＋x3
B．－x3＋2yx2－xy2＋3y3
C．3y3－xy2＋2yx2－x3
D．3y3－x3－xy2＋2yx2
解析：是按字母y的指数从高到低排列，并 ( http: / / www.21cnjy.com )且在排列过程中一定要带着项的符号移动项的位置，A符号错，B按x的降幂排列，D顺序错乱，只有C符合要求．
答案：C
9.顺水、逆水行驶问题
轮船在河流中行驶，由于水流本身的速度，实际速度要受到水流速度的影响，因此轮船在水流中的行驶就分三种情况：顺水行驶、逆水行驶、静水行驶，因此速度也就有四种速度：静水速度(v静)、逆水速度(v逆)、顺水速度(v顺)，水流速度(v水)，并且四个速度之间存在着内在的联系：
①v顺＝v静＋v水；②v逆＝v静－v水；③v水＝v顺－v静＝v静－v逆＝(v顺－v逆)．
【例9－1】 飞机无风时的飞行速度为a ( http: / / www.21cnjy.com )千米/时，风速为20千米/时．(1)飞机顺风飞行的速度是__________千米/时；飞机逆风飞行的速度是__________千米/时；
(2)飞机顺风飞行4小时的行程是__________千米；飞机逆风飞行3小时的行程是__________千米．
答案：(1)(a＋20) (a－20) (2)4(a＋20) 3(a－20)
【例9－2】 已知某轮船顺水航行的速度是40千米/时，逆水航行的速度是36千米/时，你能求出水流速度吗？若不能，请说明理由，若能，是多少？
分析：由v水＝(v顺－v逆)可知，水流速度＝(顺水速度－逆水速度)÷2＝(40－36)÷2＝2(千米/时)，所以能求出水流速度．
解：能，水流速度＝(40－36)÷2＝2(千米/时)．
10.用单项式、多项式概念的判定作用求未知数的值
数学中的概念是通过事物的特征下的定 ( http: / / www.21cnjy.com )义，因此还具有判定特征的作用，即，在知道是某种事物的前提下，我们又可以知道这种事物必备的特点，因此在整式的应用中，我们可以通过概念规定的条件，在知道是某种式子的前提下，推理认识它所具备的性质，从而通过列式，求出某些未知数的值．如：由单项式－2x4可知它的系数是－2，次数是4，反过来若知道－axm的系数是－2、次数是4，就可以知道－a＝－2，m＝4，从而求出a＝2，多项式的运用也是如此．
【例10－1】 如果－5xym－1为4次单项式，则m＝__________.
解析：因为－5xym－1是4次单项式，所以x，y的指数和应是4，x的指数是1，y的指数就是3，所以m－1＝3，所以m＝4.
答案：4
【例10－2】 已知多项式5xmy2－(m－2)xy－3x，如果它的次数为4次，则m应为多少？如果多项式只有两项，则m为多少？
分析：①次数最高项的次数是多项式的次数， ( http: / / www.21cnjy.com )在已知的多项式中只有5xmy2次数能成为多项式的次数，所以m＋2应该等于4，因此，m＝2时，多项式的次数就是4次；②如果多项式是二项式，只有－(m－2)xy这项不存在才可以，所以这项的系数只能是0，即－(m－2)＝0，因此当m＝2时，这项的系数是0，所以m＝2.
解：如果多项式的次数为4次，则m应是2；如果多项式只有两项，则m也是2.
1．用字母表示数
(1)用字母表示数的意义
用字母表示数，字母和数一样可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来．
用字母表示数为叙述和研究问题带来很大方便，用字母表示数是代数的一个重要特点，是数学发展史上的一大进步．
①用字母表示数可以简明地表达数学运算律．
用字母简明地表示加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律、乘法分配律等．
②用字母表示数可以简明地表达公式、法则．
用字母表示三角形面积公式、正方形、长方形、圆及梯形的周长、面积等公式，分数运算法则等．
③用字母表示数可以简明地表达问题中的数量关系．
例如，有两个数，其中第二个数比第一个数小4.如果用字母a表示第一个数，则第二个数为a－4.
