《初中同步测控全优设计》2013-2014学年人教版七年级数学上册例题与讲解：第三章3.2 解一元一次方程(一)——合并同类项与移项
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| 名称 | 《初中同步测控全优设计》2013-2014学年人教版七年级数学上册例题与讲解：第三章3.2 解一元一次方程(一)——合并同类项与移项 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-11-06 21:33:25 | ||
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文档简介
3.2 解一元一次方程(一)——合并同类项与移项
1．解方程——系数化为1
(1)意义：解方程过程就是将方程化为x＝a的过程(其中a是常数)，即最后要将未知数的系数化为1.
(2)依据：等式的性质2.
(3)方法：根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以未知数系数本身或乘以系数的倒数．如：－2x＝6，将方程左右两边同时除以－2eq \b\lc\(\rc\)()，得－2x×eq \b\lc\(\rc\)()＝6×eq \b\lc\(\rc\)()，即x＝－3.
【例1】 解下列方程：
(1)x＝4；(2)－x＝－；(3)－0.3y＝2.
分析：(1)系数是分数的两边同乘以它的倒数；(2)系数是－1，乘以－1或除以－1均可；(3)系数是小数，可以化为分数，两边同乘以它的倒数．
解：(1)方程两边同乘以，得x×＝4×，∴x＝6；
(2)方程两边同乘以－1，
得－x×(－1)＝－×(－1)，
∴x＝；
(3)方程两边同乘以－，得－0.3y×eq \b\lc\(\rc\)()＝2×eq \b\lc\(\rc\)()，
∴y＝－.
警误区 系数化为1时的注意点 将系数化为1时，容易漏符号和乘错系数，如：－x＝，错解为：x＝1或－1或x＝，正确的解应是x＝－.
2.解方程——合并同类项
(1)意义：在解一元一次方程过程中，合并 ( http: / / www.21cnjy.com )同类项就是指合并含有未知数的项和合并常数项，从而把方程转化为ax＝b，使其更接近x＝a的形式(其中a，b是常数)．
(2)作用：合并同类项起到了“化简”的作用，为系数化为1作基础，也是必须前提．
解技巧 如何合并同类项 根据合并同类项法 ( http: / / www.21cnjy.com )则，系数相加，字母部分(未知数及指数)不变．在解一元一次方程中，它主要包括两类：一是未知数合并同类项，二是常数项合并同类项．
【例2】 解下列方程：
(1)2x＋3x＋4x＝18；
(2)3y－4y＝－25－20；
(3)7x－2.5x＋3x－1.5x＝－15×4－6×3.
分析：方程的左边是未知项，右边是常数项可以直接合并，把方程转化成x＝a的形式．
解：(1)2x＋3x＋4x＝18，
合并同类项，得9x＝18.
系数化为1，得x＝2.
(2)3y－4y＝－25－20，
合并同类项，得－y＝－45.
系数化为1，得y＝45.
(3)7x－2.5x＋3x－1.5x
＝－15×4－6×3，
合并同类项，得6x＝－78.
系数化为1，得x＝－13.
3．解方程——移项
(1)定义：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项；
(2)实质：是等式的性质1的应用的延伸，如：在方程2x－5＝3中，左右两边同时加5，左边的－5消掉，右边出现＋5，相当于将左边的－5变号后移到右边；
(3)目的：移项目的是将含有未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，经合并同类项化为ax＝b(a，b为常数)的形式．
(4)注意点：移项不同于加法交换律中的交换位置，移项一定是从等号的一边移到另一边，且一定要变号．
注意：移项一定要过桥“＝”、变号．
【例3】 解下列方程：
(1)－2x－6＝－4x＋8；(2)x－4＝x.
分析：移项，将未知项移到方程左边，已知项移到方程右边，经合并同类项化为ax＝b(a，b为常数)的形式再把系数化为1，即可解出方程．
解：(1)－2x－6＝－4x＋8，
移项，得－2x＋4x＝8＋6.
合并同类项，得2x＝14.
系数化为1，得x＝7.
(2)x－4＝x，
移项，得x－x＝4.
