3.2.2函数的奇偶性 课件（共34张PPT）

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2023 / 07
第 3 章 函数的概念与性质
人教A版2019必修第一册
3.2.2 函数的奇偶性
01.
奇偶性定义
03.
奇偶性图象应用
02.
奇偶性判定
目录
04.
利用奇偶性求解析式
学习目标
1、理解函数的奇偶性及其几何意义。
2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
3、学会判断函数的奇偶性。
4、奇偶性与单调性等综合应用。
Topic. 01
01 情景导入
导入
生活中的对称
Topic. 02
02 函数的奇偶性
偶函数
x
y
O
f (x)=x2
x
y
O
f (x)=|x|
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 4 1 0 1 4 …
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 2 1 0 1 2 …
观察图象可以发现，这两个函数都关于y轴对称.即，当自变量取互为相反数的两个数时，函数值是相等的，即
偶函数
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x) 就叫做偶函数.
定义
x∈I，都有-x∈I，且f(－x)=f(x)
图像关于y轴对称
图象特征
符号语言
注意： x∈I，都有-x∈I即定义域关于原点对称
-a
a
O
O
-a
a
O
a
-a
b
-b
偶函数
思考:对于定义在R上的函数 ，若 ，那么这个函数是偶函数吗？
不一定.因为 并不能保证所有的 ，所以不一定是偶函数.
奇函数
观察下面两个函数填写表格
奇函数
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x) … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
g(x) ... - - -1 1 ...
f(-x)=-f(x)
图像关于原点轴对称
偶函数
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x), 那么函数f(x) 就叫做奇函数.
定义
x∈I，都有-x∈I，且f(－x)=-f(x)
图像关于原点轴对称
图象特征
符号语言
注意： x∈I，都有-x∈I即定义域关于原点对称
-a
a
O
O
-a
a
O
a
-a
b
-b
奇函数
偶函数， 的常见变形有：
，
奇函数， 的常见变形有：
，
常见的偶函数有 ， 等等
总结
常见的奇函数有 等等
非奇非偶函数
0
x
y
1
2
3
-1
-2
-1
1
2
3
-2
-3
0
x
y
1
2
3
-1
-2
-1
1
2
3
-2
-3
图象既不关于原点对称也不关于y轴对称
Topic. 03
03 判断函数的奇偶性
判断奇偶性
1.判断下列函数的奇偶性
（1） （2） （3） （4）

(1)定义域为R，
∴此函数是偶函数；
(2定义域为R，
∴此函数是奇函数；
(3)定义域为 ，
∴此函数是奇函数
(4)定义域为 ，
∴此函数是偶函数.
判断奇偶性
判定函数奇偶性基本方法:
（1）定义法:
先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.
（2）图象法:
看图象是否关于原点或y轴对称.
④ 既是奇函数，又是偶函数.
① 是偶函数；
② 是奇函数；
③ 是非奇非偶函数；
判断奇偶性
(1)函数的定义域为R，关于原点对称.
又∵f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)f(x)的定义域是{x|x≠0} ，
关于原点对称.
又∵ f(-x)=+=-f(x)
∴f(x)是奇函数．
(3)显然函数f(x)的定义域关于原点对称．
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x+1＝－(x-1)＝－f(x)，
当x>0时，－x<0，f(－x)＝－x－1＝－(x+1)＝－f(x)，
当x=0时，f(0)＝0
∴f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数
3.判断下列函数的奇偶性：
判断奇偶性
判断奇偶性
Topic. 04
04 奇偶性图象的应用
奇偶性图象
思考（1）如何判断函数 的奇偶性？
(1)利用函数奇偶性定义来判断，函数的定义域为R，且有
∴函数是奇函数.
(2)由奇函数的图像关于原点成中心对称可以画出函数 在
y轴左侧对的图像，将y轴右侧的图像沿着原点旋转180°即可，画出的
图像如图所示.
（2）已知函数 图像的一部分，如何画出剩余部分？
奇偶性图象
知识延伸
（1）奇偶函数的单调性：
①奇函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相同的.如果
奇函数在区间[,b]上的单调增函数，那么在区间[-,-b]上就
是单调增函数.
②偶函数：奇函数在原点左右两边的单调性是完全相反的.如果
偶函数在区间[,b]上的单调增函数，那么在区间[-,-b]上就
是单调减函数.
奇偶性图象
1.　已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出f(x)在区间[－5,0]上的图象；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
解（1）因为函数f(x)是奇函数，它在[－5,0]上的图象，如图所示．
(2)使函数值f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
奇偶性图象
奇偶性图象
Topic. 05
05 利用奇偶性求解析式
求解析式
1.已知是定义在上的奇函数，当时，，
（1）求的解析式；
（2）求不等式 的解集.
求解析式
1.已知是定义在上的奇函数，当时，，
（1）求的解析式；
（2）求不等式 的解集.
求解析式
2.已知函数的定义域为
(1)求函数的定义域；
(2)若为奇函数，当时，，求的解析式.
求解析式
2.已知函数的定义域为
(1)求函数的定义域；
(2)若为奇函数，当时，，求的解析式.
求解析式
3. 已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,
(1)求f(-1);
(2)求f(x)的解析式.
解:(1)因为函数f(x)为奇函数,
所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.
(2)当x<0时,-x>0,则
f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),
所以f(x)=2x2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.
课堂小结
总结：
1.奇偶函数定义。
2.奇偶性判定
3.奇偶性图象应用
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2023/ 07
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