人教版数学八年级上册 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线导学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线导学案（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 107.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-25 19:53:44 | ||
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文档简介
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
学习目标
1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念.
2.准确区分三角形的高、中线与角平分线.
3.掌握与三角形的高、中线和角平分线有关的计算.
学习策略
1.结合实际区分三角形的高、中线和角平分线；
2.学生自助探索三角形的高、中线与角平分线的交点情况.
学习过程
一.复习回顾：
知识点：三角形的中线、高、角平分线
阅读教材11.1.2的内容，完成下列问题
1.填表.
定义 图形 应用
三角形的高 如图1，从△ABC的顶点A向对边BC 画垂线，垂足为D，所得 叫做△ABC的边BC上的高 因为AD是△ABC的边BC上的高线，所以AD⊥BC于D，∠ADB=∠ADC=
三角形的中线 如图2，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的 E，所得线段AE叫做△ABC的边BC上的中线 因为AE是△ABC的边BC上的中线，所以BE= =BC
三角形的角平分线 如图3，画∠A的平分线AF，交∠A所对的边BC于点F，所得线段AF叫做△ABC的 因为AF是△ABC的∠BAC的平分线，所以∠BAF=∠CAF = ∠BAC
【答案】所在的直线，线段AD，90°；中点，EC；角平分线，
2.三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的 .
【答案】重心
讨论
1.上表中的图2，△ABE与△AEC的面积有什么关系 为什么
【答案】面积相等；因为等底同高.
2.一个三角形中有几条高线 几条中线 几条角平分线 它们分别有什么关系
【答案】有三条高线、三条角平分线、三条中线.一个三角形的三条中线相交于一点；一个三角形的三条角平分线相交于一点；一个三角形的三条高线所在的直线相交于一点.
三.尝试应用：
例1如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，
（1）在△BED中作BD边上的高EF；
（2）若△ABC的面积为60，BD=5，求EF的长。
解：（1）
（2）解：因为AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，
所以S△ABD=S△ABC，S△BDE=S△ABD，所以S△BDE=S△ABC，
因为△ABC的面积为60，BD=5，
所以×5×EF=15，所以EF=6．
例2在△ABC中，已知∠A = 50°, BE , CF分别是∠ABC，∠ACB的平分线，相交于点P.∠ABP = 21°,求∠BCP的度数.
解：因为BE 平分∠ABC，∠ABE ＝ 21°，
所以∠ABC ＝ 2×21°＝ 42° .
因为∠A+∠ABC+∠BCA ＝ 180°，∠A＝50°，
所以∠BCA ＝ 180°-50°-42°＝88° .
因为CF 平分∠BCA，
所以∠BCP＝1/2∠BCA ＝ 44° .
四.自主总结：
1.本节课学习了三角形的角平分线、高、中线的定义，位置及相关性质；
2.会利用中线、高线和角平分线进行推理计算.
五.达标测试
1.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是( )
2. 如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．不能确定
3. 如果AD是△ABC的中线，那么下列结论一定成立的有（ ）
①BD=CD；②AB=AC；③S△ABD=S△ABC．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4. ①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于一点；④三条高必在三角形内.其中正确的是( )
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
5.如图，D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，那么下列说法中不正确的是( )
A.DE是△BCD的中线 B.BD是△ABC的中线
C.AD＝DC，BE＝EC D.AD＝EC，DC＝BE
二、填空题
6. 如图，AD⊥BC于点D，则以AD为高的三角形有 个．
7.AD是△ABC的中线，G是AD上的一点，且AG=2GD，连接BG，若S△ABC=6，则图中阴影部分面积是_______．
8.图，AD，CE是△ABC的高，已知AD=10，CE=9，AB=12，则BC=_________．
三、解答题
9.E是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°,∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.
10.ABC中，AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．
参考答案
1. D
2.A 解析：因为BD是△ABC的中线，所以AD=CD，所以△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）-（BC+BD+CD）=AB-BC=5-3=2．
3.B 解析：因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD=BC，故①正确；因为AD与BC不一定互相垂直，所以AB与AC不一定相等，故②错误；设△ABC中BC边上的高为h，则S△ABD= BD h= BC h=S△ABC，故③正确．
4. B解析①三角形的中线、角平分线、高都是线段，说法正确；
②三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高不一定相交，故三条高必交于一点的说法错误；
③三条角平分线必交于一点，说法正确；
④锐角三角形的三条高在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．故三条高必在三角形内的说法错误；故选：B．
5. D解析因为D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，
所以DE是△BCD的中线；BD是△ABC的中线；AD=DC，BE=EC；DE是△BCD的中线，不是△ABC的中线．观察选项，只有选项D符合题意；故选：D．
6. 6解析因为AD⊥BC，所以以AD为高的三角形有△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△ACE共6个
7. 解析：因为S△ABC=6，所以S△ABD=3，因为AG=2GD，所以S△ABG=2.
8. 解析：所以△ABC的面积=AB CE=BC AD，所以AB CE=BC AD，因为AD=10，CE=9，AB=12，所以BC==．
9.
10. 解：因为AD是BC边上的中线，AC=2BC，所以BD=CD，设BD=CD=x，AB=y，则AC=4x，分为两种情况：
AC+CD=60，AB+BD=40，则
4x+x=60， x=12
x+y=40，解得， y=28， 即AC=4x=48，AB=28；
②AC+CD=40，AB+BD=60，则
4x+x=40， x=8，
x+y=60，解得, y=52， 即AC=4x=32，AB=52，BC=2x=16，此时不符合三角形三边关系定理；综合上述：AC=48，AB=28．
学习目标
1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念.
