人教A版高二数学选择性必修第一册3.2.1 双曲线 第一课时 同步精练（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版高二数学选择性必修第一册3.2.1 双曲线 第一课时 同步精练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 533.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-25 22:25:02 | ||
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文档简介
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人教A版高二数学选择性必修第一册3.2.1 双曲线第一课时同步精练(原卷版)
【题组一 双曲线的定义】
1．（2019·山东青岛二中高二月考）平面内，一个动点，两个定点，，若为大于零的常数，则动点的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．射线 C．线段 D．双曲线的一支或射线
2．（2019·上海市宜川中学高二期末）设是双曲线上的动点，则到该双曲线两个焦点的距离之差为（ ）
A．4 B． C． D．
3．已知点F1(0，－13)，F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为( )
A．y＝0 B．y＝0(|x|≥13) C．x＝0(|y|≥13) D．以上都不对
4．（2020·四川内江）一动圆与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线
5．（2020·渝中）若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）
A．11 B．9 C．6 D．5
6．双曲线的左右焦点为F1,F2，过点F2的直线l与右支交于点P,Q，若|PF1|=|PQ|，则|PF2|的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【题组二 双曲线定义的运用】
1．（2020·四川省遂宁市第二中学校）已知双曲线上有一点M到右焦点的距离为18，则点M到左焦点的距离是（ ）
A．8 B．28 C．12 D．8或28
2．（2020·全国高二课时练习）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,)
3．（2020·全国）“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2019·绥德中学高二月考（理））方程表示双曲线，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
5．（2019·黑龙江龙凤大庆四中高二月考（文））方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）
A．－3＜m＜0 B．－3＜m＜2
C．－3＜m＜4 D．－1＜m＜3
6．（2020·山东青岛）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线为椭圆，其焦距为
B．当时，曲线为双曲线，其离心率为
C．存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线
D．当时，曲线为双曲线，其渐近线与圆相切
7.（2019·浙江高二期末）设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于__________．
8．（2019·湖北高二期中（文））已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为_______．
【题组三 双曲线标准方程】
1．（2020·全国高三其他（文））已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·全国高二月考（文））过双曲线：的左焦点作斜率为的直线，恰好与圆相切，的右顶点为，且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·甘肃城关）已知双曲线：，为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点，若是边长为2的等边三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·河南开封）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·湖南）已知双曲线的中心为坐标原点，离心率为，点在上，则的方程为（）
A． B． C． D．
【题组四 双曲线的渐近线】
1．（2020·河北石家庄二中高二月考）已知双曲线，则其渐近线方程为( )
A． B． C． D．
2．（2020·河北承德第一中学高二月考）设焦点在x轴上的双曲线的虚轴长为2，焦距为，则该双曲线的渐近线方程（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·福建省南安市侨光中学高三月考（文））设双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·全国高三其他（文））设双曲线的左、右顶点分别为、，若点为双曲线左支上的一点，且直线、的斜率分别为，，则双曲线的渐近线方程为______________.
5.（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））已知双曲线,则焦点到渐近线的距离为 。
6．（2020·福建高二期末（文））已知双曲线的离心率，则其渐近线的方程为 _________
人教A版高二数学选择性必修第一册3.2.1 双曲线第一课时同步精练(解析版)
【题组一 双曲线的定义】
1．（2019·山东青岛二中高二月考）平面内，一个动点，两个定点，，若为大于零的常数，则动点的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．射线 C．线段 D．双曲线的一支或射线
【答案】D
【解析】两个定点的距离为,
当时，点的轨迹为双曲线的一支；
当时，点的轨迹为射线；
不存在的情况.
综上所述，的轨迹为双曲线的一支或射线.
故选：D
2．（2019·上海市宜川中学高二期末）设是双曲线上的动点，则到该双曲线两个焦点的距离之差为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【解析】由题得.由双曲线的定义可知到该双曲线两个焦点的距离之差.