合并同类项，得x＝4.
4．列方程解应用题
(1)意义：方程是刻画现实世界的有效数学模 ( http: / / www.21cnjy.com )型，通过设未知数，找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程并求解，从而解决实际问题．
(2)方法步骤：
①设：根据题意设出适合的未知数，一般是问什么设什么(直接设法)，有时采用间接设法．
②列：找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，用式子表示，列出方程．
③解：解出方程，并检验解是否符合实际．
④答：回答说明实际问题的答案．
解技巧 列方程解应用题 运用方程解决实际问题最大的特点是设出未知数后，可以用含未知数的代数式表示所需要的量，符合人们顺向思维的观点．
【例4】 某乡改种玉米为种优质杂粮后，今年农民人均收入比去年提高20%.今年人均收入比去年的1.5倍少1 200元．这个乡去年农民人均收入是多少元？
分析：列方程就是用两种不同 ( http: / / www.21cnjy.com )的方法表示同一个量，设这个乡去年农民人均收入是x元，那么今年的人均收入是(1＋20%)x元，又今年人均收入比去年的1.5倍少1 200元，所以今年的人均收入又可以表示为(1.5x－1 200)元．
解：设这个乡去年农民人均收入是x元，根据题意，得(1＋20%)x＝1.5x－1 200，解方程，得x＝4 000.
答：这个乡去年农民人均收入是4 000元．
5．部分与全量关系型应用题
“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中常用的等量关系，它包含在各类题目中，是最基础、最常用的一种等量关系之一，题目一般已知总量，再通过不同的方式表述各分量所占比例，或各分量之间的倍数关系，求某一个量，如：一批文稿，若由甲抄30小时抄完，乙抄20小时抄完，现由甲抄3小时后改由乙抄余下部分，那么乙尚需几小时抄完？其中包含的数量关系就是，甲抄写的量＋乙抄写的量＝总量．
部分与总量的关系 一般设其中的一部分为x，根据各部分之间的关系，用含x的式子表示其他分量，最后相加等于总量．
【例5－1】 用大小两台拖拉机耕地，每小时共耕地30亩．已知大拖拉机的效率是小拖拉机的1.5倍，问小拖拉机每小时耕地多少亩？
分析：大拖拉机1小时的耕地亩数＋小拖拉机1小时的耕地亩数＝1小时的耕地总亩数．
解：设小拖拉机每小时耕地x亩，那么大拖拉机每小时耕地1.5x亩，根据题意，得x＋1.5x＝30，解方程，得x＝12.
答：小拖拉机每小时耕地12亩．
【例5－2】 甲、乙两列火车分别从相距 ( http: / / www.21cnjy.com )660千米的A，B两地同时出发，相向而行，2小时后相遇，其中甲的速度是乙的速度的1.2倍，求甲、乙两车的速度．
分析：甲的路程＋乙的路程＝总路程．
解：设乙的速度为y千米/时，则甲的 ( http: / / www.21cnjy.com )速度为1.2y千米/时，根据题意，得2×1.2y＋2y＝660，解方程，得y＝150.150×1.2＝180(千米/时)．
答：甲、乙两车的速度分别是180千米/时，150千米/时．
6.盈不足问题解法
“盈不足”问题是日常生活中平分钱物 ( http: / / www.21cnjy.com )经常出现的问题，是方程解决实际问题的典例，顾名思义，它一般是按一个数目分配不够(少)，按另一个数目分配结余(多)，不论怎么分配，被分配的物品的总量不变，人数不变，只是分配方式的变化，所以“表示同一个量的两个不同的式子相等”是一个基本的相等关系．
【例6】 七年级(1)班组织全班学生去郊游，但需要一定的费用，如果每个学生付5元，那么还差15.6元；如果每个学生付5.5元，那么就多出10.4元，则这个班有多少名学生？共需费用多少元？
分析：不论每人5元不够，还是每人5.5元结余，总费用不变．
解：设这个班有x名学生，根据题意，得
5x＋15.6＝5.5x－10.4.解方程，得x＝52.