2.准确区分三角形的高、中线与角平分线.
3.掌握与三角形的高、中线和角平分线有关的计算.
学习策略
1.结合实际区分三角形的高、中线和角平分线；
2.学生自助探索三角形的高、中线与角平分线的交点情况.
学习过程
一.复习回顾：
知识点：三角形的中线、高、角平分线
阅读教材11.1.2的内容，完成下列问题
1.填表.
定义 图形 应用
三角形的高 如图1，从△ABC的顶点A向对边BC 画垂线，垂足为D，所得 叫做△ABC的边BC上的高 因为AD是△ABC的边BC上的高线，所以AD⊥BC于D，∠ADB=∠ADC=
三角形的中线 如图2，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的 E，所得线段AE叫做△ABC的边BC上的中线 因为AE是△ABC的边BC上的中线，所以BE= =BC
三角形的角平分线 如图3，画∠A的平分线AF，交∠A所对的边BC于点F，所得线段AF叫做△ABC的 因为AF是△ABC的∠BAC的平分线，所以∠BAF=∠CAF = ∠BAC
【答案】所在的直线，线段AD，90°；中点，EC；角平分线，
2.三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的 .
【答案】重心
讨论
1.上表中的图2，△ABE与△AEC的面积有什么关系 为什么
【答案】面积相等；因为等底同高.
2.一个三角形中有几条高线 几条中线 几条角平分线 它们分别有什么关系
【答案】有三条高线、三条角平分线、三条中线.一个三角形的三条中线相交于一点；一个三角形的三条角平分线相交于一点；一个三角形的三条高线所在的直线相交于一点.
三.尝试应用：
例1如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，
（1）在△BED中作BD边上的高EF；
（2）若△ABC的面积为60，BD=5，求EF的长。
解：（1）
（2）解：因为AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，
所以S△ABD=S△ABC，S△BDE=S△ABD，所以S△BDE=S△ABC，
因为△ABC的面积为60，BD=5，
所以×5×EF=15，所以EF=6．
例2在△ABC中，已知∠A = 50°, BE , CF分别是∠ABC，∠ACB的平分线，相交于点P.∠ABP = 21°,求∠BCP的度数.
解：因为BE 平分∠ABC，∠ABE ＝ 21°，
所以∠ABC ＝ 2×21°＝ 42° .
因为∠A+∠ABC+∠BCA ＝ 180°，∠A＝50°，
所以∠BCA ＝ 180°-50°-42°＝88° .
因为CF 平分∠BCA，
所以∠BCP＝1/2∠BCA ＝ 44° .
四.自主总结：
1.本节课学习了三角形的角平分线、高、中线的定义，位置及相关性质；
2.会利用中线、高线和角平分线进行推理计算.
五.达标测试
1.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是( )
2. 如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．不能确定
3. 如果AD是△ABC的中线，那么下列结论一定成立的有（ ）
①BD=CD；②AB=AC；③S△ABD=S△ABC．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4. ①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于一点；④三条高必在三角形内.其中正确的是( )
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
5.如图，D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，那么下列说法中不正确的是( )
A.DE是△BCD的中线 B.BD是△ABC的中线
C.AD＝DC，BE＝EC D.AD＝EC，DC＝BE
二、填空题
6. 如图，AD⊥BC于点D，则以AD为高的三角形有 个．
7.AD是△ABC的中线，G是AD上的一点，且AG=2GD，连接BG，若S△ABC=6，则图中阴影部分面积是_______．
8.图，AD，CE是△ABC的高，已知AD=10，CE=9，AB=12，则BC=_________．
三、解答题
9.E是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°,∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.
10.ABC中，AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．
参考答案
1. D
2.A 解析：因为BD是△ABC的中线，所以AD=CD，所以△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）-（BC+BD+CD）=AB-BC=5-3=2．
3.B 解析：因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD=BC，故①正确；因为AD与BC不一定互相垂直，所以AB与AC不一定相等，故②错误；设△ABC中BC边上的高为h，则S△ABD= BD h= BC h=S△ABC，故③正确．
4. B解析①三角形的中线、角平分线、高都是线段，说法正确；
②三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高不一定相交，故三条高必交于一点的说法错误；
③三条角平分线必交于一点，说法正确；
④锐角三角形的三条高在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．故三条高必在三角形内的说法错误；故选：B．
5. D解析因为D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，
所以DE是△BCD的中线；BD是△ABC的中线；AD=DC，BE=EC；DE是△BCD的中线，不是△ABC的中线．观察选项，只有选项D符合题意；故选：D．
6. 6解析因为AD⊥BC，所以以AD为高的三角形有△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△ACE共6个
7. 解析：因为S△ABC=6，所以S△ABD=3，因为AG=2GD，所以S△ABG=2.
8. 解析：所以△ABC的面积=AB CE=BC AD，所以AB CE=BC AD，因为AD=10，CE=9，AB=12，所以BC==．
9.
10. 解：因为AD是BC边上的中线，AC=2BC，所以BD=CD，设BD=CD=x，AB=y，则AC=4x，分为两种情况：
AC+CD=60，AB+BD=40，则
4x+x=60， x=12
x+y=40，解得， y=28， 即AC=4x=48，AB=28；
②AC+CD=40，AB+BD=60，则
4x+x=40， x=8，
x+y=60，解得, y=52， 即AC=4x=32，AB=52，BC=2x=16，此时不符合三角形三边关系定理；综合上述：AC=48，AB=28．