故选：A
3．已知点F1(0，－13)，F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为( )
A．y＝0 B．y＝0(|x|≥13)C．x＝0(|y|≥13) D．以上都不对
【答案】C
【解析】∵||PF1|－|PF2||＝|F1F2|，∴点P的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．所以点P的轨迹方程为x＝0(|y|≥13).故答案为：C
4．（2020·四川内江）一动圆与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线
【答案】C
【解析】设动圆圆心，半径为，圆x2+y2＝1的圆心为，半径为，
圆x2+y2﹣8x+12＝0，得，则圆心，半径为，
根据圆与圆相切，则，，两式相减得，
根据定义可得动圆圆心轨迹为双曲线的一支.
故选：C
5．（2020·渝中）若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）
A．11 B．9 C．6 D．5
【答案】B
【解析】由双曲线，可得，由双曲线的性质可得：，可得或(舍去)，故选：B.
6．双曲线的左右焦点为F1,F2，过点F2的直线l与右支交于点P,Q，若|PF1|=|PQ|，则|PF2|的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解析】因为双曲线的左右焦点为F1,F2，过点F2的直线l与右支交于点P,Q，若|PF1|=|PQ|，利用双曲线的定义，以及直线与双曲线联立方程组得到弦长，得到|PF2|的值为6选B
【题组二 双曲线定义的运用】
1．（2020·四川省遂宁市第二中学校）已知双曲线上有一点M到右焦点的距离为18，则点M到左焦点的距离是（ ）
A．8 B．28 C．12 D．8或28
【答案】D
【解析】双曲线的，，
由双曲线的定义得，即为，解得或28.
检验若在左支上，可得，成立；
若在右支上，可得，成立.故选：D
2．（2020·全国高二课时练习）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,)
【答案】A
【解析】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A．
3．（2020·全国）“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】可以直接求出方程表示双曲线的充要条件，即为
，因此可知条件和结论之间的关系是充要条件，因此选C.
4．（2019·绥德中学高二月考（理））方程表示双曲线，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】方程表示双曲线，则，解得或.故选：D.
5．（2019·黑龙江龙凤大庆四中高二月考（文））方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）
A．－3＜m＜0 B．－3＜m＜2
C．－3＜m＜4 D．－1＜m＜3
【答案】A
【解析】由题意知，，则C，D均不正确，而B为充要条件，不合题意，故选A.
6．（2020·山东青岛）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线为椭圆，其焦距为
B．当时，曲线为双曲线，其离心率为
C．存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线
D．当时，曲线为双曲线，其渐近线与圆相切
【答案】B
【解析】对于，当时，曲线的方程为，轨迹为椭圆，
焦距，错误；
对于，当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线，
则，，离心率，正确；
对于，若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，解集为空集，
不存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线，错误；
对于，当时，曲线的方程为，其渐近线方程为，
则圆的圆心到渐近线的距离，
双曲线渐近线与圆不相切，错误.故选：.
7.（2019·浙江高二期末）设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于__________．
【答案】12
【解析】由于，因此，，故，由于即，而，所以，，，所以，因此.
8．（2019·湖北高二期中（文））已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为_______．
【答案】
【解析】因为
,
所以，
【题组三 双曲线标准方程】
1．（2020·全国高三其他（文））已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得：，
则实轴长为：，虚轴长为，
由题意有：，解得：，
代入可得双曲线方程为.
本题选择D选项.
2．（2020·全国高二月考（文））过双曲线：的左焦点作斜率为的直线，恰好与圆相切，的右顶点为，且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设左焦点为，则直线方程，
即，因为直线恰好与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，
即，得，则.
则，
解得，.则.所以双曲线的标准方程为.故选:B.
3．（2020·甘肃城关）已知双曲线：，为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点，若是边长为2的等边三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由图可知，，且一条渐近线的倾斜角为，所以，解得，所以双曲线的方程为.故选：A
4．（2020·河南开封）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A选项，双曲线的渐近线为，不符合题意.对于B选项，双曲线的渐近线为，且过点，符合题意.对于C选项，双曲线的渐近线为，但不过点，不符合题意.对于D选项，双曲线的渐近线为，不符合题意.综上所述，本小题选B.
