广东省深圳市深技大附中2022-2023学年高二下学期数学第一次月考试卷（含解析）

广东省深圳市深技大附中2022-2023学年高二下学期数学第一次月考试卷
一、单项选择题(本大题共8小题，共40分．)
1．设函数在处的导数为2，则（　　）
A．-2 B．2 C． D．6
2．某校开设A类选修课4门，B类选修课3门，一同学从中选1门，则该同学的不同选法共有（　　）
A．7种 B．12种 C．4种 D．3种
3．抛物线y2＝4x的准线方程是（　　）
A．x＝2 B．x＝—2 C．x＝—1 D．x＝1
4．函数的单调递增区间是（　　）
A． B．和
C． D．
5．函数f (x)＝x3－12x－16的零点个数为（　　）
A．0 B．2 C．1 D．3
6．已知正项数列满足，若，则数列的前项的和为（　　）
A． B． C． D．
7．已知上函数满足，且，则不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
8．若是的切线，则的取值范围为（　　）．
A． B． C． D．
二、多项选择题(本大题共4小题，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)
9．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（　　）
A．为函数的一个零点
B．为函数的一个极大值点
C．函数在区间上单调递增
D．是函数的最大值
10．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中（　　）
A．AB与CD平行 B．CD与GH是异面直线
C．EF与GH成角 D．CD与EF平行
11．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．初始感染者传染个人为第一轮传染，第一轮被传染的个人每人再传染个人为第二轮传染，…．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，初始感染者为1人，则（　　）
A．第三轮被传染人数为16人
B．前三轮被传染人数累计为80人
C．每一轮被传染的人数组成一个等比数列
D．被传染人数累计达到1000人大约需要35天
12．对于函数，下列说法正确的是（　　）
A．在处取得极大值
B．有两个不同零点
C．
D．若在上恒成立，则
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．函数在处的切线与直线平行，则a＝　 　．
14．函数在区间上的最大值为　 　．
15．已知，分别为椭圆的左，右焦点，点P为C的上顶点，且，．则C的方程是　 　．
16．已知函数（且）的极大值和极小值分别为，，且，则的取值范围是　 　．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．)
17．已知函数.
（1）求函数单调增区间；
（2）求函数在上最大值.
18．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面ABCD，．
（1）求证：平面ACM；
（2）求平面MBC与平面DBC的夹角的大小．
20．已知数列等差数列，且，.
（1）求数列通项公式，若数列中依次取出第2项，第4项，第6项，…，第项，按原来顺序组成一个新数列，试求出数列通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
21．点P到定点的距离和它到定直线的距离之比为．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）记点P的轨迹为曲线C，若过点P的动直线l与C的另一个交点为Q，并且满足：原点O到l的距离为，弦长=2，求直线l的方程．
22．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求的取值范围；
（3）求证：.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】导数的运算
【解析】【解答】解： .
故选：B
【分析】根据导数的定义即可.
2．【答案】A
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：由题知某校开设A类选修课4门，B类选修课3门，共7门，
故该同学的不同选法共有4+3=7种.
故选：A
【分析】由分类加法计数原理即可得结果.
3．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点在x轴上，且2p=4，=1，
∴抛物线的准线方程是x＝-1．
故选：C．
【分析】由抛物线标准方程知p＝2，可得抛物线准线方程．
4．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数 的定义域为 ，
，当f'(x)>0时，解得 ，
故函数f(x)的单调递增区间是 ，
故选：D
【分析】确定函数定义域，求出函数的导数，根据导数大于0，即可求得答案.
5．【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由题得f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令f′(x)>0得x>2或x<－2；令f′(x)<0得－20，∴ 函数f(x)的零点个数为2，
故答案为：B.
【分析】求出函数的单调区间得到函数的极值，即可得解.
6．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】 ，当 时， ，当 时， ，当 时，也满足，∴ 数列 的通项公式为 ， ，
故答案为：D
【分析】当 时， ，当 时，利用，求出数列的通项公式，可得到数列，利用裂项相消法求前项的和.