总费用：5×52＋15.6＝275.6(元)．
答：这个班有52名学生，共需费用275.6元．
7.数字问题
数字问题是数学中出现较多的问题，它分类多，主要有以下两类：
(1)顺序数字问题：按一定规律排列的一系列数字，已知其中几个数的和，求每个数是多少，如课本例2：
一列数，按一定规律排列成1，－3,9，－27 ( http: / / www.21cnjy.com ),81，－243，…，其中某三个相邻数的和是－1 701，这三个数各是多少，或连续三个奇数的和是51，求这三个数，或给出一个日历表等，框出一些数，已知它们的和，求各数等．
解法：这类题目一般是设其中一个数为x，根据排列规律用含x的式子表示出其他各数，把它们相加列出方程求解，再分别求出各数．
(2)求两位数、三位数问题：已知一个两位数或三位数中各个数位上的数字间的关系，求这个数．
解法：这类问题不能直接设这 ( http: / / www.21cnjy.com )个数，应该设其中一数位上的数字是x，根据其他数位上的数字与这个数字之间的关系，用含x的式子表示出其他数字，根据“个位数字是x，十位数字是y，百位数字是z，那么这个三位数就是100z＋10y＋x”的道理，写出这个数，列出方程，求出各个数位上的数字，进而求出这个数．
【例7－1】 一个两位数，个位上的数字是十位上数字的3倍，它们的和是12，那么这个两位数是多少？
分析：求两位数或三位数的问题，不能直接设，而应该间接设十位上的数字是x，那么个位数字就是3x.
解：设十位上的数字是x，那么个位上数字就是3x，根据题意，得x＋3x＝12.
解方程，得x＝3.个位上的数字是3x＝3×3＝9.
答：这个两位数是39.
【例7－2】 已知三个连续偶数的和是30，求这三个偶数．
分析：遇到三个偶数或三个 ( http: / / www.21cnjy.com )奇数问题，常设中间的一个数为x，则前面的数为x－2，后面的数为x＋2.也可设最前面的一个数为x，那么后面的两个数分别是(x＋2)，(x＋4)．
解：设中间的一个数为x，则前面的数为x－2，后面的数为x＋2，根据题意，得x－2＋x＋x＋2＝30.解方程，得x＝10.
答：这三个连续偶数为8,10,12.
【例7－3】 下面给出的是2013年7 ( http: / / www.21cnjy.com )月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，圈出的三个数的和不可能是( )．
( http: / / www.21cnjy.com )
A．69 B．54 C．27 D．40
解析：设中间的数为x，那么三个数分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )x－7，x，x＋7，合并化简得这三个数的和为3x，所以三个数的和一定能被3整除．只有D不能被3整除，故选D.
答案：D
8.方案设计题应用
方案设计题是近几年中考的热点，也是现实生活中经常遇到的问题，它是我们生活中决策、选择的数学依据．
在目前这类问题一般比较简单，给出两种方案，让我们选择在不同情况下，选择哪种方案合算或更好．
破疑点 方案问题的解题方法 一般设两种方案花费一样多时的情况，列出方程，求出临界点时的情况，再根据变化通过讨论，选择最优方案．
【例8】 某影碟出租店采用两种租碟 ( http: / / www.21cnjy.com )方式：一种是零星租碟，每张收费1元；另一种是会员卡租碟，办卡费12元，租碟费每张0.4元，小华经常来该店租碟，请你帮小华设计一下怎样租碟合算？
分析：哪种方式租碟更合算取决于小华租碟的 ( http: / / www.21cnjy.com )数量，因此先求出费用一样时的情况，可设每月租碟x张时费用一样，根据两种收费方式相等，列出方程再分类讨论．
解：设小华每月租碟x张时收费一样多，根据题意，得x＝0.4x＋12，解方程，得x＝20.