5．（2020·湖南）已知双曲线的中心为坐标原点，离心率为，点在上，则的方程为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当双曲线的焦点在x轴，设双曲线的方程为：.
根据题意可得：，解得，所以.
当双曲线的焦点在y轴，设双曲线的方程为：.
根据题意可得：，方程无解.
综上的方程为.故选B.
【题组四 双曲线的渐近线】
1．（2020·河北石家庄二中高二月考）已知双曲线，则其渐近线方程为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线方程为，则渐近线方程为：即．故选：A．
2．（2020·河北承德第一中学高二月考）设焦点在x轴上的双曲线的虚轴长为2，焦距为，则该双曲线的渐近线方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为焦点在轴上的双曲线虚轴长为，焦距为，所以，
则有，，则，则双曲线的标准方程为： ，
该双曲线的渐近线方程为为：故选：C．
3．（2019·福建省南安市侨光中学高三月考（文））设双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知，，解得，所以双曲线的渐近线方程为：，选B.
4．（2020·全国高三其他（文））设双曲线的左、右顶点分别为、，若点为双曲线左支上的一点，且直线、的斜率分别为，，则双曲线的渐近线方程为______________.
【答案】
【解析】的方程为，的方程为，则，
将点的坐标，代入双曲线，则，则，则，
则双曲线渐近线方程为.
故答案为：.
5.（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））已知双曲线,则焦点到渐近线的距离为 。
【答案】
【解析】在双曲线中，焦点在轴上，，，，
其焦点坐标为，渐近线方程为，即，
所以焦点到其渐近线的距离，故选D.．
6．（2020·福建高二期末（文））已知双曲线的离心率，则其渐近线的方程为 _________
【答案】
【解析】
双曲线的方程是，双曲线渐近线为，又离心率为，可得，，即，可得，由此可得双曲线渐近线为，故答案为.
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人教A版高二数学选择性必修第一册3.2.1 双曲线第一课时同步精练(原卷版)
【题组一 双曲线的定义】
1．（2019·山东青岛二中高二月考）平面内，一个动点，两个定点，，若为大于零的常数，则动点的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．射线 C．线段 D．双曲线的一支或射线
2．（2019·上海市宜川中学高二期末）设是双曲线上的动点，则到该双曲线两个焦点的距离之差为（ ）
A．4 B． C． D．
3．已知点F1(0，－13)，F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为( )
A．y＝0 B．y＝0(|x|≥13) C．x＝0(|y|≥13) D．以上都不对
4．（2020·四川内江）一动圆与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线
5．（2020·渝中）若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）
A．11 B．9 C．6 D．5
6．双曲线的左右焦点为F1,F2，过点F2的直线l与右支交于点P,Q，若|PF1|=|PQ|，则|PF2|的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【题组二 双曲线定义的运用】
1．（2020·四川省遂宁市第二中学校）已知双曲线上有一点M到右焦点的距离为18，则点M到左焦点的距离是（ ）
A．8 B．28 C．12 D．8或28
2．（2020·全国高二课时练习）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,)
3．（2020·全国）“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2019·绥德中学高二月考（理））方程表示双曲线，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
5．（2019·黑龙江龙凤大庆四中高二月考（文））方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）
A．－3＜m＜0 B．－3＜m＜2
C．－3＜m＜4 D．－1＜m＜3
6．（2020·山东青岛）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线为椭圆，其焦距为
B．当时，曲线为双曲线，其离心率为
C．存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线
D．当时，曲线为双曲线，其渐近线与圆相切
7.（2019·浙江高二期末）设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于__________．
8．（2019·湖北高二期中（文））已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为_______．
【题组三 双曲线标准方程】
1．（2020·全国高三其他（文））已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·全国高二月考（文））过双曲线：的左焦点作斜率为的直线，恰好与圆相切，的右顶点为，且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·甘肃城关）已知双曲线：，为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点，若是边长为2的等边三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·河南开封）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·湖南）已知双曲线的中心为坐标原点，离心率为，点在上，则的方程为（）
A． B． C． D．
【题组四 双曲线的渐近线】
1．（2020·河北石家庄二中高二月考）已知双曲线，则其渐近线方程为( )
A． B． C． D．
2．（2020·河北承德第一中学高二月考）设焦点在x轴上的双曲线的虚轴长为2，焦距为，则该双曲线的渐近线方程（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·福建省南安市侨光中学高三月考（文））设双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·全国高三其他（文））设双曲线的左、右顶点分别为、，若点为双曲线左支上的一点，且直线、的斜率分别为，，则双曲线的渐近线方程为______________.
