《初中同步测控全优设计》2013-2014学年人教版七年级数学上册例题与讲解：第三章3.1 从算式到方程
文档属性
| 名称 | 《初中同步测控全优设计》2013-2014学年人教版七年级数学上册例题与讲解：第三章3.1 从算式到方程 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-11-06 21:26:03 | ||
图片预览
文档简介
3.1 从算式到方程
1．方程
(1)定义：含有未知数的等式叫做方程．
(2)理解：
①方程是等式的一种，它可以看作由两个式子组成，等号的左右各1个，它区别于等式的最大特点是式子中含有未知数；
②方程的种类较多，形式也不一样．如：x＋2y＝0,3x2－2x＝4,5x＝0，＝6，…，都是方程．
解技巧 方程的辨别 判断是否是方程要抓住两点：①首先是一个等式，②式子中含有字母表示的未知数．
【例1】 判断下列各式是不是方程，是的打“√”，不是的打“×”．
(1)－2＋5＝3( )；(2)3x－1＝7( )；
(3)m＝0( )；(4)x＞3( )；
(5)x＋y＝8( )；
(6)2x2－5x＋1＝0( )；
(7)2a＋b( )；
(8)＋7＝6x＋4( )．
解析：(1)是等式不含未知数，不是；(4)不是等式；(7)不是等式，其余都是．
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√ (7)× (8)√
2．一元一次方程
(1)定义：只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是等式，这样的方程叫做一元一次方程．
(2)特点：
①是整式方程，左右两边都是整式；
②只含有一个未知数；
③未知数的次数是1.
在整式方程中，元是指的未知数，几元就是有几个未知数，次是指的未知项的次数，几次就是未知项的次数．
【例2－1】 判断下列方程是不是一元一次方程：
(1)23－x＝－7：(2)2a－b＝3；
(3)y＋3＝6y－9；(4)x2＝1；
(5)y－4＝y.
分析：(2)(4)不是，(2)中含有两个未知数，(4)中虽含有一个未知数，但未知数的次数不是1.
解：(1)(3)(5)是，(2)(4)不是．
【例2－2】 若方程3xa－4＝5(a已知，x未知)是一元一次方程，则a等于( )．
A．任意有理数 B．0
C．1 D．0或1
解析：方程是一元一次方程，未知数的次数就是1，即a＝1，故选C.
答案：C
3．方程的解
(1)定义：能使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
注意：有些方程的解只有1个，有些则有多个，也有些可能一个也没有．
(2)解方程：求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做解方程．
(3)方程解的检验方法：要检验某个值是不 ( http: / / www.21cnjy.com )是方程的解，就是用这个值代替未知数代入方程，看能否使方程左右两边的值相等，相等就是方程的解，不相等则不是．
【例3】 x＝2是下列方程____的解．( )．
A．2x＝6
B．(x－3)(x＋2)＝0
C．x2＝3
D．3x－6＝0
解析：把x＝2分别代入四个方程检验，只有方程3x－6＝0左右两边相等，故选D.
答案：D
4．等式的性质1
(1)性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．
(2)表示：如果a＝b，那么a±c＝b±c.
(3)注意：①等式性质运用的前提必须是等式；
②等式两边所加或减的数(式子)必须相等．
③同加或同减后的式子的结果相等，即左右两边仍相等，但原式的左右两边的值与变化后式子的值相比较都已改变，不再相等(加或减0除外)．
【例4】 如果m＝n，那么下列各式：①m－3＝n＋3；②m－＝n－；③2m＝m＋n；④m－n＝0，正确的有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：①不正确，左边减3，右边加3，所以结果不相等；②、③、④正确，左右分别是同减、同加m，同减n，所以仍然相等，故选C.
答案：C
5．等式的性质2
(1)性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．
(2)表示：如果a＝b，那么ac＝bc；如果a＝b，(c≠0)，那么＝.
