《初中同步测控全优设计》2013-2014学年人教版七年级数学上册例题与讲解：第三章3.3 解一元一次方程(二)——去括号与去分母
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| 名称 | 《初中同步测控全优设计》2013-2014学年人教版七年级数学上册例题与讲解：第三章3.3 解一元一次方程(二)——去括号与去分母 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 3.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-11-06 21:48:47 | ||
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文档简介
3.3 解一元一次方程(二)——去括号与去分母
1．解一元一次方程——去括号
(1)意义：在解方程过程中，为了便于移项、合并同类项，将括号去掉．
(2)依据：去括号法则：①括号前是“＋” ( http: / / www.21cnjy.com )号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不改变符号；②括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号．
(3)解一元一次方程的步骤：→→→.
谈重点 去括号 ①括号前面是“－”号时，去掉括号后，括号内的各项均要改变符号，不能只改变括号内第一项或前几项的符号，而忘记改变其余的符号．
②当括号前是数字因数时，应利用分配律先将数与括号内的各项分别相乘再去括号，以免发生错误．
③遇到多层括号一般由里到外，逐层去括号，也可由外到里．
【例1】 去括号解下列方程：
(1)x＋1＝2(2x－7)；
(2)3(x＋1)－2(x＋2)＝2x＋3.
分析：先去括号，变为前面所学类型方程，再移项、合并同类项、系数化为1求解．
解：(1)x＋1＝2(2x－7)，
去括号，得x＋1＝4x－14.
移项，得－4x＋x＝－14－1.
合并同类项，得－3x＝－15.
系数化为1，得x＝5.
(2)3(x＋1)－2(x＋2)＝2x＋3，
去括号，得3x＋3－2x－4＝2x＋3.
化简，得x－1＝2x＋3.
移项，得x－2x＝3＋1.
合并同类项，得－x＝4.
系数化为1，得x＝－4.
2．解一元一次方程——去分母
(1)目的：将方程中的分母化去，把系数化为整数，便于计算．
(2)依据：等式的性质2.
(3)方法：方程两边同时都乘以所有分母的最小公倍数，约去分母，变为不含分母的方程．
谈重点 去分母 ①等式两边每项都同时乘以分母的“最小公倍数”，没分母的项也要乘以最小公倍数．②去分母后分子是多项式的一定要用括号括起来．
(4)解一元一次方程的步骤
解一元一次方程的一般步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.具体见下表：
变形名称 具体做法 变形依据 注意事项
去分母 方程左右两边的每一项都乘以各分母的最小公倍数 等式的基本性质2 不能有漏乘不含分母的项；分子是多项式的去掉分母后，要加小括号
去括号 可由小到大，或由大到小去括号 乘法对加法的分配律；去括号的法则 不要漏乘括号内的项；括号前是“－”号的，去括号时括号内的所有项都要变号
移项 移项就是将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边. 等式的基本性质1 移项要变号
合并同类项 将方程化为ax＝b的最简形式 合并同类项的法则 只将系数相加，字母及其指数不变
化系数为1 方程的左右两边同时除以未知数系数或乘以未知数系数的倒数 等式的基本性质2 分子、分母不能颠倒
谈重点 解一元一次方程的步骤 值得注意的 ( http: / / www.21cnjy.com )是：(1)这些步骤在解方程时不一定全部都用到，也不一定按照顺序进行，可根据方程的形式，灵活安排步骤；(2)为了避免错误，可将解出的结果代入原方程进行检验．
【例2】 解下列方程：
(1)－1＝；
(2)－＝2－.
分析：(1)方程两边同乘以4和6的最小公倍数12，去掉分母．(2)方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数6去掉分母．
解：(1)－1＝，
去分母，得3(2y－1)－12＝2(y－2)．
去括号，得6y－3－12＝2y－4.
移项，得6y－2y＝－4＋3＋12.
合并同类项，得4y＝11.
系数化为1，得y＝.
(2)－＝2－，
去分母，得2(x－1)－(x＋2)＝12－3(4－x)．
去括号，得2x－2－x－2＝12－12＋3x.
化简，得x－4＝3x.
移项，得x－3x＝4.
合并同类项，得－2x＝4.
系数化为1，得x＝－2.
注意：去分母时一定不要漏乘不含分母的项哦．
3．解含有小数分母的方程
(1)意义：有些方程分子、分母中含有小数( ( http: / / www.21cnjy.com )分数)，可根据分数的性质，将分子、分母化为整数，变为含整数分母的方程，再去分母，逐步化简，解出方程．
(2)依据：分数的性质(分数的分子分母同乘以或除以一个不为0的数，分数的值不变)．
(3)方法：根据实际，一般把单个含小数分母的式子的分子、分母同乘以10或100，化为整数分母．
(4)与去分母的异同：①去 ( http: / / www.21cnjy.com )分母根据的是等式的性质，两边同乘，去掉分母，两边的值改变，只是左右两边还相等，②化小数分母为整数分母，根据的是分数的性质，分子分母同乘，是局部变化，值不变．
【例3】 解方程：(1)＋＝.
