2022-2023 1学年第二学期西宁市普通中学 所以 x 2, ---------------- 结论x
以上推理过程中的错误为 ( )
高二年级期末联考数学（理科）试卷 A. 大前提 B. 小前提 C. 结论 D. 无错误
试卷分值：150 考试时长：120 分钟 C 27. 2 C 23 C 24 C 210 等于（ ）
A．990 B．165 C．120 D．55
一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题，满分 60 分）
z 8.已知随机变量 和 ，其中 12 7，且 E 34，若 的分布列如下表，则m的值为
1. 已知 2 i，则复数 z （ ）
1 i 1 1 1 1
A. -1+3i B.1-3i C.3+i D. 3-i A． 3 B． 4 C． 6 D． 8 ξ 1 2 3 4
1
2. 设随机变量 X ～N（2，4），则 D（ X）的值等于 ( )
2 1 1P m n
4 12
1
A.1 B.2 C. D.4
2
13. 设随机变量 服从 B（6， ），则 P（ =3）的值是（ ） 9.设回归直线方程为 y 2 1.5x，则变量 x增加一个单位时，（ ）
2
5 3 5 3
A． B． C． D． A． y平均增加 1.5 个单位 B. y平均增加 2 个单位
16 16 8 8
C． y平均减少 1.5 个单位 D. y平均减少 2 个单位
4. 2 (sin x cos x)dx的值为 （ ）
2 x x 1
n
10. 4 的展开式中，第 3 项的二项式系数比第 2 项的二项式系数大44，则展开式中的常
x
A. 0 Ｂ Ｃ ２ Ｄ ４
2 数项是（ ）
5. 函数 y x ln x的单调递减区间是（ ）
Ａ．第 3 项 Ｂ．第 4项 Ｃ．第 7 项 Ｄ．第 8 项
(e 1, ) ,e 1 0,e 1A. B. C. D. e, 11. 从混有 5 张假钞的 20 张一百元纸币中任意抽取 2 张，事件A为“取到的两张中至少有一张为
a,b R a b 2 ab 假钞”，事件 B为“取到的两张均为假钞”，则 P B | A （ ）6. 对 , ------------- 大前提
1 17 4 2
1 1 A． B． C． D．x 18 2 x , 19 19 17-------------- 小前提
x x
12. 口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一球,定义数列 an :
{#{QQABRQwAogiAQBIAARhCAQEACgKQkBAAAIgOAAAEIAAACRFABAA=}#}
学校： 年级班级： 姓名： 考场： 座位号：
--------------------------------------密封线------------------------------------------------------- -密封线-------------------------------------------
19.(12 分）在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张奖券中有一等奖券 1 张，可获价值为 50 元的奖品；
a 1,第n次摸取红球,n 1, n 如果 s 为数列 a 的前 n 和，那么 s 3的概率为 （ ） 有二等奖券 3张，每张可获价值为 10 元的奖品；其余 6 张没有奖。某顾客从此 10 张券中任第 次摸取白球. n n 7
抽 2张，求：
1 2 2 5 2 2 1 5
（1）该顾客中奖的概率；
C5 5 A. 7 B. C7 （2）该顾客获得的奖品总价值 X（元）的概率分布列和期望。
3 3 3 3
C3 2
2 1 5 1 2 5 3 2
C. 7 D. C7 3 3 3 3
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
20.（12 分）某学生对其 30 位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的
13. 已知随机变量 X 服从正态分布 N (0， 2 )且 P( 2≤ X≤0) 0.4则 P(X 2) ．
饮食指数(说明：图中饮食指数低于 70 的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于 70 的人，饮食以肉类
Cx = C3x-214.已知 10 10 ，则 x __________． 为主).
5
x 1 1 15. x
的展开式中常数项为__________．
16.点 P是曲线 y x2 x ln x上任意一点，则点 P到直线 2x y 2 0的最短距离为
_________.
三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）
17.（10 分）已知函数 f (x) x2 2ax b在 x=1 处有极值 2.
（1）根据茎叶图，帮助这位同学说明这 30 位亲属的饮食习惯.