(3)注意：根据等式的性质变形后，等式的结果仍相等，但原等式左右两边的式子的值已变化，所以已不等于原式的值，因此不能连等．同往天平里添加砝码一样，虽仍然平衡，但左右两个托盘中砝码数量已变化．
谈重点 等式的性质 等式的性质是等式变形的基础，是解决等式问题的依据，也是解方程的理论依据和基础．
【例5】 填空：
(1)在等式－5x＝5y的两边都__________，得x＝－y；
(2)在等式－x＝4的两边都__________，得x＝__________；
(3)如果－x＝－2y，那么x＝__________，是等式两边都__________得到的．
解析：根据等式的性质2回答．
答案：(1)除以－5 (2)乘以－3或除以－ －12 (3)8y 乘以－4或除以－
6．方程解的验证方法
能使方程中等号左右两边相等的未知数的值是方程的解，所以要检验某个值是不是方程的解，就是把这个数代入方程的左右两边，看等号两边的值是否相等．
方程的解 对于不同的方程，解的情况也不一样，只要能使方程左右两边相等的所有未知数的值都是方程的解．
【例6】 检验下列数值哪些是方程x2＋2x＝3x的解．
(1)x＝－1；(2)x＝0；(3)x＝1；(4)x＝2.
分析：把(1)x＝－1，(2)x＝0，(3)x＝1，(4)x＝2分别代入原方程中，计算观察看左右两边的值是否相等．
解：(1)把x＝－1代入方程，左边＝(－1 ( http: / / www.21cnjy.com ))2＋2×(－1)＝－1，右边＝3×(－1)＝－3，左边≠右边，所以x＝－1不是原方程的解；(2)把x＝0代入方程，左边＝02＋2×0＝0，右边＝3×0＝0，左边＝右边，所以x＝0是原方程的解；同样可得，x＝1是方程的解，x＝2不是方程的解．
7.运用等式的性质解方程
方程也是等式，所以等式的性质也可以应用于方程中的变形，根据等式的性质1,2可以将一个方程，经过变形最后化成x＝a(a是常数)的形式，这个过程就是运用等式的性质解方程的过程；如：求方程－x－5＝4的解，可以根据等式的性质1，左右两边都加5(或减－5)，可以得到－x＝9，再根据等式的性质2，左右两边同时乘以－3eq \b\lc\(\rc\)()式子变为x＝－27，由此可以求出方程的解为x＝－27.
谈重点 等式性质的重要性 等式的性质不仅 ( http: / / www.21cnjy.com )是等式变形的依据也是解方程的理论依据和基础，随着进一步的学习，等式性质在解方程中应用更多，也不断变化．
【例7】 用等式的性质解下列方程：
(1)x＋7＝26；(2)－5x＝20；(3)－x－5＝4；
(4)6x＝4x－3.
分析：运用等式的性质1，通过加减可以将方程左边的常数项消掉，运用等式的性质2，可以将方程化为x＝a的形式，解出方程．
解：(1)把方程两边都减7，得x＋7－7＝26－7，
∴x＝19.
(2)方程两边除以－5，得－5x÷(－5)＝20÷(－5)，
∴x＝－4.
(3)方程两边都加5，得－x－5＋5＝4＋5，化简，得－x＝9，两边都乘以－3，得－x×(－3)＝9×(－3)，
∴x＝－27.
(4)方程两边都加－4x，得6x－4x＝4x－3－4x，化简，得2x＝－3，两边都除以2，得2x÷2＝－3÷2，
∴x＝－.
8.一元一次方程概念的应用分类
一元一次方程是最简单的方程，它只含有一个未知数(元)，并且未知数的次数是1，等号两边都是整式．对于它的概念的理解和应用主要有两类：
(1)判定一个方程是否是一元一次方程，一般给出一些方程，判断或选择其中的一元一次方程．
(2)根据一元一次方程的特点，判断方程中未知指数或未知系数的值的情况，如：已知2xm－1＋5＝0是一元一次方程，求m的值等．
解技巧 解决方程的有关概 ( http: / / www.21cnjy.com )念问题的方法技巧 第(1)类题目应抓住方程特点：次数是1次，且只有一个未知数来判定；第(2)类题目首先在是一元一次方程的前提下，根据一元一次方程特定的特点，得出未知指数为1，同时所有次数不是1的项不存在，即系数为0，同时要注意次数为1的未知数的系数和不能为0.