(2)＋＝.
分析：根据分数的基本性质，将含小数分母的式子，分子、分母同乘以10(或100)，把小数分母化为整数分母．
解：(1)化为整数分母，得
＋＝，
即＋＝.
化简，得＋＝4－10x.
去分母并解方程，得x＝.
(2)化为整数分母，得＋＝2x.
去分母，得5(x－4)＋2(2x－3)＝2x×10.
解方程，得x＝－.
4.行程问题
行程问题是应用题中最常见、应用最多，分类和变化最多的一类题．
(1)相关量及关系：路程s、速度v、时间t，s＝vt，以及由此变化得到的v＝；t＝.
(2)行程问题中常用等量关系：必须是路程＝路程，速度＝速度，时间＝时间．
行程问题一般都有两种情况，分别有甲、乙各自的路程、时间、速度，但绝大多数情况下，甲、乙的路程与路程、时间与时间、速度与速度之间又互相联系．
(3)分类：分类多，形式多样，变化也多，主要有相遇问题、追击问题、往返问题、航行问题、环形问题等．
(4)关键词：同时、同地、相向而行、背向而行，先出发、后出发、晚几小时到达、每小时多行、返回、相遇、相距、….
(5)注意点：行程问题中，不管甲、乙两种情况之间有何联系，甲的路程＝甲的时间×甲的速度，甲的速度＝甲的路程÷甲的时间，不能出现甲的速度＝乙的路程÷乙的时间这样的问题，即使甲、乙的路程、速度、时间相等，但也是各自的路程、速度、时间．
(6)解法：一般根据题意，用线段画出示意图，分析两种情况，从相互关系和自身关系两方面考虑，列方程解决．
【例4－1】 甲、乙两站路程为360 km，一列慢车从甲站开出，每小时行48 km；一列快车从乙站开出，每小时行72 km.
(1)两车同时开出，相向而行，多少小时相遇？
(2)若快车先开出25分钟，慢车再出发，两车相向而行，慢车开出多少小时后两车相遇？
分析：(1)设两车开出x小时后相遇．根据“慢车所走的路程＋快车所走的路程＝总路程”可列方程．
(2)设慢车行驶x小时相遇，根据“慢车所走的路程＋快车所走的路程＝总路程”可列方程．
解：(1)设两车开出x小时后相遇，根据题意，得48x＋72x＝360，解得x＝3.
答：两车开出3小时后相遇．
(2)设慢车开出x小时后相遇，根据题意，得48x＋72x＋72×＝360，解得x＝2.
答：慢车开出2小时后两车相遇．
【例4－2】甲、乙两人分别从A，B两地同时相向出发，在离B地6千米处相遇后又继续前进，甲到B地，乙到A地后，都立即返回，又在离A地8千米处相遇，求A，B两地间的距离．
分析：用常规方法解决本题具有一定难度， ( http: / / www.21cnjy.com )如下图，若把两个运动过程一起处理，第一次相遇，甲、乙两人合走一个全程，对应乙走6千米；第二次相遇，甲、乙两人合走了三个全程，故乙共走了3×6＝18千米，从另一个角度看，乙共走了一个全程加8千米，所以这两个路程是相等的．
解：设A，B两地间的距离为x千米，第二次相遇时乙共走了(x＋8)千米，所以x＋8＝3×6，x＝10.
答：A，B两地间的距离为10千米．,
5．形积问题
(1)常用的体积公式：
长方体的体积＝长×宽×高；
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；
圆柱体的体积＝底面积×高＝πr2h；
圆锥体的体积＝×底面积×高＝πr2h.
(2)常用的面积、周长公式：
长方形的面积＝长×宽；
长方形的周长＝2×(长＋宽)；
正方形的面积＝边长×边长；
正方形的周长＝边长×4；
三角形的面积＝×底×高；
平行四边形的面积＝底×高；
梯形的面积＝×(上底＋下底)×高；
圆的面积＝πr2，圆的周长＝2πr.
