《初中同步测控全优设计》2013-2014学年人教版七年级数学上册例题与讲解：第二章2.2 整式的加减
文档属性
| 名称 | 《初中同步测控全优设计》2013-2014学年人教版七年级数学上册例题与讲解：第二章2.2 整式的加减 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 3.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-11-06 21:19:09 | ||
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文档简介
2.2 整式的加减
1．同类项
(1)定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
(2)条件：①字母相同，②相同字母的指数也相同，二者同时具备．如：2x2y3与2x3y2虽然字母相同，但相同字母的指数不相同，因此也不是同类项．
(3)分类：同类项包括三种情况：①只有系数不同的项，②完全相同的项；③所有常数项．
谈重点 项的概念 同类项，两个条件不能忘：字母要相同，相同字母的指数要一样．
【例1】 判断下列说法是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”．
(1)3x与3mx是同类项( )；
(2)2ab与－5ab是同类项( )；
(3)3x2y与－yx2是同类项( )；
(4)5ab2与－2ab2c是同类项( )；
(5)23与32是同类项( )．
解析：(2)(3)(5)是同类项，其中第 ( http: / / www.21cnjy.com )(3)题满足同类项的条件，只要运用乘法交换律即可；第(5)题两个都是常数项属于同类项，不能因为指数不同，误认为不是同类项；(1)(4)不是，字母部分不同．
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√
2．合并同类项
(1)概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
(2)法则：合并同类项后，所得项的系数是合 ( http: / / www.21cnjy.com )并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变．理解为：①只有系数相加减，②字母和字母的指数不变．
(3)步骤：合并同类项的步骤：①(找)找同类项；②(移)根据加法的交换律把同类项移到一起；③(合)根据法则合并同类项．
(4)注意事项：
①多项式中只有同类项才能合并，不是同类项不能合并；
②若两个同类项的系数互为相反数，则两项的和等于零，如：－3ab2＋3ab2＝(－3＋3)ab2＝0×ab2＝0；
③多项式中没有同类项的单独的一项，要记住照抄下来；
④最后的计算结果一般是按照某个字母的指数从大到小(降幂)或者从小到大(升幂)的顺序排列．
谈重点 合并同类项歌诀 合并同类项，合并法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样．即我们常说的“一变两不变”．
【例2】 标出多项式3x2y－4xy2－3＋5x2y＋2xy2＋5中的同类项，并合并同类项．
分析：在合并同类项过程中要根据加法交换律、结合律变换项的位置并结合，要注意移动的过程中带着符号移动．
解：3x2y－4xy2－3＋5x2y＋2xy2＋5
＝3x2y＋5x2y－4xy2＋2xy2＋5－3
＝(3＋5)x2y＋(－4＋2)xy2＋(5－3)
＝8x2y－2xy2＋2.
3．去括号
(1)依据：分配律．
(2)法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
(3)注意事项：
①因数是＋1或－1：
＋(x－3)与－(x－3)可以分别看作1与－1分别乘(x－3)；
②去括号时括号里每一项的符号都要考虑，做到要变都变；要不变，则都不变；
③括号内原有几项去掉括号后仍有几项．
(4)易错点：①变前不变后，如：－(2x－1)＝－2x－1错；②乘前不乘后，如：－2(3y－1)＝－6y＋1错；有时候两种错误都犯．
去括号，看符号：是“+”号，不变号；是“－”号，全变号．
【例3】 化简下列各式：(1)8a＋2b＋(5a－b)；
(2)(5a－3b)－3(a2－2b)．
分析：先观察括号前的因数的正负，判定用哪个法则，去括号后，要不要变号，然后是同类项的再合并同类项．
解：(1)原式＝8a＋2b＋5a－b
＝8a＋5a＋2b－b＝13a＋b；
(2)原式＝5a－3b－3a2＋6b
＝－3a2＋5a－3b＋6b
＝－3a2＋5a＋3b.
4．整式的加减
(1)法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
(2)步骤：如果有括号，那么先去括号；如果有同类项，再合并同类项．
所以去括号和合并同类项是整式的加减的基础．
(3)注意事项：
①小学所学运算律依然能够应用，这是数式运算的通性；
②当减去一个多项式时，一定要加括号，因为减去的是多项式这个整体．
例如：求多项式2x2－3x与x2－3x的差，是(2x2－3x)－(x2－3x)＝x2而不是2x2－3x－x2－3x＝x2－6x.