【例8－1】 下列方程中是一元一次方程的是( )．
A．x＋3＝y＋2 B．x＋3＝3－x
C.＝1 D．x2＝1
解析：A中含有两个未知数，C不是整式方程，D中未知数的次数不是1，只有B是，故选B.
答案：B
【例8－2】 填空：
(1)xk＋1＋21＝0是一元一次方程，则k＝________；
(2)2x|k|＋21＝0是一元一次方程，则k＝________；
(3)(k＋1)x|k|＋21＝0是一元一次方程，则k＝________；
(4)(k＋2)x2＋kx＋21＝0是一元一次方程，则k＝__________.
解析：(1)因为方程是一元一次方程，所 ( http: / / www.21cnjy.com )以未知数x的次数只能是1，即k＋1＝1，所以k＝0.(2)因为方程是一元一次方程，所以未知数x的次数是1，所以|k|＝1，所以k＝±1.(3)方程是一元一次方程，既要满足|k|＝1，又要满足k＋1≠0，所以k＝1.(4)因为方程是一元一次方程，而(k＋2)x2这项次数是2，所以不能存在，系数为0，即k＋2＝0，所以k＝－2.
答案：(1)0 (2)±1 (3)1 (4)－2
9．等式性质运用拓展
等式除了我们所学的2个性质以外，还有一些常用的性质：
等式的传递性，有时称作等量代换：如果a＝b，b＝c，那么a＝c，这个性质在几何的证明中经常使用；
等式的对称性：如果－5＝x，那么x＝－5，这在解方程或等式变形中也常用，可起到简化计算过程的作用．如：解方程5＝3x－1时，我们可以将方程左右两边同时加1，得6＝3x，两边同除以3，得2＝x，即x＝2.
因为等式的性质有很多，因而有时把所 ( http: / / www.21cnjy.com )学的两个性质称为等式的基本性质，这些性质共同构成了等式变形的基础，并渗透在等式的各个变化过程中，互相结合，应用也很广泛．
【例9－1】 下列变形正确的是( )．
A．若x＝y，则x－a＝y＋a B．若－x＝，x＝y，则y＝－
C．若ac2＝bc2，则a＝b D．若x＝y，则＝
解析：A错误，两边所加的数不等，C、D分别是两边同时除以c2和a＋2，但c2和a＋2可能等于0，因而不正确，只有B正确，故选B.
答案：B
【例9－2】 判断：(1)若＝，则＝( )；
(2)若x＝y，则＝( )．
解析：(1)正确，因为既然式子成立 ( http: / / www.21cnjy.com )，c≠0，所以同时除以c，等式仍然成立；(2)不正确，等式两边同时除以a，a可以是0，所以等式不一定成立．
答案：(1)√ (2)×
10.用等式表示数量关系
(1)广泛性：用等式表示数量关系在数学中应用 ( http: / / www.21cnjy.com )很广泛，像所有的公式，如：s＝vt；S＝πr2等；有些法则也可以用等式表示，如加法交换律：a＋b＝b＋a；分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.
(2)作用：运用等式表示数 ( http: / / www.21cnjy.com )量关系从数学的角度反映了各量之间的关系及变化，并且能运用等式的性质通过等式变形的方法或解方程的形式，在已知某些数据的情况下，求出未知数据，从而更快、更准确地解决实际问题．
(3)实质：大多都是用两种不同的方法表示同一个量，或相等的量，往往与多多少、少多少、几倍、增加、减少等紧密联系．
【例10】 列等式表示下列关系：
(1)比x的一半少3的数是y的.
(2)比a的3倍大2的数等于a的4倍．
(3)两个数的和与这两数的差的积等于这两数的平方差．
(4)一种商品原价a元，按八折(即原价的80%)出售的售价是b元．
分析：分析各数量之间的关系，用含字母的式子表示各量，再根据它们之间的和、差、倍、分或相等关系列出等式．
解：(1)x－3＝y；
(2)3a＋2＝4a；
(3)设这两个数分别为a，b，那么(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
(4)80%a＝b.