所以当每月租碟20张时两种方式收费一样多；
当每月租碟大于20张时，办会员卡合算；
当每月租碟少于20张时，零星租碟合算．
9.绝对值方程的解法
(1)绝对值方程：像|x|＝5，|x－3|＝2这样的方程，我们叫做绝对值方程，即绝对值中含有未知数的方程．
(2)解法：这类方程的解法关键就是去 ( http: / / www.21cnjy.com )掉绝对值号，把方程转化为一元一次方程，再解一元一次方程求解．如：|x－3|＝2，由绝对值意义可知，＋2和－2的绝对值都等于2，所以转化为两个一元一次方程：x－3＝2和x－3＝－2，解方程，得x＝5或x＝1，将它们分别代入原方程检验，x＝5，x＝1都能使方程左右两边相等，所以是绝对值方程的解．
破疑点 绝对值方程的解法 ①对于绝对 ( http: / / www.21cnjy.com )值方程，大多方程有两个解，有些方程无解，有的只有一个解，应注意．②对于较复杂的绝对值方程如：|3x－2|＝|x＋1|，解法也是根据绝对值的性质，化为一元一次方程解决，可化为3x－2＝x＋1和3x－2＝－(x＋1)来解决．
【例9】 解下列方程：
(1)|－x|－1＝0；(2)|2x－3|＝－7；
(3)|－6＋5x|＝|－3|；(4)|－x＋2|＝0.
分析：(1)移项，方程可化为|－x|＝1，所以－x＝1或－x＝－1，解此方程就能求出原绝对值方程的解．
(2)没有哪个数的绝对值是负数，所以此方程无解．
(3)|－3|＝3，所以原方程就是|－6＋5x|＝3.
(4)0的绝对值等于0，所以－x＋2＝0.
解：(1)移项，得|－x|＝1，方程可化为－x＝1和－x＝－1，解方程，得x＝－和x＝.
(2)原方程无解．
(3)原方程化为：－6＋5x＝3和－6＋5x＝－3，解方程，得x＝，x＝.
(4)原方程可化为－x＋2＝0，解方程，得x＝.
10.比例型问题的巧设与妙解
运用一元一次方程解决比例分配问题时，设是关键，一般是设每一份为x，再根据每一份所占的比例，用含未知数的式子表示每一份，从而列出方程，解决问题．如：某种中药含有甲、乙、丙、丁四种草药成分，这四种成分的质量比是0.7∶1∶2∶4.7.现在要配制这种中药2 100克，四种草药分别需要多少克？本题所求的量有四个，若设其中一个(第二个量除外)为未知数，虽也能列方程求解，但会出现较复杂的关系转换，带来计算上的烦琐，故不可取．本题既给出了四个量的比例关系，我们不妨间接设未知数：设比例中的“每一份”为x克，则甲、乙、丙、丁四种草药分别为0.7x克，x克，2x克，4.7x克，根据题意，得0.7x＋x＋2x＋4.7x＝2 100.解此方程即可求出x，再根据所占比例，分别求出四种药材的用量．
解技巧 解比例型应用题的方法 ( http: / / www.21cnjy.com ) 若题目中有比例为1的情况时，可设比例为1的为x，若比值中没有所占比例为1的，则设“每一份”为未知数更具有优越性．
【例10－1】 某会议厅主席台上方有一个长12.8 m的长条形(矩形)会议横标框，铺红色衬底．开会前将会议名称用白色厚纸或不干胶纸刻出来贴于其上．但会议名称不同，字数一般每次都多少不等，为了制作及贴字时方便美观，会议厅工作人员对有关数据作了如下规定：边空∶字宽∶字距＝9∶6∶2，如下图所示．
根据这个规定，求会议名称的字数为18时，边空、字宽、字距各是多少？
分析：可设每一份为x cm，根据图示得到所有的边距、字宽、字距之和等于1 280 cm，列出方程．
解：设边空、字宽、字距分别为9x cm,6x cm,2x cm，
则9x×2＋6x×18＋2x(18－1)＝1 280.
解方程，得x＝8.
所以9x＝72,6x＝48,2x＝16.
答：边空为72 cm，字宽为48 cm，字距为16 cm.
【例10－2】 一个黑白足球的表面一共 ( http: / / www.21cnjy.com )有32块皮块，其中有若干块黑色五边形和白色六边形皮块组成，其中黑、白皮块的数目之比为3∶5，问黑色、白色皮块各有多少块？
解：设黑、白皮块分别有3x,5x块，根据题意，得3x＋5x＝32.解方程，得x＝4，所以3x＝12,5x＝20.