【例4－1】 计算：(1)(x＋y)－(2x－3y)；
(2)2(a2－2b2)－3(2a2＋b2)．
分析：整式加减的基础就是去括号和合并同类项，所以由题目可以看出，先去括号，再合并同类项．
解：(1)原式＝x＋y－2x＋3y＝x－2x＋y＋3y
＝－x＋4y；
(2)原式＝2a2－4b2－6a2－3b2
＝2a2－6a2－4b2－3b2
＝－4a2－7b2.
【例4－2】 一个多项式加上－5x2－4x－3等于－x2－3x，求这个多项式．
分析：由题意知，在这个运算过程中－x2－3x是和，－5x2－4x－3是其中的一个加数，另一个加数就等于和减加数，所以列式，得(－x2－3x)－(－5x2－4x－3)，化简求出即可．
解：由题意，得(－x2－3x)－(－5x2－4x－3)
＝－x2－3x＋5x2＋4x＋3
＝4x2＋x＋3.
答：这个多项式为4x2＋x＋3.
5．求多项式的值
(1)方法步骤：
①化简：根据去括号、合并同类项法则进行整式加减运算，把整式化为最简(一般不含括号、没有同类项)．
②求值：代入运算，求出代数式的值．
(2)注意事项：①对于大多数式子一定要先化简再求值，这样可以简化计算过程．
②对于有些要用整体求法的，则要灵活运用．
析规律 求多项式的值的方法 对于求多项式 ( http: / / www.21cnjy.com )的值，不要急于代入，应先观察多项式，看其中有没有同类项，若有，要先合并同类项使之变得简单，而后代入求值．
【例5】 化简求值：(2x3－xyz)－2(x3－y3＋xyz)＋(xyz－2y3)，其中x＝1，y＝2，z＝－3.
分析：先去括号、再合并同类项，代入求值．
解：原式＝2x3－xyz－2x3＋2y3－2xyz＋xyz－2y3＝－2xyz.
当x＝1，y＝2，z＝－3时，
原式＝－2×1×2×(－3)＝12.
6．同类项应用方法汇总
同类项定义是同类项应用的关键，它的应用主要包括以下三个方面：
(1)同类项的辨别：一般是给出几个单项式或给出一个多项式，辨别是否是同类项．
(2)逆用同类项定义求未知数的值：已知两个含有字母未知数指数的单项式，它们是同类项，根据相同字母的指数也相同，列出关系式，求出未知数的值．
(3)开放性应用：写出已知项的同类项．
这三类题目都是以同类项的定义为应用基础，紧紧抓住“字母相同，并且相同字母的指数也相同”这一核心解决．
解技巧 判断同类项的方法 一看字母是否相同；二看相同字母的指数是否相同，两者同时具备才可．
【例6－1】 指出下列多项式中的同类项：
(1)3x－2y＋1＋3y－2x－5；
(2)3x2y－2xy2＋xy2－yx2.
分析：(1)几个常数项也是同类项，(2)在字母相同的基础上，相同字母的指数也必须相同，因数的位置可以不同．
解：(1)3x与－2x，－2y与3y,1与－5是同类项．
(2)3x2y与－yx2，－2xy2与xy2是同类项．
【例6－2】 如果3xmy6与－4x4y2n是同类项，那么m＝______，n＝________.
解析：是同类项那么字母相同，并且相同字母的指数也相同，所以m＝4,2n＝6，所以n＝3.
答案：4 3
【例6－3】 写出－5x3y2的两个同类项__________．
解析：必须含有字母x，y，并且字母x，y的指数分别是3,2，系数相同也可．
答案：答案不唯一，如：－5x3y2，x3y2,3x3y2，…
7.整式加减题型归类
整式加减的实质虽然是去括号和合并同类项的综合应用，但有关的题型却丰富多彩，解法也不尽相同，常见的题型有：
(1)求几个单项式的和
解法是将几个单项式用加号连接，写成和的形式；然后去括号，再合并同类项．
(2)求几个多项式的和或差
求几个多项式的和或差，首先 ( http: / / www.21cnjy.com )用括号把每一个多项式括起来，并用加号或减号连接，然后按照去括号、合并同类项的法则进行计算．必须注意：求两个多项式的差，后面的多项式是减式，一定要加括号．
(3)求用字母表示的整式加减
求用字母表示的整式加减，有需要化简首先将其化简，然后再将字母表示的多项式整体代换列式，再去括号、合并同类项．
(4)普通型：利用分配律的整式加减
在整式加减中，如果括号前面有乘数，那么 ( http: / / www.21cnjy.com )首先利用分配律去括号，然后再合并同类项．必须注意：①不能漏乘；②如果乘数前面是负号，去括号后原来的各项要全变号．
(5)含有多重括号的整式加减
整式加减算式中含有多重括号，一般是先去小括号，这时如果有同类项，那么应合并同类项，这样可简化计算；然后再去中括号，最后去大括号．
【例7－1】 求单项式5x2y,2xy2，－2x2y，－6xy2的和．
分析：先将所有单项式用加号连接，写成和的形式；然后去括号，再合并同类项．
解：5x2y＋2xy2＋(－2x2y)＋(－6xy2)
＝5x2y＋2xy2－2x2y－6xy2
＝3x2y－4xy2.