5.（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））已知双曲线,则焦点到渐近线的距离为 。
6．（2020·福建高二期末（文））已知双曲线的离心率，则其渐近线的方程为 _________
人教A版高二数学选择性必修第一册3.2.1 双曲线第一课时同步精练(解析版)
【题组一 双曲线的定义】
1．（2019·山东青岛二中高二月考）平面内，一个动点，两个定点，，若为大于零的常数，则动点的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．射线 C．线段 D．双曲线的一支或射线
【答案】D
【解析】两个定点的距离为,
当时，点的轨迹为双曲线的一支；
当时，点的轨迹为射线；
不存在的情况.
综上所述，的轨迹为双曲线的一支或射线.
故选：D
2．（2019·上海市宜川中学高二期末）设是双曲线上的动点，则到该双曲线两个焦点的距离之差为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【解析】由题得.由双曲线的定义可知到该双曲线两个焦点的距离之差.
故选：A
3．已知点F1(0，－13)，F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为( )
A．y＝0 B．y＝0(|x|≥13)C．x＝0(|y|≥13) D．以上都不对
【答案】C
【解析】∵||PF1|－|PF2||＝|F1F2|，∴点P的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．所以点P的轨迹方程为x＝0(|y|≥13).故答案为：C
4．（2020·四川内江）一动圆与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线
【答案】C
【解析】设动圆圆心，半径为，圆x2+y2＝1的圆心为，半径为，
圆x2+y2﹣8x+12＝0，得，则圆心，半径为，
根据圆与圆相切，则，，两式相减得，
根据定义可得动圆圆心轨迹为双曲线的一支.
故选：C
5．（2020·渝中）若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）
A．11 B．9 C．6 D．5
【答案】B
【解析】由双曲线，可得，由双曲线的性质可得：，可得或(舍去)，故选：B.
6．双曲线的左右焦点为F1,F2，过点F2的直线l与右支交于点P,Q，若|PF1|=|PQ|，则|PF2|的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解析】因为双曲线的左右焦点为F1,F2，过点F2的直线l与右支交于点P,Q，若|PF1|=|PQ|，利用双曲线的定义，以及直线与双曲线联立方程组得到弦长，得到|PF2|的值为6选B
【题组二 双曲线定义的运用】
1．（2020·四川省遂宁市第二中学校）已知双曲线上有一点M到右焦点的距离为18，则点M到左焦点的距离是（ ）
A．8 B．28 C．12 D．8或28
【答案】D
【解析】双曲线的，，
由双曲线的定义得，即为，解得或28.
检验若在左支上，可得，成立；
若在右支上，可得，成立.故选：D
2．（2020·全国高二课时练习）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,)
【答案】A
【解析】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A．
3．（2020·全国）“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】可以直接求出方程表示双曲线的充要条件，即为
，因此可知条件和结论之间的关系是充要条件，因此选C.
4．（2019·绥德中学高二月考（理））方程表示双曲线，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】方程表示双曲线，则，解得或.故选：D.