1．方程
(1)定义：含有未知数的等式叫做方程．
(2)理解：
①方程是等式的一种，它可以看作由两个式子组成，等号的左右各1个，它区别于等式的最大特点是式子中含有未知数；
②方程的种类较多，形式也不一样．如：x＋2y＝0,3x2－2x＝4,5x＝0，＝6，…，都是方程．
解技巧 方程的辨别 判断是否是方程要抓住两点：①首先是一个等式，②式子中含有字母表示的未知数．
【例1】 判断下列各式是不是方程，是的打“√”，不是的打“×”．
(1)－2＋5＝3( )；(2)3x－1＝7( )；
(3)m＝0( )；(4)x＞3( )；
(5)x＋y＝8( )；
(6)2x2－5x＋1＝0( )；
(7)2a＋b( )；
(8)＋7＝6x＋4( )．
解析：(1)是等式不含未知数，不是；(4)不是等式；(7)不是等式，其余都是．
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√ (7)× (8)√
2．一元一次方程
(1)定义：只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是等式，这样的方程叫做一元一次方程．
(2)特点：
①是整式方程，左右两边都是整式；
②只含有一个未知数；
③未知数的次数是1.
在整式方程中，元是指的未知数，几元就是有几个未知数，次是指的未知项的次数，几次就是未知项的次数．
【例2－1】 判断下列方程是不是一元一次方程：
(1)23－x＝－7：(2)2a－b＝3；
(3)y＋3＝6y－9；(4)x2＝1；
(5)y－4＝y.
分析：(2)(4)不是，(2)中含有两个未知数，(4)中虽含有一个未知数，但未知数的次数不是1.
解：(1)(3)(5)是，(2)(4)不是．
【例2－2】 若方程3xa－4＝5(a已知，x未知)是一元一次方程，则a等于( )．
A．任意有理数 B．0
C．1 D．0或1
解析：方程是一元一次方程，未知数的次数就是1，即a＝1，故选C.
答案：C
3．方程的解
(1)定义：能使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
注意：有些方程的解只有1个，有些则有多个，也有些可能一个也没有．
(2)解方程：求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做解方程．
(3)方程解的检验方法：要检验某个值是不 ( http: / / www.21cnjy.com )是方程的解，就是用这个值代替未知数代入方程，看能否使方程左右两边的值相等，相等就是方程的解，不相等则不是．
【例3】 x＝2是下列方程____的解．( )．
A．2x＝6
B．(x－3)(x＋2)＝0
C．x2＝3
D．3x－6＝0
解析：把x＝2分别代入四个方程检验，只有方程3x－6＝0左右两边相等，故选D.
答案：D
4．等式的性质1
(1)性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．
(2)表示：如果a＝b，那么a±c＝b±c.
(3)注意：①等式性质运用的前提必须是等式；
②等式两边所加或减的数(式子)必须相等．
③同加或同减后的式子的结果相等，即左右两边仍相等，但原式的左右两边的值与变化后式子的值相比较都已改变，不再相等(加或减0除外)．
【例4】 如果m＝n，那么下列各式：①m－3＝n＋3；②m－＝n－；③2m＝m＋n；④m－n＝0，正确的有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：①不正确，左边减3，右边加3，所以结果不相等；②、③、④正确，左右分别是同减、同加m，同减n，所以仍然相等，故选C.
答案：C
5．等式的性质2
(1)性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．
(2)表示：如果a＝b，那么ac＝bc；如果a＝b，(c≠0)，那么＝.