(3)形积变化中的等量关系：
形积变化问题中，图形的形状和体积会发生变化，但应用题中一定有相等关系．分以下几种情况：
①形状发生了变化，体积不变．其相等关系是：变化前图形的体积＝变化后图形的体积．
②形状、面积发生了变化，周长不变．其相等关系是：变化前图形的周长＝变化后图形的周长．
③形状、体积不同．根据题意找出体积之间的关系，即为相等关系．
(4)应用题中相等关系的找法：
①认真分析题意，找出已知数和未知数；②抓住题目中反映相等关系的关键词；③掌握基本问题的常用关系式；④通过画图、列表等方法找相等关系．
【例5－1】 墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图中实线所示．小明将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图中虚线所示．小明所钉长方形的长、宽各为多少？
分析：饰物形状变化前后有两个不变的 ( http: / / www.21cnjy.com )量，一个是周长，另一个是变化前梯形的上底和变化后长方形的宽．根据题意可设长方形的长为x，则长方形的周长为2x＋2×10，梯形的周长为10＋10＋10＋6＋10＋6＝52，则2x＋20＝52，从而解得x＝16.
解：设小明所钉长方形的长为x，根据题意得：
2x＋2×10＝10＋10＋6＋10＋6＋10，
整理得，2x＋20＝52，解得x＝16.
由于饰物变化前后长度为10的边没有变化，所以长方形的宽为10.
答：长方形的长为16，宽为10.
【例5－2】 用一个底面半径是40 ( http: / / www.21cnjy.com )毫米，高为120毫米的圆柱形玻璃杯向一个底面半径为100毫米的大圆柱形玻璃杯中倒水，倒了满满10杯水后，大玻璃杯的液面离杯口还有10毫米，则大玻璃杯的高度是多少？
分析：根据“小圆柱体的体积×10＝大圆柱形玻璃杯中水的体积”列方程求解．
解：设大玻璃杯的高度是x毫米，根据题意，得
π·1002(x－10)＝π·402×120×10.
解这个方程，得x＝202.
答：大玻璃杯的高为202毫米．
【例5－3】 将内直径为20 cm的圆柱形水 ( http: / / www.21cnjy.com )桶中的全部水倒入一个长、宽、高分别为30 cm,20 cm,80 cm的长方形铁盒中，正好倒满，求圆柱形水桶的高．(π取3.14)
分析：由于水的体积不变，可知两个容器的容积相同．所以本题的相等关系是：圆柱的容积＝长方体的容积．
解：设圆柱形水桶高x cm.
根据题意，得π2·x＝30×20×80.解得x＝≈152.87.
答：圆柱形水桶高约152.87 cm.
6.巧解一元一次方程
解一元一次方程的一般步骤是 ( http: / / www.21cnjy.com )：有分母的先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1.可有些方程有自己独特的特点，因此它们虽然可以用常规解法解出，但根据方程自身特点，巧妙、灵活运用不同的计算方式和计算手段，可以简化解题过程，能快速准确地解出方程，解决问题．如：方程3(x＋1)－(x－1)＝2(x－1)－(x＋1)可以不先去括号，而把(x＋1)，(x－1)分别看成一个整体进行移项、合并同类项，得(x＋1)＝(x－1)，再去分母，得3(x＋1)＝2(x－1)，进而去求解等．
因此解方程过程中，要注意观察，灵活运用，要勇于突破、创新，最简便、最快捷的解法就是最好的方法．
【例6】 解下列方程：
(1)0.7x＋0.6＝2.3x；(2)x＋＝x－；(3)－x＝2.
分析：(1)两边同乘以1 ( http: / / www.21cnjy.com )0化为整系数解决会更简单；(2)先不去分母，先移项、合并同类项，同分母分数相加，从而简化计算过程；(3)根据分配律从外向内去括号更简便．
解：(1)方程两边同乘以10，得7x＋6＝23x.
移项，得－23x＋7x＝－6.
合并同类项，得－16x＝－6.
系数化为1，得x＝.
(2)移项，得x－x＝－－.
合并同类项，得x＝－2.
(3)去括号，得eq \b\lc\(\rc\)()－3－x＝2.
去括号、化简，得－x－4＝2.
移项、合并同类项，得－x＝6.
系数化为1，得x＝－8.
7．劳力调配问题
劳力调配问题是应用题中常见的一种题型， ( http: / / www.21cnjy.com )这类问题的特点在于两方面的量都在发生变化，变化后原数量之间的大小关系也变化，主要有三种情况：一种是内部调整，由一方调入另一方，核心等量关系是甲增加的数目等于乙减少的数目，另一种外来加入，又分为都变化和只一方变化，第三种调出变化，也分为都调出或一方调出．不论那种情况，搞清人数的变化并用式子表示是关键，一般根据变化后的倍数关系列出方程．
常见题型：(1)既有调入又有调出都变化；(2)只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；(3)只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变．
【例7】 某次义务劳动，有甲、乙两个工 ( http: / / www.21cnjy.com )地，甲工地有27人在劳动，乙工地有19人在劳动．现在又有20人来参加义务劳动，要使甲工地人数为乙工地人数的2倍．问应分别调往甲、乙两工地各多少人？
分析：设应调往甲工地x人，则调往乙工地(20－x)人．甲、乙两工地在增加人员前后的人数如下表：
甲工地人数 乙工地人数
原来 27 19
增加人数后 27＋x 19＋(20－x)
根据“甲工地人数为乙工地人数的2倍”列方程．
解：设应调往甲工地x人，则调往乙工地(20－x)人，
根据题意，得
27＋x＝2[19＋(20－x)]，
去括号，得27＋x＝38＋40－2x，
解得x＝17.