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令 ，则 ，又 的导数 在 上恒有 ， 恒成立， 是 上的减函数，又 ，
当 时， ，即 ，即不等式 的解集为 ；
故答案为：C．
【分析】令，从而求导可判断导数恒成立，从而可判断函数的单调性，从而可得当时，，从而得到不等式的解集．
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设切点坐标为 ， ， ，又 ， ， ，令 ，则 ，
则当 时， ；当 时， ； 在 上单调递减，在 上单调递增，
，又当 时， ， ，即 的取值范围为 .
故答案为：A.
【分析】设切点坐标为 ，利用导数的几何意义可求得在切点处的切线方程，由此可得，得到，设，利用导数可求得，由此可得所求范围.
9．【答案】B,C
【知识点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解：由f(x)的导函数f'(x)的图象可知，函数在 、 上单调递减，在 、 上单调递增，
故当x=-2或x=2时， f(x)取得极小值；当x=时， f(x)取得极大值，故BC正确，AD错误.
故选：BC.
【分析】利用导函数的图象分析函数f(x)的单调性，由此可判断各选项的正误.
10．【答案】C,D
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】该正方体的直观图如下：
与 是异面直线，A不符合题意； 与 相交，B不符合题意；
因为该几何体为正方体，所以 ，三角形 为正三角形，
直线 与直线 所成角为 ，则 与 所成角为 ，CD符合题意.
故答案为：CD
【分析】由已知正方体平面展开图，画出正方体的直观图，结合正方体的几何特征，逐项判断即可.
11．【答案】C,D
【知识点】等比数列；等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题意，设第轮感染的人数为，则数列是首项，公比的等比数列，C符合题意；
所以，当时，，A不符合题意；
前三轮被传染人数累计为，B不符合题意；
当时，，当时，由，D符合题意.
故答案为：CD
【分析】根据题意由等比数列的定义即可得出数列的通项公式，再代入数值计算出项的取值，然后由等比数列的前n项和公式。代入数值计算答案，由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．【答案】A,C,D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】A选项， ，定义域为 ，
，令 ，解得 ，
当 时， ， 函数 在 上单调递增，
当 时， ， 函数 在 上单调递减，
函数在 时取得极大值也是最大值 ，A对，
B选项， 时 ， ， ，当 时 ，如右图所示：
函数 有且只有唯一一个零点，B不符合题意； C选项， 当 时 为单调递减函数， ， ， ，C对，
D选项， ，故 ，由于函数在 上恒成立，
，设 ，定义域为 ，则 ，
设 ，解得 ， 单调递增， 单调递减， ，故 ，D对.
故答案为：ACD.
【分析】根据导函数确定的单调性极值及最值情况，就能确定ABC的正误，对于D，恒成立问题，可通过参变分离求最值来解决.
13．【答案】1
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
所以函数 在x=1处的切线斜率为f'(1)=1+a ，
因为该切线与直线y=2x平行，故f'(1)=1+a=2 ，解得a=1.
故答案为：1
【分析】求导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线平行建立方程求解即可.
14．【答案】π
【知识点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解：由 ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
则f(x)在 单调递减，
所以 .
故答案为： .
【分析】利用导数，判断函数f(x)的单调性，可得结果.
15．【答案】
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】解： ，． ，故 ，
又a2=b2+c2 ，即 ，解得：c2=1 ，故a2=4，b2=3 ，
所以C的方程是 ，
故答案为： .
【分析】根据椭圆的性质，即可求解.
16．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】 ，所以方程 的两个根为 ， ，
即函数 和 的图象有两个不同的交点，因为 的极大值和极小值分别为 ， ，
故当 时， ， 的图象在 的下方，当 、 时， ， 的图象在 的上方；易知 ，设过原点且与 图象相切的直线 斜率为 ，则 ，设 与 切于点 ，
而 ，所以 ，解得 ，所以 ，
因为 ，即 ，又 ，所以 ，所以 ．
【分析】，所以方程 的两个根为 ， ，转化为函数 和 得图象有两个不同的交点，结合切线以及导数求得的取值范围.