【例7－2】 求4x2＋3xy＋2y2与x2－5xy＋2y2的差．
分析：因为每一个多项式都是一个整体，加括号后，把前一个多项当作被减式，后一个作减式，列式，然后去括号，合并同类项化简．
解：(4x2＋3xy＋2y2)－(x2－5xy＋2y2)
＝4x2＋3xy＋2y2－x2＋5xy－2y2
＝3x2＋8xy.
【例7－3】 已知A＝－3x3＋2x2－1，B＝x3－2x2－x＋4，求2A－(A－B)．
分析：首先将用字母表示的整式化简，然后再将字母表示的多项式代入，再去括号、合并同类项．
解：2A－(A－B)＝2A－A＋B＝A＋B
＝(－3x3＋2x2－1)＋(x3－2x2－x＋4)
＝－3x3＋2x2－1＋x3－2x2－x＋4
＝－2x3－x＋3.
【例7－4】 计算：－2x2－[3y2－2(x2－3y2)＋6]．
分析：从里到外先去小括号，有同类项的先合并，再去中括号，再合并同类项．
解：原式＝－2x2－(3y2－2x2＋6y2＋6)
＝－2x2－(9y2－2x2＋6)
＝－2x2－y2＋x2－3
＝－x2－y2－3.
8.数字问题的解法
学习了字母表示数以后，同样也可以用含字母的式子表示一个数，
由于用字母表示的数和用具体数字表示 ( http: / / www.21cnjy.com )的数的特点不同，如：269表示的是2个百6个十9个1，但zyx不能表示z个百y个十x个1，它只能表示z×y×x，所以字母表示的数有自己独特的特点，如：个位数字是x，十位数字是y，百位数字是z，那么这个三位数就是100z＋10y＋x.
破疑点 数字问题的解释 比如789这个数中，7表示7个百，8表示8个十，9表示9个1，这是字母表示数的理论基础．
【例8－1】 一个两位数，十位上的数字是x，个位上的数字是y，如果把十位上的数与个位上的数对调，所得的两位数是( )．
A．yx B．y＋x C．10y＋x D．10x＋y
解析：对调后个位数字就是x，十位数字就是y，所以这个两位数就是10y＋x.
答案：C
【例8－2】 一个三位数，十位数字为x，个位数字比十位数字少3，百位数字是个位数字的3倍，则这个三位数是________．
解析：由题意可知个位数字是x－3，十位数字是x，百位数字是3(x－3)，所以这个三位数就是100×3(x－3)＋10x＋(x－3)＝300x－900＋10x＋x－3＝311x－903.
答案：311x－903(3＜x≤6，x∈N)
9．求整式的值中的整体思想的运用
(1)“整体思想”就是将问题看成一 ( http: / / www.21cnjy.com )个完整的整体，在解题的过程中，从整体上考虑，注重问题的整体结构，突出问题的整体性的分析和变形，在整式的加减运算中，运用整体思想对某些问题进行整体处理，常常能化繁为简，解决一些目前无法解决的问题．
(2)方法：在整式的加减运算中，把一个式子看 ( http: / / www.21cnjy.com )成一个数或字母，整体代入进行运算，如：x2－2x＝3，那么2(x2－2x)＝2×3＝6.在这个过程中把x2－2x当作一个整体，一个数，进行运算变形，从而不必求x的值，就可求出2x2－4x的值．
【例9－1】 已知m－3n＝2，求式子3m－9n－5的值．
分析：将m－3n看作一个整体，再将所求式子逆用分配律进行变形，化成与m－3n有关的式子，将m－3n＝2代入即可求出其值．
解：3m－9n－5＝3(m－3n)－5，当m－3n＝2时，3m－9n－5＝3×2－5＝1.