答：应调往甲工地17人，调往乙工地3人．
8.分段型问题应用
分段型一元一次方程的应用是指同一个 ( http: / / www.21cnjy.com )未知量在不同的范围内，限制条件不同的一类应用题．它是日常生活中常见的一种实用型的题型，经常出现在水电费的收取、打的收费、旅游优惠、购物优惠、个人所得税的收取等实际问题中．
这类问题往往描述比较复杂，数据量多，且变 ( http: / / www.21cnjy.com )化多，解决这类问题的关键，先要确定所给的数据所处的分段，然后要根据它的分段收费情况，分类解决．如：某地出租车的收费标准是：起步价10元(3千米以内)；3千米到6千米，每千米2元；6千米之外，每千米1.8元．那么若某人乘车行驶了x千米的路程，他“打的”x千米的费用分为三种情况：(1)当x<3时，需支付10元；(2)当3≤x≤6时，需支付10＋2(x－3)＝(2x＋4)元；(3)当x>6时，需支付10＋3×2＋1.8(x－6)＝16＋1.8x－10.8＝(1.8x＋5.2)元．
析规律 分段型问题 分段型收费问题要分段讨论解决，总收费是各段收费之和，具体计算过程中，一般后面收费时，要除去前面已收费部分，即不重复收费，这点一定要注意．这也是分段型问题的关键．
【例8】 甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果价格如下表：
购买苹果数 不超过30千克 30千克以上但不超过50千克 50千克以上
每千克价格 3元 2.5元 2元
甲班分两次共购买苹果70千克(第二次多于第一次)，共付出189元，乙班则一次购买苹果70千克．
(1)乙班比甲班少付出多少元？
(2)甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？
分析：(1)由于乙班一次购买苹果70 ( http: / / www.21cnjy.com )千克，价格一定是2元/千克，求得乙班购买70千克苹果的金额，相减求出乙班比甲班少付出的金额．(2)要求甲班第一次、第二次分别购买苹果的数量，由表中提供的信息，需分段(三种情况)讨论：①两次都是30千克以上但不超过50千克；②第一次不超过30千克，第二次30千克以上但不超过50千克；③第一次不超过30千克，第二次50千克以上．
解：(1)乙班一次购买苹果70千克共付金额70×2＝140(元)，而189－140＝49(元)，所以乙班比甲班少付出49元．
(2)设第一次购买x千克．下面分三段讨论：
①若两次都是30千克以上但不超过50千克，则根据题意，得2.5x＋2.5(70－x)＝189，显然方程无解；
②第一次不超过30千克，第二次30千克以上但不超过50千克，则根据题意，得3x＋2.5(70－x)＝189，解得x＝28，则70－x＝42.
③第一次不超过30千克，第二次50千克以上，则根据题意，得3x＋2(70－x)＝189，解得x＝49＞30，不符实际．
答：甲班第一次购买28千克，第二次购买42千克．
9.火车过桥类问题解法
在行程问题中，计算路程一般不考虑交通工具的实际长短，但因火车长度较大，在一些过桥、穿越隧道的应用题中往往要考虑火车车身的长度．
这类题目主要出现在两类问题中：一类是火车过桥或过隧道问题，另一类是行军队伍问题，题目一般都告诉火车的长度和队伍的长度．
解法：这类问题归类于行程问题，所以解法 ( http: / / www.21cnjy.com )基本相似，因为整列火车离开桥面才算离开，所以在解决问题中考虑车身的长度，实际行驶路程要加上车长或减车长解决即可．
【例9】 已知某一铁桥长1 0 ( http: / / www.21cnjy.com )00米，今有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用1分钟，整列火车完全在桥上的时间是40秒．求火车的速度和长度．
分析：由题意可知，整列火车完全在桥上时 ( http: / / www.21cnjy.com )，实际的行驶路程＝桥长－车长，完全过桥所行使的路程＝桥长＋车长，可设车长为x米，根据速度相等列方程，求出车长，再求速度，也可以设车速为y千米/秒，根据桥长相等列方程：40y＋200＝60y－200求出速度，再求车长．
解：设火车车身长x米，根据题意，得＝.解得x＝200.
