(共31张PPT)
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时 两角差的余弦公式
1.会用两点间距离公式推导出两角差的余弦公式；
2.掌握两角差的余弦公式及其应用．
【学习目标】
1
自主探究
设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cosα，sinα)，A1(cosβ，sinβ)，P(cos(α－β)，sin(α－β))．
连接A1P1，AP.若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1，P1重合．根据圆的旋转对称性可知，弧A1P1与 弧AP重合，从而弧A1P1＝弧AP，所以AP＝A1P1.
根据两点间的距离公式，得[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)＝ ，
化简得cos(α－β)＝ .
当α＝2kπ＋β(k∈Z)时，容易证明上式仍然成立．
利用两点间距离公式推导公式
(cosα－cosβ)2＋(sinα＋sinβ)2
cosαcosβ＋sinαsinβ
1．公式：cos(α－β)＝ .
2．简记符号：
3．使用条件：α，β都是 ．
两角差的余弦公式
C(α－β)
cosαcosβ＋sinαsinβ
任意角
思考：两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？
公式巧记为：两角差的余弦等于两角的同名三角函数值乘积的和，即余·余＋正·正．
【小试牛刀】
2
经典例题
题型一 两角差的余弦公式的正用和逆用
题型二 给值求值
题型二 给值求值
跟踪训练2
题型三 给值求角
3
当堂达标
【课堂小结】
1．给角求值或给值求值问题，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．
注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．
2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)；(3)确定角的值．
【课后作业】
对应课后练习(共33张PPT)
第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1.能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正
弦公式及正切公式，了解它们的内在联系.
2.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的化简、求值.
【学习目标】
1
自主探究
一. 两角和与差的余弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R
两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R
思考 利用cos(α－β)推导cos(α＋β)的过程中，利用了什么方法？
答案 推导过程中，利用了角的代换的方法.α＋β＝α－(－β).
二. 两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的 正弦公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝ ___________________ α，β∈R
两角差的 正弦公式 S(α－β) sin(α－β)＝ ___________________ α，β∈R
sin αcos β＋cos αsin β
sin αcos β－cos αsin β
三. 两角和与差的正切公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的 正切公式 tan(α＋β)＝___________ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的 正切公式 tan(α－β) ＝____________ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
思考 和（差）公式中，α，β都是任意角，如果令α为某些特殊角呢？你能推导出诱导公式吗？还能得到哪些等式？
答案 如将C（α-β）中的α换成π，可以得到诱导公式cos（π-β）=-cosβ等
如将T（α-β）中的α换成特殊角，如 等
2
经典例题
题型一 给角求值、化简
例1
(1)对于非特殊角三角函数求值问题，要先整体观察，如果整体符合三角公式形式，则整体变形；或将特殊角转换为特殊角的和或差的形式，学会逆用或变用公式。
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
总结
题型二 给值求值（角）
例2
所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
又因为α，β均为锐角，
(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解.
(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小.
总结
3
当堂达标
√
∴f(x)为奇函数.
2(1).化简sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)＝________.
1
解析 原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.
－1
＝2sin(15°－45°)
＝2sin(－30°)＝－1.
4.已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
解析 ∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，
∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1， ①
cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0， ②
①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，
＝tan 10°·tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.
1.(1)公式的推导.
(2)给式求值、给值求值、给值求角.
(3)公式的正用、逆用、变形用.
2.方法归纳：构造法.
3.常见误区：求值或求角时忽视角的范围.
【课堂小结】
【课后作业】
对应课后练习(共33张PPT)
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余
弦、正切公式.
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公
式变形运用.
【学习目标】
1
自主探究
二倍角公式
三角函数 公式 简记
正弦 sin 2α＝ ___________ S2α
余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝ ＝ ________ C2α
正切 tan 2α＝ T2α
2sin αcos α
2cos2α－1
1－2sin2α
思考 倍角公式中的“倍角”仅是指α与2α吗？
答案 倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为 的二倍，3α作为 的二倍，α＋β作为 的二倍等情况.
3.cos245°－sin245°＝ .
0
【小试牛刀】
2
经典例题
题型一 二倍角公式的正用、逆用
(3)cos 20°·cos 40°·cos 80°.
总结：对于给角求值问题，一般有两类
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
题型二 给值求值
√
√
总结：解决给值求值问题的方法
(1)给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
①有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
②寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
(2)注意几种公式的灵活应用，如：
题型三 化简与证明
总结：证明问题的原则及一般步骤
(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.
(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.
＝cos 20°－sin 20°＋sin 20°
＝cos 20°.
(2)求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B.
＝cos 2Acos 2B＝右边，所以等式成立.
3
当堂达标
√
sin215°＋cos215°＝1，故选B.
√
√
解析 ∵sin 2α＝－sin α，
∴2sin αcos α＝－sin α.
1.(1)二倍角公式的推导.
(2)利用二倍角公式的正用、逆用进行化简、求值和证明.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：化简求值开根号时，忽视角的范围.
【课堂小结】
【课后作业】
对应课后练习