(3)注意：根据等式的性质变形后，等式的结果仍相等，但原等式左右两边的式子的值已变化，所以已不等于原式的值，因此不能连等．同往天平里添加砝码一样，虽仍然平衡，但左右两个托盘中砝码数量已变化．
谈重点 等式的性质 等式的性质是等式变形的基础，是解决等式问题的依据，也是解方程的理论依据和基础．
【例5】 填空：
(1)在等式－5x＝5y的两边都__________，得x＝－y；
(2)在等式－x＝4的两边都__________，得x＝__________；
(3)如果－x＝－2y，那么x＝__________，是等式两边都__________得到的．
解析：根据等式的性质2回答．
答案：(1)除以－5 (2)乘以－3或除以－ －12 (3)8y 乘以－4或除以－
6．方程解的验证方法
能使方程中等号左右两边相等的未知数的值是方程的解，所以要检验某个值是不是方程的解，就是把这个数代入方程的左右两边，看等号两边的值是否相等．
方程的解 对于不同的方程，解的情况也不一样，只要能使方程左右两边相等的所有未知数的值都是方程的解．
【例6】 检验下列数值哪些是方程x2＋2x＝3x的解．
(1)x＝－1；(2)x＝0；(3)x＝1；(4)x＝2.
分析：把(1)x＝－1，(2)x＝0，(3)x＝1，(4)x＝2分别代入原方程中，计算观察看左右两边的值是否相等．
解：(1)把x＝－1代入方程，左边＝(－1 ( http: / / www.21cnjy.com ))2＋2×(－1)＝－1，右边＝3×(－1)＝－3，左边≠右边，所以x＝－1不是原方程的解；(2)把x＝0代入方程，左边＝02＋2×0＝0，右边＝3×0＝0，左边＝右边，所以x＝0是原方程的解；同样可得，x＝1是方程的解，x＝2不是方程的解．
7.运用等式的性质解方程
方程也是等式，所以等式的性质也可以应用于方程中的变形，根据等式的性质1,2可以将一个方程，经过变形最后化成x＝a(a是常数)的形式，这个过程就是运用等式的性质解方程的过程；如：求方程－x－5＝4的解，可以根据等式的性质1，左右两边都加5(或减－5)，可以得到－x＝9，再根据等式的性质2，左右两边同时乘以－3eq \b\lc\(\rc\)()式子变为x＝－27，由此可以求出方程的解为x＝－27.
谈重点 等式性质的重要性 等式的性质不仅 ( http: / / www.21cnjy.com )是等式变形的依据也是解方程的理论依据和基础，随着进一步的学习，等式性质在解方程中应用更多，也不断变化．
【例7】 用等式的性质解下列方程：
(1)x＋7＝26；(2)－5x＝20；(3)－x－5＝4；
(4)6x＝4x－3.
分析：运用等式的性质1，通过加减可以将方程左边的常数项消掉，运用等式的性质2，可以将方程化为x＝a的形式，解出方程．
解：(1)把方程两边都减7，得x＋7－7＝26－7，
∴x＝19.
(2)方程两边除以－5，得－5x÷(－5)＝20÷(－5)，
∴x＝－4.
(3)方程两边都加5，得－x－5＋5＝4＋5，化简，得－x＝9，两边都乘以－3，得－x×(－3)＝9×(－3)，
∴x＝－27.
(4)方程两边都加－4x，得6x－4x＝4x－3－4x，化简，得2x＝－3，两边都除以2，得2x÷2＝－3÷2，
∴x＝－.
8.一元一次方程概念的应用分类
一元一次方程是最简单的方程，它只含有一个未知数(元)，并且未知数的次数是1，等号两边都是整式．对于它的概念的理解和应用主要有两类：
(1)判定一个方程是否是一元一次方程，一般给出一些方程，判断或选择其中的一元一次方程．
(2)根据一元一次方程的特点，判断方程中未知指数或未知系数的值的情况，如：已知2xm－1＋5＝0是一元一次方程，求m的值等．
解技巧 解决方程的有关概 ( http: / / www.21cnjy.com )念问题的方法技巧 第(1)类题目应抓住方程特点：次数是1次，且只有一个未知数来判定；第(2)类题目首先在是一元一次方程的前提下，根据一元一次方程特定的特点，得出未知指数为1，同时所有次数不是1的项不存在，即系数为0，同时要注意次数为1的未知数的系数和不能为0.