【例9－2】 已知式子x2－4x＋1的值是3，求式子3x2－12x－1的值．
分析：若从已知条件出发先求 ( http: / / www.21cnjy.com )出x的值，再代入计算，目前来说是不可能的．因此可把x2－4x看作一个整体，采用整体代入法，则问题可迎刃而解．因为x2－4x＋1＝3，所以x2－4x＝2.
所以3x2－12x－1＝3(x2－4x)－1＝3×2－1＝5.
解：因为x2－4x＋1＝3，所以x2－4x＝2，所以3x2－12x－1＝3(x2－4x)－1＝3×2－1＝5.
10.日历中可用整式表示的数字规律
日历中的数，或表格中有规律排列的数，用正方形，十字形等框出的数之间都有一定的规律，如下图：
我们可以设其中的一个数为 ( http: / / www.21cnjy.com )x，根据它们之间的关系，列出代数式，经过运算、比较就会发现其中的规律，这是一种方法，从研究这个问题的方法中，我们会发现，用字母表示数比用具体数字更具有一般性，能更容易的表达出所发现的规律．
【例10】 如下图是某月的日历表，表格 ( http: / / www.21cnjy.com )中方框内有9个数字，(1)试探究图①方框中的9个数字之和与方框正中间的数字有什么关系？(2)如图②不改变方框的大小，任意移动方框的位置试一试，你能得到什么结论？你能证明这个结论吗？(3)若设这个方框正中间的数字为a，试用含a的式子表示这9个数的和m.(4)若当a＝20或23时，求方框内的数字之和．
解：(1)方框中的9个数字之和是方框正中间的数字10的9倍．
(2)设中间的数为x，那么9个数字则如图③所示，它们的和＝(x－8)＋(x－7)＋(x－6)＋(x－1)＋x＋(x＋1)＋(x＋6)＋(x＋7)＋(x＋8)＝9x.所以方框中的9个数字之和是方框正中间的数字的9倍．
(3)m＝9a.
(4)把a＝20,23分别代入m＝9a中，得m＝180,207.
答：当a＝20, 23时，方框内的数字之和分别是180和207.
1．同类项
(1)定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
(2)条件：①字母相同，②相同字母的指数也相同，二者同时具备．如：2x2y3与2x3y2虽然字母相同，但相同字母的指数不相同，因此也不是同类项．
(3)分类：同类项包括三种情况：①只有系数不同的项，②完全相同的项；③所有常数项．
谈重点 项的概念 同类项，两个条件不能忘：字母要相同，相同字母的指数要一样．
【例1】 判断下列说法是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”．
(1)3x与3mx是同类项( )；
(2)2ab与－5ab是同类项( )；
(3)3x2y与－yx2是同类项( )；
(4)5ab2与－2ab2c是同类项( )；
(5)23与32是同类项( )．
解析：(2)(3)(5)是同类项，其中第 ( http: / / www.21cnjy.com )(3)题满足同类项的条件，只要运用乘法交换律即可；第(5)题两个都是常数项属于同类项，不能因为指数不同，误认为不是同类项；(1)(4)不是，字母部分不同．
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√
2．合并同类项
(1)概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
(2)法则：合并同类项后，所得项的系数是合 ( http: / / www.21cnjy.com )并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变．理解为：①只有系数相加减，②字母和字母的指数不变．
(3)步骤：合并同类项的步骤：①(找)找同类项；②(移)根据加法的交换律把同类项移到一起；③(合)根据法则合并同类项．
(4)注意事项：
①多项式中只有同类项才能合并，不是同类项不能合并；
②若两个同类项的系数互为相反数，则两项的和等于零，如：－3ab2＋3ab2＝(－3＋3)ab2＝0×ab2＝0；
③多项式中没有同类项的单独的一项，要记住照抄下来；
④最后的计算结果一般是按照某个字母的指数从大到小(降幂)或者从小到大(升幂)的顺序排列．
谈重点 合并同类项歌诀 合并同类项，合并法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样．即我们常说的“一变两不变”．
【例2】 标出多项式3x2y－4xy2－3＋5x2y＋2xy2＋5中的同类项，并合并同类项．
分析：在合并同类项过程中要根据加法交换律、结合律变换项的位置并结合，要注意移动的过程中带着符号移动．
解：3x2y－4xy2－3＋5x2y＋2xy2＋5
＝3x2y＋5x2y－4xy2＋2xy2＋5－3
＝(3＋5)x2y＋(－4＋2)xy2＋(5－3)
＝8x2y－2xy2＋2.