答：黑皮块有12块、白皮块有20块．
1．解方程——系数化为1
(1)意义：解方程过程就是将方程化为x＝a的过程(其中a是常数)，即最后要将未知数的系数化为1.
(2)依据：等式的性质2.
(3)方法：根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以未知数系数本身或乘以系数的倒数．如：－2x＝6，将方程左右两边同时除以－2eq \b\lc\(\rc\)()，得－2x×eq \b\lc\(\rc\)()＝6×eq \b\lc\(\rc\)()，即x＝－3.
【例1】 解下列方程：
(1)x＝4；(2)－x＝－；(3)－0.3y＝2.
分析：(1)系数是分数的两边同乘以它的倒数；(2)系数是－1，乘以－1或除以－1均可；(3)系数是小数，可以化为分数，两边同乘以它的倒数．
解：(1)方程两边同乘以，得x×＝4×，∴x＝6；
(2)方程两边同乘以－1，
得－x×(－1)＝－×(－1)，
∴x＝；
(3)方程两边同乘以－，得－0.3y×eq \b\lc\(\rc\)()＝2×eq \b\lc\(\rc\)()，
∴y＝－.
警误区 系数化为1时的注意点 将系数化为1时，容易漏符号和乘错系数，如：－x＝，错解为：x＝1或－1或x＝，正确的解应是x＝－.
2.解方程——合并同类项
(1)意义：在解一元一次方程过程中，合并 ( http: / / www.21cnjy.com )同类项就是指合并含有未知数的项和合并常数项，从而把方程转化为ax＝b，使其更接近x＝a的形式(其中a，b是常数)．
(2)作用：合并同类项起到了“化简”的作用，为系数化为1作基础，也是必须前提．
解技巧 如何合并同类项 根据合并同类项法 ( http: / / www.21cnjy.com )则，系数相加，字母部分(未知数及指数)不变．在解一元一次方程中，它主要包括两类：一是未知数合并同类项，二是常数项合并同类项．
【例2】 解下列方程：
(1)2x＋3x＋4x＝18；
(2)3y－4y＝－25－20；
(3)7x－2.5x＋3x－1.5x＝－15×4－6×3.
分析：方程的左边是未知项，右边是常数项可以直接合并，把方程转化成x＝a的形式．
解：(1)2x＋3x＋4x＝18，
合并同类项，得9x＝18.
系数化为1，得x＝2.
(2)3y－4y＝－25－20，
合并同类项，得－y＝－45.
系数化为1，得y＝45.
(3)7x－2.5x＋3x－1.5x
＝－15×4－6×3，
合并同类项，得6x＝－78.
系数化为1，得x＝－13.
3．解方程——移项
(1)定义：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项；
(2)实质：是等式的性质1的应用的延伸，如：在方程2x－5＝3中，左右两边同时加5，左边的－5消掉，右边出现＋5，相当于将左边的－5变号后移到右边；
(3)目的：移项目的是将含有未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，经合并同类项化为ax＝b(a，b为常数)的形式．
(4)注意点：移项不同于加法交换律中的交换位置，移项一定是从等号的一边移到另一边，且一定要变号．
注意：移项一定要过桥“＝”、变号．
【例3】 解下列方程：
(1)－2x－6＝－4x＋8；(2)x－4＝x.
分析：移项，将未知项移到方程左边，已知项移到方程右边，经合并同类项化为ax＝b(a，b为常数)的形式再把系数化为1，即可解出方程．
解：(1)－2x－6＝－4x＋8，
移项，得－2x＋4x＝8＋6.
合并同类项，得2x＝14.
系数化为1，得x＝7.
(2)x－4＝x，
移项，得x－x＝4.
合并同类项，得x＝4.