（1）求函数 f (x) x2 2ax b在闭区间[0,3]上的最值；
（2）根据以上数据完成如下表
（2）求曲线 y x2 2ax b ,y=x+3 所围成的图形的面积 S.
主食为蔬菜 主食为肉类 总计
2 50 岁以下
18.(12 分）某射手每次射击击中目标的概率是 ，且各次射击的结果互不影响。
3
50 岁及以上
（1）假设这名射手射击 5 次，求恰有 2 次击中目标的概率；
（2）假设这名射手射击 5 次，求有 3 次连续击中目标，另外 2 次没有击中目标的概率。
总计
（3）能否有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？
{#{QQABRQwAogiAQBIAARhCAQEACgKQkBAAAIgOAAAEIAAACRFABAA=}#}
附表： 7 7
2参考数据： xi x yi y 150， yi y 820， 1435 37.88．
2 i 1 i 1P K k 0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
n
xi x yi y
k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 i 1
参考公式：相关系数 r n n ；
2 2 xi x yi y
i 1 i 1
n ad bc 2 n
(参考公式：K 2 ，其中 n a b c d ) xi x yi y a b c d a c b d i 1回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 b ，$n a y $bx．
2xi x
i 1
kx
21. （12 分）设函数 f (x) xe (k 0)。
（1）求曲线 y f (x)在点 (0, f (0))处的切线方程；
（2）求函数 f (x)的单调区间；
（3）若函数 f (x)在区间（-1，1）内单调递增，求 k的取值范围。
22. 2020 年全面建成小康社会取得伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利．某市积极探索区
域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益
的双丰收，某商家统计了 7 个月的月广告投入 x（单位：万元）与月销量 y（单位：万件）的数据
如表所示：
月广告投入 x /万元 1 2 3 4 5 6 7
月销量 y /万件 28 32 35 45 49 52 60
（1）已知可用线性回归模型拟合 y与 x的关系，请用相关系数加以说明，并求 y关于 x的线性回归
方程；
（2）根据（1）的结论，预计月广告投入大于多少万元时，月销量能突破 70 万件．
{#{QQABRQwAogiAQBIAARhCAQEACgKQkBAAAIgOAAAEIAAACRFABAA=}#}高二理科数学参考答案
一、选择题 （每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A A C C B B A C B D B
二、填空题 （每小题 5 分，共 20 分）
13. 0.1 14. 1 或 3
2
15. 10 16. 55
三、解答题（共 70分）
17.（ 10 分）解：（ 1）由已知 f '(x) 2x 2a 因为在 x 1 时有极值 2，所以
f '(1) 2 2a 0
f (1) 1 2a b 2
a 1 2解方程组得： b 3 所以 f (x) x 2x 3 …………. 3分
当 x 0,1 时， f '(x) 0所以 f (x) 单调递减
当 x 1,3 时， f '(x) 0 所以 f (x) 单调递增 且 f (0) 3, f (1) 2, f (3) 6
所以 f (x) 的最大值为 6， f (x) 最小值为 2 …………… 6分
(2) y x 3由 解 得 x=0 及 x=3 ………. 8 分 从 而 所 求 图 形 的 面 积y x2 2x 3
3 3 2
s (x 3)
1
(x 2 2x 3) dx ( x 2 3x)dx ( x 3
3x ) 3 9 0 ……. 10分0 0 3 2 2
2
18 .解: (I) 设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数,则 X~B(5, ).在 5 次射击中,恰有 2
3
2 2 3
次击中目标的概率: P（X=2）=C 2 5
1
2 40
= . ………….5分
3 3 243
(2) 设“第 i次射击击中目标”为事件 Ai（i=1,2,3,4,5）; “射手在 5次射击中，有 3次连续