④用字母表示数可以简洁、准确地表达一些数学概念．
如用a与b表示互为相反数的两个数，则a＋b＝0；若a＋b＝0，则a与b互为相反数．
(2)用字母表示数应注意的问题
①字母的确定性：在同一个问题中，同一个字 ( http: / / www.21cnjy.com )母表示同一个量，不同的量要用不同的字母来表示；如长方形的长和宽要分别用a，b两个字母表示，面积用S表示，则有S＝ab.
②字母的限制性：用字母表示实际问题的某一数量时，字母的取值须使实际问题有意义；并且符合实际．
③字母具有一般性：用字母可以表示我们已经学过的和今后要学的任何一个数．
④字母的不确定性：同一个式子可以表示多种实际问题中的数量关系．
⑤字母的抽象性：要逐步理解和接受有些问题的结果可能就是一个用字母表示的式子．
(3)用字母表示数的书写规定
①含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写成“·”或省略不写．
字母与字母相乘时“×”省略，按字母表顺序书写，如m×n写成mn；相同字母写成幂的形式，
如a×a写成a2，(a＋b)×(a＋b)写成(a＋b)2.
数字与字母相乘时省略“×”，但数字要写在字母的前面，数字是带分数要化成假分数；如4×n写成4n,1×a要写成a.
数字与数字相乘时乘号不能省略，也不能写成“·”，仍用“×”．
②含有字母的式子中如果出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，即除号不用，改用分数线．
如s÷t写成，x÷2一般写成或x.
③式子后面有单位时，单位名称写在最后，若是和差形式的式子，要在单位前把式子括起来．
如t ℃升高2 ℃后是(t＋2) ℃，不能写成t＋2 ℃.
【例1－1】 列式子表示下列关系：
①全校学生总数是x，其中女生占总数的48%，则女生人数是__________，男生人数是__________；
②一辆长途汽车从杨柳村出发，3小时后到达相距s千米的溪河镇，这辆长途汽车的平均速度是__________；
③产量由m千克增长10%，就达到了__________千克；
④若三角形一边长为a，并且这边上的高为h，则这个三角形的面积为__________；
⑤有这样一组数字：3,6,9,12，…，则第n个数可表示为__________．
解析：列式子，可以将这个字母看作一个具体数 ( http: / / www.21cnjy.com )，只不过它不具体．④三角形面积等于二分之一底乘以高；⑤关键在于找到序号1,2,3，…n与数字之间的关系，此题成3倍关系．
答案：①48%x (1－48%)x ②千米/时
③(1＋10%)m ④ah ⑤3n
【例1－2】 式子2a＋b表示的实际意义是________________________________．
解析：同一个式子在不同问题中意义不同，因此本题答案不唯一，只要将a，b赋予实际意义即可．
答案：①工人甲每小时加工a个零件，工人乙每 ( http: / / www.21cnjy.com )小时加工b个零件，甲加工两小时，乙加工1小时共加工(2a＋b)个零件；②笔记本每本a元，钢笔每支b元，两本笔记本、一支钢笔共(2a＋b)元；…….
2．单项式
(1)定义：数或字母的积构成的式子，叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．
(2)理解：除单独的一个数以外，所有的单项式都可以分为两部分，一部分是数字因数，另一部分是字母因数(可以含有乘方运算)，如：n可以看作1×n，－可以看作－×ab等．
解技巧 判断单项式 判断是否是单项式主要抓住两点：①不能含有加减运算；②单项式中可以含有分母，但分母中一定不含有字母．
【例2】 判断下列各式哪些是单项式．
(1)；(2)abc；(3)b2；(4)－5ab2；(5)y；(6)x2y；(7)－5；(8).