所以车速是＝＝20(米/秒)．
答：火车的速度是20米/秒，长度是200米．
1．解一元一次方程——去括号
(1)意义：在解方程过程中，为了便于移项、合并同类项，将括号去掉．
(2)依据：去括号法则：①括号前是“＋” ( http: / / www.21cnjy.com )号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不改变符号；②括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号．
(3)解一元一次方程的步骤：→→→.
谈重点 去括号 ①括号前面是“－”号时，去掉括号后，括号内的各项均要改变符号，不能只改变括号内第一项或前几项的符号，而忘记改变其余的符号．
②当括号前是数字因数时，应利用分配律先将数与括号内的各项分别相乘再去括号，以免发生错误．
③遇到多层括号一般由里到外，逐层去括号，也可由外到里．
【例1】 去括号解下列方程：
(1)x＋1＝2(2x－7)；
(2)3(x＋1)－2(x＋2)＝2x＋3.
分析：先去括号，变为前面所学类型方程，再移项、合并同类项、系数化为1求解．
解：(1)x＋1＝2(2x－7)，
去括号，得x＋1＝4x－14.
移项，得－4x＋x＝－14－1.
合并同类项，得－3x＝－15.
系数化为1，得x＝5.
(2)3(x＋1)－2(x＋2)＝2x＋3，
去括号，得3x＋3－2x－4＝2x＋3.
化简，得x－1＝2x＋3.
移项，得x－2x＝3＋1.
合并同类项，得－x＝4.
系数化为1，得x＝－4.
2．解一元一次方程——去分母
(1)目的：将方程中的分母化去，把系数化为整数，便于计算．
(2)依据：等式的性质2.
(3)方法：方程两边同时都乘以所有分母的最小公倍数，约去分母，变为不含分母的方程．
谈重点 去分母 ①等式两边每项都同时乘以分母的“最小公倍数”，没分母的项也要乘以最小公倍数．②去分母后分子是多项式的一定要用括号括起来．
(4)解一元一次方程的步骤
解一元一次方程的一般步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.具体见下表：
变形名称 具体做法 变形依据 注意事项
去分母 方程左右两边的每一项都乘以各分母的最小公倍数 等式的基本性质2 不能有漏乘不含分母的项；分子是多项式的去掉分母后，要加小括号
去括号 可由小到大，或由大到小去括号 乘法对加法的分配律；去括号的法则 不要漏乘括号内的项；括号前是“－”号的，去括号时括号内的所有项都要变号
移项 移项就是将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边. 等式的基本性质1 移项要变号
合并同类项 将方程化为ax＝b的最简形式 合并同类项的法则 只将系数相加，字母及其指数不变
化系数为1 方程的左右两边同时除以未知数系数或乘以未知数系数的倒数 等式的基本性质2 分子、分母不能颠倒
谈重点 解一元一次方程的步骤 值得注意的 ( http: / / www.21cnjy.com )是：(1)这些步骤在解方程时不一定全部都用到，也不一定按照顺序进行，可根据方程的形式，灵活安排步骤；(2)为了避免错误，可将解出的结果代入原方程进行检验．
【例2】 解下列方程：
(1)－1＝；
(2)－＝2－.
分析：(1)方程两边同乘以4和6的最小公倍数12，去掉分母．(2)方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数6去掉分母．
解：(1)－1＝，
去分母，得3(2y－1)－12＝2(y－2)．
去括号，得6y－3－12＝2y－4.
移项，得6y－2y＝－4＋3＋12.
合并同类项，得4y＝11.
系数化为1，得y＝.
(2)－＝2－，
去分母，得2(x－1)－(x＋2)＝12－3(4－x)．
去括号，得2x－2－x－2＝12－12＋3x.
化简，得x－4＝3x.
移项，得x－3x＝4.
合并同类项，得－2x＝4.
系数化为1，得x＝－2.
注意：去分母时一定不要漏乘不含分母的项哦．
3．解含有小数分母的方程
(1)意义：有些方程分子、分母中含有小数( ( http: / / www.21cnjy.com )分数)，可根据分数的性质，将分子、分母化为整数，变为含整数分母的方程，再去分母，逐步化简，解出方程．
(2)依据：分数的性质(分数的分子分母同乘以或除以一个不为0的数，分数的值不变)．
(3)方法：根据实际，一般把单个含小数分母的式子的分子、分母同乘以10或100，化为整数分母．
(4)与去分母的异同：①去 ( http: / / www.21cnjy.com )分母根据的是等式的性质，两边同乘，去掉分母，两边的值改变，只是左右两边还相等，②化小数分母为整数分母，根据的是分数的性质，分子分母同乘，是局部变化，值不变．
【例3】 解方程：(1)＋＝.