3．去括号
(1)依据：分配律．
(2)法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
(3)注意事项：
①因数是＋1或－1：
＋(x－3)与－(x－3)可以分别看作1与－1分别乘(x－3)；
②去括号时括号里每一项的符号都要考虑，做到要变都变；要不变，则都不变；
③括号内原有几项去掉括号后仍有几项．
(4)易错点：①变前不变后，如：－(2x－1)＝－2x－1错；②乘前不乘后，如：－2(3y－1)＝－6y＋1错；有时候两种错误都犯．
去括号，看符号：是“+”号，不变号；是“－”号，全变号．
【例3】 化简下列各式：(1)8a＋2b＋(5a－b)；
(2)(5a－3b)－3(a2－2b)．
分析：先观察括号前的因数的正负，判定用哪个法则，去括号后，要不要变号，然后是同类项的再合并同类项．
解：(1)原式＝8a＋2b＋5a－b
＝8a＋5a＋2b－b＝13a＋b；
(2)原式＝5a－3b－3a2＋6b
＝－3a2＋5a－3b＋6b
＝－3a2＋5a＋3b.
4．整式的加减
(1)法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
(2)步骤：如果有括号，那么先去括号；如果有同类项，再合并同类项．
所以去括号和合并同类项是整式的加减的基础．
(3)注意事项：
①小学所学运算律依然能够应用，这是数式运算的通性；
②当减去一个多项式时，一定要加括号，因为减去的是多项式这个整体．
例如：求多项式2x2－3x与x2－3x的差，是(2x2－3x)－(x2－3x)＝x2而不是2x2－3x－x2－3x＝x2－6x.
【例4－1】 计算：(1)(x＋y)－(2x－3y)；
(2)2(a2－2b2)－3(2a2＋b2)．
分析：整式加减的基础就是去括号和合并同类项，所以由题目可以看出，先去括号，再合并同类项．
解：(1)原式＝x＋y－2x＋3y＝x－2x＋y＋3y
＝－x＋4y；
(2)原式＝2a2－4b2－6a2－3b2
＝2a2－6a2－4b2－3b2
＝－4a2－7b2.
【例4－2】 一个多项式加上－5x2－4x－3等于－x2－3x，求这个多项式．
分析：由题意知，在这个运算过程中－x2－3x是和，－5x2－4x－3是其中的一个加数，另一个加数就等于和减加数，所以列式，得(－x2－3x)－(－5x2－4x－3)，化简求出即可．
解：由题意，得(－x2－3x)－(－5x2－4x－3)
＝－x2－3x＋5x2＋4x＋3
＝4x2＋x＋3.
答：这个多项式为4x2＋x＋3.
5．求多项式的值
(1)方法步骤：
①化简：根据去括号、合并同类项法则进行整式加减运算，把整式化为最简(一般不含括号、没有同类项)．
②求值：代入运算，求出代数式的值．
(2)注意事项：①对于大多数式子一定要先化简再求值，这样可以简化计算过程．
②对于有些要用整体求法的，则要灵活运用．
析规律 求多项式的值的方法 对于求多项式 ( http: / / www.21cnjy.com )的值，不要急于代入，应先观察多项式，看其中有没有同类项，若有，要先合并同类项使之变得简单，而后代入求值．
【例5】 化简求值：(2x3－xyz)－2(x3－y3＋xyz)＋(xyz－2y3)，其中x＝1，y＝2，z＝－3.
分析：先去括号、再合并同类项，代入求值．
解：原式＝2x3－xyz－2x3＋2y3－2xyz＋xyz－2y3＝－2xyz.
当x＝1，y＝2，z＝－3时，
原式＝－2×1×2×(－3)＝12.