击中目标，另外 2次未击中目标”为事件 A，则
{#{QQABRQwAogiAQBIAARhCAQEACgKQkBAAAIgOAAAEIAAACRFABAA=}#}
P(A)=P( A1A2A3 A4A5 )+( A1A2A3A4 A5 )+P( A1A2A3A4A5 )
2 3 2 3 1 1 2 1 1
2
2
3 8
=
3
= ……………12分
3 3 3 3 3 3 81
C 2 15 2 2
19.解：（1）.P=1 62 1 即该顾客中奖的概率为 ………….4分C10 45 3 3
（2）.X的所有可能值为:0,10,20,50,60(元)
C 2 1 1 C1C1 2
且 P(X=0)= 32 = , P(X=10)=
3 6
C 210 15 3 C10 5
C 2 1 C1C1 2
P(X=20)= 3 1 6
C 2
, P(X=50)= ,
10 15 C
2
10 15
C1C1 1
P(X=60)= 1 32 …………8分C10 15
故 X的分布列为:
X 0 10 20 50 60
P 1 2 1 2 1
3 5 15 15 15
.........10分
0 1 10 2 20 1 50 2 60 1从而期望 E(X)= 16 ………..12分
3 5 15 15 15
20.（1）由茎叶图，知：30位亲属中 50岁及以上的人饮食以蔬菜为主，50岁以下的人饮食
以肉类为主………..4分
(2） 2 2列联表如下所示：
主食为蔬菜 主食为肉类 总计
50岁以下 4 8 12
50岁及以上 16 2 18
总计 20 10 30
………..8分
30 4 2 16 8
k
2
2 10 6.635
（3）由题意，知随机变量K 的观测值 12 18 20 10
∴有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.………..12分
{#{QQABRQwAogiAQBIAARhCAQEACgKQkBAAAIgOAAAEIAAACRFABAA=}#}
21. '解：（I） f (x) (1 kx)e kx, f ' (0) 1, f (0) 1, 曲线 y f (x) 在点（0, f (0)）处的切线
方程为 y x……………………….4分
（II）由 f ' (x) (1 1 kx)e kx 0 得 x (k 0) 。………….5分
k
1
若 k＞0，则当 x ( , )时，f '(x) 0,函数f (x)单调递减；
k
x ( 1当 , )时，f '(x) 0,函数f (x)单调递增。………….7分
k
1
若 k＜0,则当 x ( , )时，f '(x) 0,函数f (x)单调递增；
k
x 1当 ( , )时，f '(x) 0,函数f (x)单调递减。…………..9分
k
1
（ III ） 由 （ II ） 知 ， 若 k ＞ 0 ， 则 当 且 仅 当 1, 即k 1时，
k
函数f (x)在区间（-1，1）内单调递增；…………………10分
1
若 k＜0, 则当且仅当 1,即k 1时，函数f (x)在区间（-1，1）内单调递增。
k
…………………..11分
综上可知，函数f (x)在区间（-1，1）内单调递增时，k的取值范围是[ 1,0) (0,1]。
…………………12分
x 1 2 3 4 5 6 7 4
22.（1）由题意，知 7 ………..2分
7 2
xi x 1 4 2 2 4 2 3 4 2 4 4 2 5 5 4 2 6 4 2
i 1
7 4 2 28………..4分
7 7 2
结合 xi x yi y 150 ， yi y 820可得，
i 1 i 1
相关系数
7
xi x yi y
r i 1 150 37.5 37.5 0.99
7 2 7 2 28 820 1435 37.88
xi x yi y
i 1 i 1 ………..6分
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显然 y与 x的线性相关程度相当高，从而线性回归模型能够很好地拟合 y与 x的关系．
7
xi x yi y
b i 1 150 75 y 28 32 35 45 49 52 60易知 7 ， 43，
2 x x 28 14 7i
i 1
a y b x 43 75 4 151 y 75 x 151
∴ 14 7 ．∴ y关于 x的线性回归方程为 14 7 ．………..8
分
75 151 226
（2）若月销量突破 70万件，则 x 70，解得 x 9.04．
14 7 25
故当月广告投入大于 9.04万元时，月销量能突破 70万件．………..12分
{#{QQABRQwAogiAQBIAARhCAQEACgKQkBAAAIgOAAAEIAAACRFABAA=}#}