4．列方程解应用题
(1)意义：方程是刻画现实世界的有效数学模 ( http: / / www.21cnjy.com )型，通过设未知数，找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程并求解，从而解决实际问题．
(2)方法步骤：
①设：根据题意设出适合的未知数，一般是问什么设什么(直接设法)，有时采用间接设法．
②列：找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，用式子表示，列出方程．
③解：解出方程，并检验解是否符合实际．
④答：回答说明实际问题的答案．
解技巧 列方程解应用题 运用方程解决实际问题最大的特点是设出未知数后，可以用含未知数的代数式表示所需要的量，符合人们顺向思维的观点．
【例4】 某乡改种玉米为种优质杂粮后，今年农民人均收入比去年提高20%.今年人均收入比去年的1.5倍少1 200元．这个乡去年农民人均收入是多少元？
分析：列方程就是用两种不同 ( http: / / www.21cnjy.com )的方法表示同一个量，设这个乡去年农民人均收入是x元，那么今年的人均收入是(1＋20%)x元，又今年人均收入比去年的1.5倍少1 200元，所以今年的人均收入又可以表示为(1.5x－1 200)元．
解：设这个乡去年农民人均收入是x元，根据题意，得(1＋20%)x＝1.5x－1 200，解方程，得x＝4 000.
答：这个乡去年农民人均收入是4 000元．
5．部分与全量关系型应用题
“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中常用的等量关系，它包含在各类题目中，是最基础、最常用的一种等量关系之一，题目一般已知总量，再通过不同的方式表述各分量所占比例，或各分量之间的倍数关系，求某一个量，如：一批文稿，若由甲抄30小时抄完，乙抄20小时抄完，现由甲抄3小时后改由乙抄余下部分，那么乙尚需几小时抄完？其中包含的数量关系就是，甲抄写的量＋乙抄写的量＝总量．
部分与总量的关系 一般设其中的一部分为x，根据各部分之间的关系，用含x的式子表示其他分量，最后相加等于总量．
【例5－1】 用大小两台拖拉机耕地，每小时共耕地30亩．已知大拖拉机的效率是小拖拉机的1.5倍，问小拖拉机每小时耕地多少亩？
分析：大拖拉机1小时的耕地亩数＋小拖拉机1小时的耕地亩数＝1小时的耕地总亩数．
解：设小拖拉机每小时耕地x亩，那么大拖拉机每小时耕地1.5x亩，根据题意，得x＋1.5x＝30，解方程，得x＝12.
答：小拖拉机每小时耕地12亩．
【例5－2】 甲、乙两列火车分别从相距 ( http: / / www.21cnjy.com )660千米的A，B两地同时出发，相向而行，2小时后相遇，其中甲的速度是乙的速度的1.2倍，求甲、乙两车的速度．
分析：甲的路程＋乙的路程＝总路程．
解：设乙的速度为y千米/时，则甲的 ( http: / / www.21cnjy.com )速度为1.2y千米/时，根据题意，得2×1.2y＋2y＝660，解方程，得y＝150.150×1.2＝180(千米/时)．
答：甲、乙两车的速度分别是180千米/时，150千米/时．
6.盈不足问题解法
“盈不足”问题是日常生活中平分钱物 ( http: / / www.21cnjy.com )经常出现的问题，是方程解决实际问题的典例，顾名思义，它一般是按一个数目分配不够(少)，按另一个数目分配结余(多)，不论怎么分配，被分配的物品的总量不变，人数不变，只是分配方式的变化，所以“表示同一个量的两个不同的式子相等”是一个基本的相等关系．
【例6】 七年级(1)班组织全班学生去郊游，但需要一定的费用，如果每个学生付5元，那么还差15.6元；如果每个学生付5.5元，那么就多出10.4元，则这个班有多少名学生？共需费用多少元？
分析：不论每人5元不够，还是每人5.5元结余，总费用不变．
解：设这个班有x名学生，根据题意，得
5x＋15.6＝5.5x－10.4.解方程，得x＝52.