17．【答案】（1）解： 的定义域为 ， ，
令 ，得 ，∵ ，∴ . 故 的单调递增区间为
（2）解：由（1）知， 在 上是增函数，在 上是减函数.
∴当 时， 在 上单调递增， ；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减， .
综上所述，当 时， 的最大值为 ；
当 时， 的最大值为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1），利用导数，直接解得的单调递增区间；
（2）分类讨论：当时， 在 上单调递增 ，此时；当时， 在 上单调递增，在 上单调递减， 可以求出最大值.
18．【答案】（1）解：每年能源消耗费用为 ，建造费用为 ，
．
（2）解： ，令 得 或 （舍 ．
当 时， ，当 时， ．
在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增．
当 时， 取得最小值 （5） ．
当隔热层修建 厚时，总费用最小，最小值为70万元．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）将建造成本和能源消耗费用相加可得；
（2）求导，利用导数判断得单调性，从而求得最小值．
19．【答案】（1）证明：连接BD，与AC交于点O，在 中，因为O，M分别为BD，PD的中点，则 ，
又 平面ACM， 平面ACM，所以 平面ACM.
（2）解：设E是AB的中点，连接PE，因为 为正三角形，则 ，
又因为平面 底面ABCD，平面 平面 ，
则 平面ABCD，过点E作EF平行于CB，与CD交于点F，
以E为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则 ， ， ，
， ， ，所以 ， ，
设平面CBM的法向量为 ，则 ，令 则 ，
因为 平面ABCD，则平面ABCD的一个法向量为 ，
所以 ，所以平面MBC与平面DBC所成角的大小为30°．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）连接BD，借助三角形中位线可证，进而得到 平面；
（2） 以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面CBM的法向量， 平面ABCD的法向量为 ， 利用向量法求解即可.
20．【答案】（1）解： ，
因为数列 是数列 中的第2项，第4项，第6项，…，第 项按原来顺序组成的新数列，
（2）解： ；……（8分）所以： ， 两边同×3可得：3 ，两式相减计算可得：
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1)利用等差数列性质求出数列，由题意得；
(2)由(1)的结论求出，再用错位相减法计算可求得.
21．【答案】（1）解：设 ，点P到定直线 的距离为d.由题意可得： ，即 ，
整理化简得： .即点P的轨迹方程为
（2）解：设 .当直线l的斜率不存在时，由原点O到l的距离为 ，由对称性不妨设直线l： .
所以 满足 ，解得： ，所以 （舍去）.
当直线l的斜率存在时，可设 .
因为原点O到l的距离为 ，所以 ，即 .
则 满足 ，消去y可得：
所以： ， ， ，
所以
因为 ，所以 恒成立，所以 .
所以 =2，化简得：
解得： ，所以 ，直线l的方程为：
综上所述：直线l的方程为： ．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】(1) 设 ，直接利用，即可得点P轨迹方程；
(2) 当直线l的斜率不存在时，推出 ，不符合题意； 当直线l的斜率存在时，可设 ，代入点到直线的距离公式得，直线与椭圆联立得，结合韦达定理得 ， ， 表示出， 即可解出直线方程.
22．【答案】（1）解： ；
1）当 时， ，所以 在 上单调递增；
2）当 时，令 ，解得 ，当 ；
；所以 在 上单减
（2）解： 的定义域为 ，若 恒成立，则 恒成立，即 恒成立，
令 ，只需 ，又 ，令 得 ，
时， ，则 单调递增； 时， ，则 单调递减；
所以 ，解得： .
（3）证明：要证明 ，只需证明 ，即 ，
即只需证明 ，由（1）可知： 在 单调递减，所以 ，
故 得证. 从而 得证.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求导数，根据导数的正负性分类讨论，进行求解即可；
（2）利用常变量分离法，构造新函数，结合导数的性质、函数的最值进行求解即可；
（3）利用分析法，结合（2）中函数的单调性进行证明即可.