5．（2019·黑龙江龙凤大庆四中高二月考（文））方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）
A．－3＜m＜0 B．－3＜m＜2
C．－3＜m＜4 D．－1＜m＜3
【答案】A
【解析】由题意知，，则C，D均不正确，而B为充要条件，不合题意，故选A.
6．（2020·山东青岛）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线为椭圆，其焦距为
B．当时，曲线为双曲线，其离心率为
C．存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线
D．当时，曲线为双曲线，其渐近线与圆相切
【答案】B
【解析】对于，当时，曲线的方程为，轨迹为椭圆，
焦距，错误；
对于，当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线，
则，，离心率，正确；
对于，若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，解集为空集，
不存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线，错误；
对于，当时，曲线的方程为，其渐近线方程为，
则圆的圆心到渐近线的距离，
双曲线渐近线与圆不相切，错误.故选：.
7.（2019·浙江高二期末）设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于__________．
【答案】12
【解析】由于，因此，，故，由于即，而，所以，，，所以，因此.
8．（2019·湖北高二期中（文））已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为_______．
【答案】
【解析】因为
,
所以，
【题组三 双曲线标准方程】
1．（2020·全国高三其他（文））已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得：，
则实轴长为：，虚轴长为，
由题意有：，解得：，
代入可得双曲线方程为.
本题选择D选项.
2．（2020·全国高二月考（文））过双曲线：的左焦点作斜率为的直线，恰好与圆相切，的右顶点为，且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设左焦点为，则直线方程，
即，因为直线恰好与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，
即，得，则.
则，
解得，.则.所以双曲线的标准方程为.故选:B.
3．（2020·甘肃城关）已知双曲线：，为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点，若是边长为2的等边三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由图可知，，且一条渐近线的倾斜角为，所以，解得，所以双曲线的方程为.故选：A
4．（2020·河南开封）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A选项，双曲线的渐近线为，不符合题意.对于B选项，双曲线的渐近线为，且过点，符合题意.对于C选项，双曲线的渐近线为，但不过点，不符合题意.对于D选项，双曲线的渐近线为，不符合题意.综上所述，本小题选B.
5．（2020·湖南）已知双曲线的中心为坐标原点，离心率为，点在上，则的方程为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当双曲线的焦点在x轴，设双曲线的方程为：.
根据题意可得：，解得，所以.
当双曲线的焦点在y轴，设双曲线的方程为：.
根据题意可得：，方程无解.
综上的方程为.故选B.
【题组四 双曲线的渐近线】
1．（2020·河北石家庄二中高二月考）已知双曲线，则其渐近线方程为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线方程为，则渐近线方程为：即．故选：A．
2．（2020·河北承德第一中学高二月考）设焦点在x轴上的双曲线的虚轴长为2，焦距为，则该双曲线的渐近线方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为焦点在轴上的双曲线虚轴长为，焦距为，所以，
则有，，则，则双曲线的标准方程为： ，
该双曲线的渐近线方程为为：故选：C．
3．（2019·福建省南安市侨光中学高三月考（文））设双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知，，解得，所以双曲线的渐近线方程为：，选B.
4．（2020·全国高三其他（文））设双曲线的左、右顶点分别为、，若点为双曲线左支上的一点，且直线、的斜率分别为，，则双曲线的渐近线方程为______________.
【答案】
【解析】的方程为，的方程为，则，
将点的坐标，代入双曲线，则，则，则，
则双曲线渐近线方程为.
故答案为：.
5.（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））已知双曲线,则焦点到渐近线的距离为 。
【答案】
【解析】在双曲线中，焦点在轴上，，，，
其焦点坐标为，渐近线方程为，即，
所以焦点到其渐近线的距离，故选D.．
6．（2020·福建高二期末（文））已知双曲线的离心率，则其渐近线的方程为 _________
【答案】
【解析】
双曲线的方程是，双曲线渐近线为，又离心率为，可得，，即，可得，由此可得双曲线渐近线为，故答案为.
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