总费用：5×52＋15.6＝275.6(元)．
答：这个班有52名学生，共需费用275.6元．
7.数字问题
数字问题是数学中出现较多的问题，它分类多，主要有以下两类：
(1)顺序数字问题：按一定规律排列的一系列数字，已知其中几个数的和，求每个数是多少，如课本例2：
一列数，按一定规律排列成1，－3,9，－27 ( http: / / www.21cnjy.com ),81，－243，…，其中某三个相邻数的和是－1 701，这三个数各是多少，或连续三个奇数的和是51，求这三个数，或给出一个日历表等，框出一些数，已知它们的和，求各数等．
解法：这类题目一般是设其中一个数为x，根据排列规律用含x的式子表示出其他各数，把它们相加列出方程求解，再分别求出各数．
(2)求两位数、三位数问题：已知一个两位数或三位数中各个数位上的数字间的关系，求这个数．
解法：这类问题不能直接设这 ( http: / / www.21cnjy.com )个数，应该设其中一数位上的数字是x，根据其他数位上的数字与这个数字之间的关系，用含x的式子表示出其他数字，根据“个位数字是x，十位数字是y，百位数字是z，那么这个三位数就是100z＋10y＋x”的道理，写出这个数，列出方程，求出各个数位上的数字，进而求出这个数．
【例7－1】 一个两位数，个位上的数字是十位上数字的3倍，它们的和是12，那么这个两位数是多少？
分析：求两位数或三位数的问题，不能直接设，而应该间接设十位上的数字是x，那么个位数字就是3x.
解：设十位上的数字是x，那么个位上数字就是3x，根据题意，得x＋3x＝12.
解方程，得x＝3.个位上的数字是3x＝3×3＝9.
答：这个两位数是39.
【例7－2】 已知三个连续偶数的和是30，求这三个偶数．
分析：遇到三个偶数或三个 ( http: / / www.21cnjy.com )奇数问题，常设中间的一个数为x，则前面的数为x－2，后面的数为x＋2.也可设最前面的一个数为x，那么后面的两个数分别是(x＋2)，(x＋4)．
解：设中间的一个数为x，则前面的数为x－2，后面的数为x＋2，根据题意，得x－2＋x＋x＋2＝30.解方程，得x＝10.
答：这三个连续偶数为8,10,12.
【例7－3】 下面给出的是2013年7 ( http: / / www.21cnjy.com )月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，圈出的三个数的和不可能是( )．
( http: / / www.21cnjy.com )
A．69 B．54 C．27 D．40
解析：设中间的数为x，那么三个数分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )x－7，x，x＋7，合并化简得这三个数的和为3x，所以三个数的和一定能被3整除．只有D不能被3整除，故选D.
答案：D
8.方案设计题应用
方案设计题是近几年中考的热点，也是现实生活中经常遇到的问题，它是我们生活中决策、选择的数学依据．
在目前这类问题一般比较简单，给出两种方案，让我们选择在不同情况下，选择哪种方案合算或更好．
破疑点 方案问题的解题方法 一般设两种方案花费一样多时的情况，列出方程，求出临界点时的情况，再根据变化通过讨论，选择最优方案．
【例8】 某影碟出租店采用两种租碟 ( http: / / www.21cnjy.com )方式：一种是零星租碟，每张收费1元；另一种是会员卡租碟，办卡费12元，租碟费每张0.4元，小华经常来该店租碟，请你帮小华设计一下怎样租碟合算？
分析：哪种方式租碟更合算取决于小华租碟的 ( http: / / www.21cnjy.com )数量，因此先求出费用一样时的情况，可设每月租碟x张时费用一样，根据两种收费方式相等，列出方程再分类讨论．
解：设小华每月租碟x张时收费一样多，根据题意，得x＝0.4x＋12，解方程，得x＝20.