(2)＋＝.
分析：根据分数的基本性质，将含小数分母的式子，分子、分母同乘以10(或100)，把小数分母化为整数分母．
解：(1)化为整数分母，得
＋＝，
即＋＝.
化简，得＋＝4－10x.
去分母并解方程，得x＝.
(2)化为整数分母，得＋＝2x.
去分母，得5(x－4)＋2(2x－3)＝2x×10.
解方程，得x＝－.
4.行程问题
行程问题是应用题中最常见、应用最多，分类和变化最多的一类题．
(1)相关量及关系：路程s、速度v、时间t，s＝vt，以及由此变化得到的v＝；t＝.
(2)行程问题中常用等量关系：必须是路程＝路程，速度＝速度，时间＝时间．
行程问题一般都有两种情况，分别有甲、乙各自的路程、时间、速度，但绝大多数情况下，甲、乙的路程与路程、时间与时间、速度与速度之间又互相联系．
(3)分类：分类多，形式多样，变化也多，主要有相遇问题、追击问题、往返问题、航行问题、环形问题等．
(4)关键词：同时、同地、相向而行、背向而行，先出发、后出发、晚几小时到达、每小时多行、返回、相遇、相距、….
(5)注意点：行程问题中，不管甲、乙两种情况之间有何联系，甲的路程＝甲的时间×甲的速度，甲的速度＝甲的路程÷甲的时间，不能出现甲的速度＝乙的路程÷乙的时间这样的问题，即使甲、乙的路程、速度、时间相等，但也是各自的路程、速度、时间．
(6)解法：一般根据题意，用线段画出示意图，分析两种情况，从相互关系和自身关系两方面考虑，列方程解决．
【例4－1】 甲、乙两站路程为360 km，一列慢车从甲站开出，每小时行48 km；一列快车从乙站开出，每小时行72 km.
(1)两车同时开出，相向而行，多少小时相遇？
(2)若快车先开出25分钟，慢车再出发，两车相向而行，慢车开出多少小时后两车相遇？
分析：(1)设两车开出x小时后相遇．根据“慢车所走的路程＋快车所走的路程＝总路程”可列方程．
(2)设慢车行驶x小时相遇，根据“慢车所走的路程＋快车所走的路程＝总路程”可列方程．
解：(1)设两车开出x小时后相遇，根据题意，得48x＋72x＝360，解得x＝3.
答：两车开出3小时后相遇．
(2)设慢车开出x小时后相遇，根据题意，得48x＋72x＋72×＝360，解得x＝2.
答：慢车开出2小时后两车相遇．
【例4－2】甲、乙两人分别从A，B两地同时相向出发，在离B地6千米处相遇后又继续前进，甲到B地，乙到A地后，都立即返回，又在离A地8千米处相遇，求A，B两地间的距离．
分析：用常规方法解决本题具有一定难度， ( http: / / www.21cnjy.com )如下图，若把两个运动过程一起处理，第一次相遇，甲、乙两人合走一个全程，对应乙走6千米；第二次相遇，甲、乙两人合走了三个全程，故乙共走了3×6＝18千米，从另一个角度看，乙共走了一个全程加8千米，所以这两个路程是相等的．
解：设A，B两地间的距离为x千米，第二次相遇时乙共走了(x＋8)千米，所以x＋8＝3×6，x＝10.
答：A，B两地间的距离为10千米．,
5．形积问题
(1)常用的体积公式：
长方体的体积＝长×宽×高；
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；
圆柱体的体积＝底面积×高＝πr2h；
圆锥体的体积＝×底面积×高＝πr2h.
(2)常用的面积、周长公式：
长方形的面积＝长×宽；
长方形的周长＝2×(长＋宽)；
正方形的面积＝边长×边长；
正方形的周长＝边长×4；
三角形的面积＝×底×高；
平行四边形的面积＝底×高；
梯形的面积＝×(上底＋下底)×高；
圆的面积＝πr2，圆的周长＝2πr.
(3)形积变化中的等量关系：
形积变化问题中，图形的形状和体积会发生变化，但应用题中一定有相等关系．分以下几种情况：
①形状发生了变化，体积不变．其相等关系是：变化前图形的体积＝变化后图形的体积．
②形状、面积发生了变化，周长不变．其相等关系是：变化前图形的周长＝变化后图形的周长．
③形状、体积不同．根据题意找出体积之间的关系，即为相等关系．
(4)应用题中相等关系的找法：
①认真分析题意，找出已知数和未知数；②抓住题目中反映相等关系的关键词；③掌握基本问题的常用关系式；④通过画图、列表等方法找相等关系．
【例5－1】 墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图中实线所示．小明将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图中虚线所示．小明所钉长方形的长、宽各为多少？
分析：饰物形状变化前后有两个不变的 ( http: / / www.21cnjy.com )量，一个是周长，另一个是变化前梯形的上底和变化后长方形的宽．根据题意可设长方形的长为x，则长方形的周长为2x＋2×10，梯形的周长为10＋10＋10＋6＋10＋6＝52，则2x＋20＝52，从而解得x＝16.