分析：由单项式概念可知(2)～(7)都是，(1)字母x与1之间是和的运算，(8)中字母在分母上．
解：(2)(3)(4)(5)(6)(7)是单项式，(1)和(8)不是．
3．单项式的系数与次数
(1)系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
注意点：
①当单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写；
②圆周率π是常数；
③当单项式的系数是带分数时，必须写成假分数；
④单项式的系数应包括它前面的符号．
(2)次数：在一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
注意点：
①单项式的次数是所有字母的指数的和，且仅指字母的指数．
注意：单项式52x3y2的次数是5次的，52是系数，52的指数2不是字母的 指数，所以不算．
②当字母因数是单个的字母时，指数是1而不是0，切不可弄错．如5ab2中a的指数是1，单项式次数是3不是2.
【例3】 判断下列各式是否是单项式，如果不是，请说明理由；如果是，请指出它的系数和次数．
①x＋1；②；③πr2；④－a2b.
分析：①②不是单项式，是和、商，不是数字与字母的积，③④是，其中π，－是单项式中的数字因数，是系数．
解：①不是，因为原式中出现了加法运算；②不是，因为原式是2与y的商；
③是，它的系数是π，次数是2；
④是，它的系数是－，次数是3.
4.多项式
(1)定义：几个单项式的和叫做多项式．
(2)多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；
①名称：一个多项式含有几项，就叫几项式，
如：多项式3n4－2n2＋1有3n4，－2n2，＋1三项，称作三项式．
②注意：多项式中的每一项都带有符号，不论移动还是将来运算都要带着符号；
(3)次数：多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数．
①多项式的所有项中，哪项的次数最高，这项的次数就是(代表了)整个多项式的次数．
②要知道多项式的次数，前提 ( http: / / www.21cnjy.com )是必须了解每一项的次数；当一个多项式中的各项的次数都相同(不存在哪一项的次数最高)，或次数最高的项有多个时，任取某一项的次数作为这个多项式的次数．如多项式a2＋2ab＋b2的次数是2.
③在多项式中，一个项的次数是几，就称它为几次项．如：多项式3n4－2n2＋1中3n4称为四次项，－2n2称为二次项，＋1为常数项．
谈重点 多项式的系数和次数 ①系数：多项式是由单项式构成的，因此对于多项式中的每一项，都有次数和系数(常数项除外)，但多项式没有系数概念；②次数：对于多项式，多项式中的项，单项式都有次数，它们之间既有区别也有联系；③方法：合为多项式，分为单项式，判断一个多项式的项的构成，一般类比数的运算：看作省略括号和加号的形式去判断，只看作是性质符号，不看作运算符号．
【例4－1】 指出下列多项式的项和次数：
(1)3x－1＋3x2；(2)4x3＋2x－2y2.
分析：注意两点：①构成多项式的每一个单项式就是多项式的项，注意要带着符号；②次数最高那项的次数就是这个多项式的次数．
解：(1)有3x，－1，＋3x2三项，其中＋3x2这项的次数是2次的，最高，所以这个多项式的次数是2.
(2)有4x3，＋2x，－2y2三项，其中4x3的次数最高，是3次，所以这个多项式的次数是3.
【例4－2】 指出下列多项式是几次几项式，并分别指出其中的二次项．
(1)x3－2x2＋5x－1；(2)x3－2x2y2＋3y2.
分析：①多项式中由几项构成就称为几项式，次数是几就是几次式；二次项是指构成多项式的项中，次数为2的单项式，并且有几个写几个．
解：(1)x3－2x2＋5x－1有x3，－2x2，＋5x，－1四项，且次数是3，所以是三次四项式；二次项是－2x2.
(2)x3－2x2y2＋3y2是四次三项式；二次项是3y2.
几次几项式中的数字要大写，不能用阿拉伯数字哦！
5．整式
(1)定义：单项式与多项式统称整式．
(2)理解：
①整式包括单项式和多项式两类，类似于整数和分数统称为有理数一样．
②是整式不一定是单项式(多项式)，但是单项式或多项式一定是整式．
【例5】 下列式子中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
x2＋5，－1，x2－3x＋2，π，，x2＋，.
分析：根据概念：－1，π，是单项式，x2＋5，x2－3x＋2是多项式，单项式和多项式都是整式，因，x2＋中含有数字(字母)除以字母，所以不是单项式也不是多项式，也就不是整式．
解：单项式有：－1，π，；
多项式有：x2＋5，x2－3x＋2；
整式有：－1，π，，x2＋5，x2－3x＋2.