所以当每月租碟20张时两种方式收费一样多；
当每月租碟大于20张时，办会员卡合算；
当每月租碟少于20张时，零星租碟合算．
9.绝对值方程的解法
(1)绝对值方程：像|x|＝5，|x－3|＝2这样的方程，我们叫做绝对值方程，即绝对值中含有未知数的方程．
(2)解法：这类方程的解法关键就是去 ( http: / / www.21cnjy.com )掉绝对值号，把方程转化为一元一次方程，再解一元一次方程求解．如：|x－3|＝2，由绝对值意义可知，＋2和－2的绝对值都等于2，所以转化为两个一元一次方程：x－3＝2和x－3＝－2，解方程，得x＝5或x＝1，将它们分别代入原方程检验，x＝5，x＝1都能使方程左右两边相等，所以是绝对值方程的解．
破疑点 绝对值方程的解法 ①对于绝对 ( http: / / www.21cnjy.com )值方程，大多方程有两个解，有些方程无解，有的只有一个解，应注意．②对于较复杂的绝对值方程如：|3x－2|＝|x＋1|，解法也是根据绝对值的性质，化为一元一次方程解决，可化为3x－2＝x＋1和3x－2＝－(x＋1)来解决．
【例9】 解下列方程：
(1)|－x|－1＝0；(2)|2x－3|＝－7；
(3)|－6＋5x|＝|－3|；(4)|－x＋2|＝0.
分析：(1)移项，方程可化为|－x|＝1，所以－x＝1或－x＝－1，解此方程就能求出原绝对值方程的解．
(2)没有哪个数的绝对值是负数，所以此方程无解．
(3)|－3|＝3，所以原方程就是|－6＋5x|＝3.
(4)0的绝对值等于0，所以－x＋2＝0.
解：(1)移项，得|－x|＝1，方程可化为－x＝1和－x＝－1，解方程，得x＝－和x＝.
(2)原方程无解．
(3)原方程化为：－6＋5x＝3和－6＋5x＝－3，解方程，得x＝，x＝.
(4)原方程可化为－x＋2＝0，解方程，得x＝.
10.比例型问题的巧设与妙解
运用一元一次方程解决比例分配问题时，设是关键，一般是设每一份为x，再根据每一份所占的比例，用含未知数的式子表示每一份，从而列出方程，解决问题．如：某种中药含有甲、乙、丙、丁四种草药成分，这四种成分的质量比是0.7∶1∶2∶4.7.现在要配制这种中药2 100克，四种草药分别需要多少克？本题所求的量有四个，若设其中一个(第二个量除外)为未知数，虽也能列方程求解，但会出现较复杂的关系转换，带来计算上的烦琐，故不可取．本题既给出了四个量的比例关系，我们不妨间接设未知数：设比例中的“每一份”为x克，则甲、乙、丙、丁四种草药分别为0.7x克，x克，2x克，4.7x克，根据题意，得0.7x＋x＋2x＋4.7x＝2 100.解此方程即可求出x，再根据所占比例，分别求出四种药材的用量．
解技巧 解比例型应用题的方法 ( http: / / www.21cnjy.com ) 若题目中有比例为1的情况时，可设比例为1的为x，若比值中没有所占比例为1的，则设“每一份”为未知数更具有优越性．
【例10－1】 某会议厅主席台上方有一个长12.8 m的长条形(矩形)会议横标框，铺红色衬底．开会前将会议名称用白色厚纸或不干胶纸刻出来贴于其上．但会议名称不同，字数一般每次都多少不等，为了制作及贴字时方便美观，会议厅工作人员对有关数据作了如下规定：边空∶字宽∶字距＝9∶6∶2，如下图所示．
根据这个规定，求会议名称的字数为18时，边空、字宽、字距各是多少？
分析：可设每一份为x cm，根据图示得到所有的边距、字宽、字距之和等于1 280 cm，列出方程．
解：设边空、字宽、字距分别为9x cm,6x cm,2x cm，
则9x×2＋6x×18＋2x(18－1)＝1 280.
解方程，得x＝8.
所以9x＝72,6x＝48,2x＝16.
答：边空为72 cm，字宽为48 cm，字距为16 cm.
【例10－2】 一个黑白足球的表面一共 ( http: / / www.21cnjy.com )有32块皮块，其中有若干块黑色五边形和白色六边形皮块组成，其中黑、白皮块的数目之比为3∶5，问黑色、白色皮块各有多少块？
解：设黑、白皮块分别有3x,5x块，根据题意，得3x＋5x＝32.解方程，得x＝4，所以3x＝12,5x＝20.
答：黑皮块有12块、白皮块有20块．