【例8－1】 下列方程中是一元一次方程的是( )．
A．x＋3＝y＋2 B．x＋3＝3－x
C.＝1 D．x2＝1
解析：A中含有两个未知数，C不是整式方程，D中未知数的次数不是1，只有B是，故选B.
答案：B
【例8－2】 填空：
(1)xk＋1＋21＝0是一元一次方程，则k＝________；
(2)2x|k|＋21＝0是一元一次方程，则k＝________；
(3)(k＋1)x|k|＋21＝0是一元一次方程，则k＝________；
(4)(k＋2)x2＋kx＋21＝0是一元一次方程，则k＝__________.
解析：(1)因为方程是一元一次方程，所 ( http: / / www.21cnjy.com )以未知数x的次数只能是1，即k＋1＝1，所以k＝0.(2)因为方程是一元一次方程，所以未知数x的次数是1，所以|k|＝1，所以k＝±1.(3)方程是一元一次方程，既要满足|k|＝1，又要满足k＋1≠0，所以k＝1.(4)因为方程是一元一次方程，而(k＋2)x2这项次数是2，所以不能存在，系数为0，即k＋2＝0，所以k＝－2.
答案：(1)0 (2)±1 (3)1 (4)－2
9．等式性质运用拓展
等式除了我们所学的2个性质以外，还有一些常用的性质：
等式的传递性，有时称作等量代换：如果a＝b，b＝c，那么a＝c，这个性质在几何的证明中经常使用；
等式的对称性：如果－5＝x，那么x＝－5，这在解方程或等式变形中也常用，可起到简化计算过程的作用．如：解方程5＝3x－1时，我们可以将方程左右两边同时加1，得6＝3x，两边同除以3，得2＝x，即x＝2.
因为等式的性质有很多，因而有时把所 ( http: / / www.21cnjy.com )学的两个性质称为等式的基本性质，这些性质共同构成了等式变形的基础，并渗透在等式的各个变化过程中，互相结合，应用也很广泛．
【例9－1】 下列变形正确的是( )．
A．若x＝y，则x－a＝y＋a B．若－x＝，x＝y，则y＝－
C．若ac2＝bc2，则a＝b D．若x＝y，则＝
解析：A错误，两边所加的数不等，C、D分别是两边同时除以c2和a＋2，但c2和a＋2可能等于0，因而不正确，只有B正确，故选B.
答案：B
【例9－2】 判断：(1)若＝，则＝( )；
(2)若x＝y，则＝( )．
解析：(1)正确，因为既然式子成立 ( http: / / www.21cnjy.com )，c≠0，所以同时除以c，等式仍然成立；(2)不正确，等式两边同时除以a，a可以是0，所以等式不一定成立．
答案：(1)√ (2)×
10.用等式表示数量关系
(1)广泛性：用等式表示数量关系在数学中应用 ( http: / / www.21cnjy.com )很广泛，像所有的公式，如：s＝vt；S＝πr2等；有些法则也可以用等式表示，如加法交换律：a＋b＝b＋a；分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.
(2)作用：运用等式表示数 ( http: / / www.21cnjy.com )量关系从数学的角度反映了各量之间的关系及变化，并且能运用等式的性质通过等式变形的方法或解方程的形式，在已知某些数据的情况下，求出未知数据，从而更快、更准确地解决实际问题．
(3)实质：大多都是用两种不同的方法表示同一个量，或相等的量，往往与多多少、少多少、几倍、增加、减少等紧密联系．
【例10】 列等式表示下列关系：
(1)比x的一半少3的数是y的.
(2)比a的3倍大2的数等于a的4倍．
(3)两个数的和与这两数的差的积等于这两数的平方差．
(4)一种商品原价a元，按八折(即原价的80%)出售的售价是b元．
分析：分析各数量之间的关系，用含字母的式子表示各量，再根据它们之间的和、差、倍、分或相等关系列出等式．
解：(1)x－3＝y；
(2)3a＋2＝4a；
(3)设这两个数分别为a，b，那么(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
(4)80%a＝b.