6．单项式系数情况汇总
单项式中的系数一般包括下面几种情况：
(1)省略系数情况：当系数是1或－1时，省略了系数1或－1，但不能说没系数．如：ab的系数是1，－ab的系数是－1.
(2)分数系数：当写作xy3形式时，比较容易确定，当写作－这种形式时，它的实质是－·xy，应注意区别．
(3)用科学记数法表示的系数：如：3×105a2b，它的系数是3×105，其中指数5不是单项式中的次数．
(4)π作系数：因为π是一个常数，所以π是系数，不是字母；
(5)整数或小数系数(或百分数)：一般较好辨认，其中的数字部分就是系数．
【例6－1】 指出下列单项式的系数．
(1)4x；(2)－；(3)－3 ( http: / / www.21cnjy.com ).2×103x2y；(4)－；(5)－4.3x2y；(6)－3a2bc；(7)xy2；(8)－20%a；(9)2×103a；(10)2πR2.
解：系数分别是：(1)4；(2)－；(3)－3.2×103；(4)－；(5)－4.3；(6)－3；(7)1；(8)－20%；(9)2×103；(10)2π.
【例6－2】 下列说法正确的是( )．
A．5y＋1是单项式
B．单项式的系数是2
C．单项式的系数是
D．单项式4xy2是二次单项式
答案：C
【例6－3】 写出一个系数为，关于x，y的四次单项式．
解：答案不唯一，只要符合要求即可，如：xy3，x2y2，….
7.多项式应用方法归类
多项式的应用和单项式的应用一样，重点在于概念的把握，它的应用主要分为两类，一是基础应用：考查多项式的识别，或在已知一个多项式的前提下，认定多项式的次数、项、是几次几项式、认定各项系数、次数等；二是变化应用，根据要求写出符合条件的多项式，或已知多项式具备某些特征，通过具备的特征，判断多项式中未知数的系数，未知的指数应具备的特点，从而通过列式求未知数的值，这些题目，一般具有灵活性特点，要综合分析判断，很多时候具有开放性．
解技巧 列多项式 紧紧抓住定义和要求，写出符合题意的式子，或根据题意列出关系式，从而判断字母的取值情况．
【例7－1】 多项式－3xy＋5x ( http: / / www.21cnjy.com )3y－2x2y3＋5是__________次__________项式，最高次项的系数是__________，二次项是__________，常数项是__________．
解析：多项式中次数最高项的次数就代表了多项式 ( http: / / www.21cnjy.com )的次数，有几项就是几项式，在所有项中次数最高的是5次，有4项，所以是五次四项式，最高次项是－2x2y3，所以系数就是－2，次数是2的项是－3xy,5是常数项．
答案：五 四 －2 －3xy 5
【例7－2】 写出一个多项式，使它的项数是3，次数是4.
分析：根据定义，写出符合要求的式子，字母不限，也可以有两个或三个4次项．
解：答案不唯一，如：2x4－3x2＋1,3x2y2－4xy＋1，….
【例7－3】 已知n是自然数，多项式yn＋1＋3x3－2x是三次三项式，那么n可以是哪些数？
分析：已知多项式是三次三项式，由题目可知，yn＋1项的次数不能超过3，即n＋1的值不能超过3，n又是自然数，所以n＝0或1或2.
解：n可以是0,1,2.
8．多项式的排列
当多项式的项较多时，为了容 ( http: / / www.21cnjy.com )易识别，我们一般将多项式按某一字母的次数由高到低或由低到高进行排列，由低到高排列叫做升幂排列，由高到低排列叫做降幂排列；
(1)根据加法交换律交换项的位置，所以排列后的多项式的值不变，注意：在排列过程中交换加数(即项)的位置时一定要连同项的符号一起交换；
(2)不论升幂排列还是降 ( http: / / www.21cnjy.com )幂排列都是按其中某一个字母的次数的高低排列，而不是按项的次数的高低，当只有一个字母时，因字母的次数就是项的次数，所以按次数排列和按字母次数排列一样．
【例8－1】 将下列各式按x的升幂排列．
(1)x3＋4x－7－2x4；
(2)6x4－2xy3＋3x3y－4x2y2＋5y4.