解：设小明所钉长方形的长为x，根据题意得：
2x＋2×10＝10＋10＋6＋10＋6＋10，
整理得，2x＋20＝52，解得x＝16.
由于饰物变化前后长度为10的边没有变化，所以长方形的宽为10.
答：长方形的长为16，宽为10.
【例5－2】 用一个底面半径是40 ( http: / / www.21cnjy.com )毫米，高为120毫米的圆柱形玻璃杯向一个底面半径为100毫米的大圆柱形玻璃杯中倒水，倒了满满10杯水后，大玻璃杯的液面离杯口还有10毫米，则大玻璃杯的高度是多少？
分析：根据“小圆柱体的体积×10＝大圆柱形玻璃杯中水的体积”列方程求解．
解：设大玻璃杯的高度是x毫米，根据题意，得
π·1002(x－10)＝π·402×120×10.
解这个方程，得x＝202.
答：大玻璃杯的高为202毫米．
【例5－3】 将内直径为20 cm的圆柱形水 ( http: / / www.21cnjy.com )桶中的全部水倒入一个长、宽、高分别为30 cm,20 cm,80 cm的长方形铁盒中，正好倒满，求圆柱形水桶的高．(π取3.14)
分析：由于水的体积不变，可知两个容器的容积相同．所以本题的相等关系是：圆柱的容积＝长方体的容积．
解：设圆柱形水桶高x cm.
根据题意，得π2·x＝30×20×80.解得x＝≈152.87.
答：圆柱形水桶高约152.87 cm.
6.巧解一元一次方程
解一元一次方程的一般步骤是 ( http: / / www.21cnjy.com )：有分母的先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1.可有些方程有自己独特的特点，因此它们虽然可以用常规解法解出，但根据方程自身特点，巧妙、灵活运用不同的计算方式和计算手段，可以简化解题过程，能快速准确地解出方程，解决问题．如：方程3(x＋1)－(x－1)＝2(x－1)－(x＋1)可以不先去括号，而把(x＋1)，(x－1)分别看成一个整体进行移项、合并同类项，得(x＋1)＝(x－1)，再去分母，得3(x＋1)＝2(x－1)，进而去求解等．
因此解方程过程中，要注意观察，灵活运用，要勇于突破、创新，最简便、最快捷的解法就是最好的方法．
【例6】 解下列方程：
(1)0.7x＋0.6＝2.3x；(2)x＋＝x－；(3)－x＝2.
分析：(1)两边同乘以1 ( http: / / www.21cnjy.com )0化为整系数解决会更简单；(2)先不去分母，先移项、合并同类项，同分母分数相加，从而简化计算过程；(3)根据分配律从外向内去括号更简便．
解：(1)方程两边同乘以10，得7x＋6＝23x.
移项，得－23x＋7x＝－6.
合并同类项，得－16x＝－6.
系数化为1，得x＝.
(2)移项，得x－x＝－－.
合并同类项，得x＝－2.
(3)去括号，得eq \b\lc\(\rc\)()－3－x＝2.
去括号、化简，得－x－4＝2.
移项、合并同类项，得－x＝6.
系数化为1，得x＝－8.
7．劳力调配问题
劳力调配问题是应用题中常见的一种题型， ( http: / / www.21cnjy.com )这类问题的特点在于两方面的量都在发生变化，变化后原数量之间的大小关系也变化，主要有三种情况：一种是内部调整，由一方调入另一方，核心等量关系是甲增加的数目等于乙减少的数目，另一种外来加入，又分为都变化和只一方变化，第三种调出变化，也分为都调出或一方调出．不论那种情况，搞清人数的变化并用式子表示是关键，一般根据变化后的倍数关系列出方程．
常见题型：(1)既有调入又有调出都变化；(2)只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；(3)只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变．
【例7】 某次义务劳动，有甲、乙两个工 ( http: / / www.21cnjy.com )地，甲工地有27人在劳动，乙工地有19人在劳动．现在又有20人来参加义务劳动，要使甲工地人数为乙工地人数的2倍．问应分别调往甲、乙两工地各多少人？
分析：设应调往甲工地x人，则调往乙工地(20－x)人．甲、乙两工地在增加人员前后的人数如下表：
甲工地人数 乙工地人数
原来 27 19
增加人数后 27＋x 19＋(20－x)
根据“甲工地人数为乙工地人数的2倍”列方程．
解：设应调往甲工地x人，则调往乙工地(20－x)人，
根据题意，得
27＋x＝2[19＋(20－x)]，
去括号，得27＋x＝38＋40－2x，
解得x＝17.