6．同类项应用方法汇总
同类项定义是同类项应用的关键，它的应用主要包括以下三个方面：
(1)同类项的辨别：一般是给出几个单项式或给出一个多项式，辨别是否是同类项．
(2)逆用同类项定义求未知数的值：已知两个含有字母未知数指数的单项式，它们是同类项，根据相同字母的指数也相同，列出关系式，求出未知数的值．
(3)开放性应用：写出已知项的同类项．
这三类题目都是以同类项的定义为应用基础，紧紧抓住“字母相同，并且相同字母的指数也相同”这一核心解决．
解技巧 判断同类项的方法 一看字母是否相同；二看相同字母的指数是否相同，两者同时具备才可．
【例6－1】 指出下列多项式中的同类项：
(1)3x－2y＋1＋3y－2x－5；
(2)3x2y－2xy2＋xy2－yx2.
分析：(1)几个常数项也是同类项，(2)在字母相同的基础上，相同字母的指数也必须相同，因数的位置可以不同．
解：(1)3x与－2x，－2y与3y,1与－5是同类项．
(2)3x2y与－yx2，－2xy2与xy2是同类项．
【例6－2】 如果3xmy6与－4x4y2n是同类项，那么m＝______，n＝________.
解析：是同类项那么字母相同，并且相同字母的指数也相同，所以m＝4,2n＝6，所以n＝3.
答案：4 3
【例6－3】 写出－5x3y2的两个同类项__________．
解析：必须含有字母x，y，并且字母x，y的指数分别是3,2，系数相同也可．
答案：答案不唯一，如：－5x3y2，x3y2,3x3y2，…
7.整式加减题型归类
整式加减的实质虽然是去括号和合并同类项的综合应用，但有关的题型却丰富多彩，解法也不尽相同，常见的题型有：
(1)求几个单项式的和
解法是将几个单项式用加号连接，写成和的形式；然后去括号，再合并同类项．
(2)求几个多项式的和或差
求几个多项式的和或差，首先 ( http: / / www.21cnjy.com )用括号把每一个多项式括起来，并用加号或减号连接，然后按照去括号、合并同类项的法则进行计算．必须注意：求两个多项式的差，后面的多项式是减式，一定要加括号．
(3)求用字母表示的整式加减
求用字母表示的整式加减，有需要化简首先将其化简，然后再将字母表示的多项式整体代换列式，再去括号、合并同类项．
(4)普通型：利用分配律的整式加减
在整式加减中，如果括号前面有乘数，那么 ( http: / / www.21cnjy.com )首先利用分配律去括号，然后再合并同类项．必须注意：①不能漏乘；②如果乘数前面是负号，去括号后原来的各项要全变号．
(5)含有多重括号的整式加减
整式加减算式中含有多重括号，一般是先去小括号，这时如果有同类项，那么应合并同类项，这样可简化计算；然后再去中括号，最后去大括号．
【例7－1】 求单项式5x2y,2xy2，－2x2y，－6xy2的和．
分析：先将所有单项式用加号连接，写成和的形式；然后去括号，再合并同类项．
解：5x2y＋2xy2＋(－2x2y)＋(－6xy2)
＝5x2y＋2xy2－2x2y－6xy2
＝3x2y－4xy2.
【例7－2】 求4x2＋3xy＋2y2与x2－5xy＋2y2的差．
分析：因为每一个多项式都是一个整体，加括号后，把前一个多项当作被减式，后一个作减式，列式，然后去括号，合并同类项化简．
解：(4x2＋3xy＋2y2)－(x2－5xy＋2y2)
＝4x2＋3xy＋2y2－x2＋5xy－2y2
＝3x2＋8xy.
【例7－3】 已知A＝－3x3＋2x2－1，B＝x3－2x2－x＋4，求2A－(A－B)．
分析：首先将用字母表示的整式化简，然后再将字母表示的多项式代入，再去括号、合并同类项．
解：2A－(A－B)＝2A－A＋B＝A＋B
＝(－3x3＋2x2－1)＋(x3－2x2－x＋4)
＝－3x3＋2x2－1＋x3－2x2－x＋4
＝－2x3－x＋3.
【例7－4】 计算：－2x2－[3y2－2(x2－3y2)＋6]．
分析：从里到外先去小括号，有同类项的先合并，再去中括号，再合并同类项．
解：原式＝－2x2－(3y2－2x2＋6y2＋6)
＝－2x2－(9y2－2x2＋6)
＝－2x2－y2＋x2－3
＝－x2－y2－3.