分析：按x的升幂排列就是按x的次数从低到高排列，不用考虑y的次数，(2)题5y4项中不含x，所以这项中的x的次数最低．
解：(1)－7＋4x＋x3－2x4；
(2)5y4－2xy3－4x2y2＋3x3y＋6x4.
【例8－2】 将多项式－x3－xy2＋2yx2＋3y3按y的降幂排列正确的是( )．
A．－3y3－xy2＋2yx2＋x3
B．－x3＋2yx2－xy2＋3y3
C．3y3－xy2＋2yx2－x3
D．3y3－x3－xy2＋2yx2
解析：是按字母y的指数从高到低排列，并 ( http: / / www.21cnjy.com )且在排列过程中一定要带着项的符号移动项的位置，A符号错，B按x的降幂排列，D顺序错乱，只有C符合要求．
答案：C
9.顺水、逆水行驶问题
轮船在河流中行驶，由于水流本身的速度，实际速度要受到水流速度的影响，因此轮船在水流中的行驶就分三种情况：顺水行驶、逆水行驶、静水行驶，因此速度也就有四种速度：静水速度(v静)、逆水速度(v逆)、顺水速度(v顺)，水流速度(v水)，并且四个速度之间存在着内在的联系：
①v顺＝v静＋v水；②v逆＝v静－v水；③v水＝v顺－v静＝v静－v逆＝(v顺－v逆)．
【例9－1】 飞机无风时的飞行速度为a ( http: / / www.21cnjy.com )千米/时，风速为20千米/时．(1)飞机顺风飞行的速度是__________千米/时；飞机逆风飞行的速度是__________千米/时；
(2)飞机顺风飞行4小时的行程是__________千米；飞机逆风飞行3小时的行程是__________千米．
答案：(1)(a＋20) (a－20) (2)4(a＋20) 3(a－20)
【例9－2】 已知某轮船顺水航行的速度是40千米/时，逆水航行的速度是36千米/时，你能求出水流速度吗？若不能，请说明理由，若能，是多少？
分析：由v水＝(v顺－v逆)可知，水流速度＝(顺水速度－逆水速度)÷2＝(40－36)÷2＝2(千米/时)，所以能求出水流速度．
解：能，水流速度＝(40－36)÷2＝2(千米/时)．
10.用单项式、多项式概念的判定作用求未知数的值
数学中的概念是通过事物的特征下的定 ( http: / / www.21cnjy.com )义，因此还具有判定特征的作用，即，在知道是某种事物的前提下，我们又可以知道这种事物必备的特点，因此在整式的应用中，我们可以通过概念规定的条件，在知道是某种式子的前提下，推理认识它所具备的性质，从而通过列式，求出某些未知数的值．如：由单项式－2x4可知它的系数是－2，次数是4，反过来若知道－axm的系数是－2、次数是4，就可以知道－a＝－2，m＝4，从而求出a＝2，多项式的运用也是如此．
【例10－1】 如果－5xym－1为4次单项式，则m＝__________.
解析：因为－5xym－1是4次单项式，所以x，y的指数和应是4，x的指数是1，y的指数就是3，所以m－1＝3，所以m＝4.
答案：4
【例10－2】 已知多项式5xmy2－(m－2)xy－3x，如果它的次数为4次，则m应为多少？如果多项式只有两项，则m为多少？
分析：①次数最高项的次数是多项式的次数， ( http: / / www.21cnjy.com )在已知的多项式中只有5xmy2次数能成为多项式的次数，所以m＋2应该等于4，因此，m＝2时，多项式的次数就是4次；②如果多项式是二项式，只有－(m－2)xy这项不存在才可以，所以这项的系数只能是0，即－(m－2)＝0，因此当m＝2时，这项的系数是0，所以m＝2.
解：如果多项式的次数为4次，则m应是2；如果多项式只有两项，则m也是2.