答：应调往甲工地17人，调往乙工地3人．
8.分段型问题应用
分段型一元一次方程的应用是指同一个 ( http: / / www.21cnjy.com )未知量在不同的范围内，限制条件不同的一类应用题．它是日常生活中常见的一种实用型的题型，经常出现在水电费的收取、打的收费、旅游优惠、购物优惠、个人所得税的收取等实际问题中．
这类问题往往描述比较复杂，数据量多，且变 ( http: / / www.21cnjy.com )化多，解决这类问题的关键，先要确定所给的数据所处的分段，然后要根据它的分段收费情况，分类解决．如：某地出租车的收费标准是：起步价10元(3千米以内)；3千米到6千米，每千米2元；6千米之外，每千米1.8元．那么若某人乘车行驶了x千米的路程，他“打的”x千米的费用分为三种情况：(1)当x<3时，需支付10元；(2)当3≤x≤6时，需支付10＋2(x－3)＝(2x＋4)元；(3)当x>6时，需支付10＋3×2＋1.8(x－6)＝16＋1.8x－10.8＝(1.8x＋5.2)元．
析规律 分段型问题 分段型收费问题要分段讨论解决，总收费是各段收费之和，具体计算过程中，一般后面收费时，要除去前面已收费部分，即不重复收费，这点一定要注意．这也是分段型问题的关键．
【例8】 甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果价格如下表：
购买苹果数 不超过30千克 30千克以上但不超过50千克 50千克以上
每千克价格 3元 2.5元 2元
甲班分两次共购买苹果70千克(第二次多于第一次)，共付出189元，乙班则一次购买苹果70千克．
(1)乙班比甲班少付出多少元？
(2)甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？
分析：(1)由于乙班一次购买苹果70 ( http: / / www.21cnjy.com )千克，价格一定是2元/千克，求得乙班购买70千克苹果的金额，相减求出乙班比甲班少付出的金额．(2)要求甲班第一次、第二次分别购买苹果的数量，由表中提供的信息，需分段(三种情况)讨论：①两次都是30千克以上但不超过50千克；②第一次不超过30千克，第二次30千克以上但不超过50千克；③第一次不超过30千克，第二次50千克以上．
解：(1)乙班一次购买苹果70千克共付金额70×2＝140(元)，而189－140＝49(元)，所以乙班比甲班少付出49元．
(2)设第一次购买x千克．下面分三段讨论：
①若两次都是30千克以上但不超过50千克，则根据题意，得2.5x＋2.5(70－x)＝189，显然方程无解；
②第一次不超过30千克，第二次30千克以上但不超过50千克，则根据题意，得3x＋2.5(70－x)＝189，解得x＝28，则70－x＝42.
③第一次不超过30千克，第二次50千克以上，则根据题意，得3x＋2(70－x)＝189，解得x＝49＞30，不符实际．
答：甲班第一次购买28千克，第二次购买42千克．
9.火车过桥类问题解法
在行程问题中，计算路程一般不考虑交通工具的实际长短，但因火车长度较大，在一些过桥、穿越隧道的应用题中往往要考虑火车车身的长度．
这类题目主要出现在两类问题中：一类是火车过桥或过隧道问题，另一类是行军队伍问题，题目一般都告诉火车的长度和队伍的长度．
解法：这类问题归类于行程问题，所以解法 ( http: / / www.21cnjy.com )基本相似，因为整列火车离开桥面才算离开，所以在解决问题中考虑车身的长度，实际行驶路程要加上车长或减车长解决即可．
【例9】 已知某一铁桥长1 0 ( http: / / www.21cnjy.com )00米，今有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用1分钟，整列火车完全在桥上的时间是40秒．求火车的速度和长度．
分析：由题意可知，整列火车完全在桥上时 ( http: / / www.21cnjy.com )，实际的行驶路程＝桥长－车长，完全过桥所行使的路程＝桥长＋车长，可设车长为x米，根据速度相等列方程，求出车长，再求速度，也可以设车速为y千米/秒，根据桥长相等列方程：40y＋200＝60y－200求出速度，再求车长．
解：设火车车身长x米，根据题意，得＝.解得x＝200.
所以车速是＝＝20(米/秒)．
答：火车的速度是20米/秒，长度是200米．