8.数字问题的解法
学习了字母表示数以后，同样也可以用含字母的式子表示一个数，
由于用字母表示的数和用具体数字表示 ( http: / / www.21cnjy.com )的数的特点不同，如：269表示的是2个百6个十9个1，但zyx不能表示z个百y个十x个1，它只能表示z×y×x，所以字母表示的数有自己独特的特点，如：个位数字是x，十位数字是y，百位数字是z，那么这个三位数就是100z＋10y＋x.
破疑点 数字问题的解释 比如789这个数中，7表示7个百，8表示8个十，9表示9个1，这是字母表示数的理论基础．
【例8－1】 一个两位数，十位上的数字是x，个位上的数字是y，如果把十位上的数与个位上的数对调，所得的两位数是( )．
A．yx B．y＋x C．10y＋x D．10x＋y
解析：对调后个位数字就是x，十位数字就是y，所以这个两位数就是10y＋x.
答案：C
【例8－2】 一个三位数，十位数字为x，个位数字比十位数字少3，百位数字是个位数字的3倍，则这个三位数是________．
解析：由题意可知个位数字是x－3，十位数字是x，百位数字是3(x－3)，所以这个三位数就是100×3(x－3)＋10x＋(x－3)＝300x－900＋10x＋x－3＝311x－903.
答案：311x－903(3＜x≤6，x∈N)
9．求整式的值中的整体思想的运用
(1)“整体思想”就是将问题看成一 ( http: / / www.21cnjy.com )个完整的整体，在解题的过程中，从整体上考虑，注重问题的整体结构，突出问题的整体性的分析和变形，在整式的加减运算中，运用整体思想对某些问题进行整体处理，常常能化繁为简，解决一些目前无法解决的问题．
(2)方法：在整式的加减运算中，把一个式子看 ( http: / / www.21cnjy.com )成一个数或字母，整体代入进行运算，如：x2－2x＝3，那么2(x2－2x)＝2×3＝6.在这个过程中把x2－2x当作一个整体，一个数，进行运算变形，从而不必求x的值，就可求出2x2－4x的值．
【例9－1】 已知m－3n＝2，求式子3m－9n－5的值．
分析：将m－3n看作一个整体，再将所求式子逆用分配律进行变形，化成与m－3n有关的式子，将m－3n＝2代入即可求出其值．
解：3m－9n－5＝3(m－3n)－5，当m－3n＝2时，3m－9n－5＝3×2－5＝1.
【例9－2】 已知式子x2－4x＋1的值是3，求式子3x2－12x－1的值．
分析：若从已知条件出发先求 ( http: / / www.21cnjy.com )出x的值，再代入计算，目前来说是不可能的．因此可把x2－4x看作一个整体，采用整体代入法，则问题可迎刃而解．因为x2－4x＋1＝3，所以x2－4x＝2.
所以3x2－12x－1＝3(x2－4x)－1＝3×2－1＝5.
解：因为x2－4x＋1＝3，所以x2－4x＝2，所以3x2－12x－1＝3(x2－4x)－1＝3×2－1＝5.
10.日历中可用整式表示的数字规律
日历中的数，或表格中有规律排列的数，用正方形，十字形等框出的数之间都有一定的规律，如下图：
我们可以设其中的一个数为 ( http: / / www.21cnjy.com )x，根据它们之间的关系，列出代数式，经过运算、比较就会发现其中的规律，这是一种方法，从研究这个问题的方法中，我们会发现，用字母表示数比用具体数字更具有一般性，能更容易的表达出所发现的规律．
【例10】 如下图是某月的日历表，表格 ( http: / / www.21cnjy.com )中方框内有9个数字，(1)试探究图①方框中的9个数字之和与方框正中间的数字有什么关系？(2)如图②不改变方框的大小，任意移动方框的位置试一试，你能得到什么结论？你能证明这个结论吗？(3)若设这个方框正中间的数字为a，试用含a的式子表示这9个数的和m.(4)若当a＝20或23时，求方框内的数字之和．
解：(1)方框中的9个数字之和是方框正中间的数字10的9倍．
(2)设中间的数为x，那么9个数字则如图③所示，它们的和＝(x－8)＋(x－7)＋(x－6)＋(x－1)＋x＋(x＋1)＋(x＋6)＋(x＋7)＋(x＋8)＝9x.所以方框中的9个数字之和是方框正中间的数字的9倍．
(3)m＝9a.
(4)把a＝20,23分别代入m＝9a中，得m＝180,207.
答：当a＝20, 23时，方框内的数字之和分别是180和207.