(共35张PPT)
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性与奇偶性
1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义.
2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.
3.掌握y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.
【学习目标】
1
自主探究
一、函数的周期性
1.函数的周期性
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个 ，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做周期函数.
___________叫做这个函数的周期.
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.
非零常数T
f(x＋T)＝f(x)
非零常数T
最小的正数
思考 周期函数的周期是否唯一？
答案 不唯一.若f(x＋T)＝f(x)，则f(x＋nT)＝f(x)，(n∈Z，且n≠0).
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
定义域 R R
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 _____ ____
奇偶性 ________ ________
二、正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
奇函数
偶函数
2π
2π
思考 判断函数的奇偶性除了定义外，还有判断函数奇偶性的方法吗？
答案 若函数的图象关于原点对称，则该函数是奇函数，若函数的图象关于y轴对称，则该函数是偶函数.
2.因为sin(2x＋2π)＝sin 2x，所以函数y＝sin 2x的最小正周期为2π.( )
3.函数y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数.( )
×
×
×
2
经典例题
题型一 三角函数的周期
解 ：
（1）（2）（3）见课本
（4）方法一 定义法
∵f(x)＝|sin x|∴f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)，
∴f(x)的最小正周期为π.
方法二 图象法
作出函数y＝|sin x|的图象如图所示.
由图象可知T＝π.
总结：求三角函数周期的方法
(1)定义法：利用周期函数的定义求解.
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝ .
(3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可.
√
√
题型二 三角函数的奇偶性
√
解析 函数的定义域为R，关于原点对称.
所以f(x)是偶函数.
(2)判断下列函数的奇偶性.
①f(x)＝sin xcos x；
解 ①函数的定义域为R，关于原点对称.
∵f(－x)＝sin(－x)cos(－x)
＝－sin xcos x＝－f(x)，
∴f(x)＝sin xcos x为奇函数.
∴函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称.
当cos x＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x).
总结：判断函数奇偶性的方法
(1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f(x)与f(－x)的关系.
(2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则.
√
奇函数
f(x)的定义域为R，
f(－x)＝－(－x)2sin(－x)＝x2sin x，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.
题型三 三角函数奇偶性与周期性的综合应用
√
变式
1.在本例条件中，把“偶函数”变成“奇函数”，其它不变，则 的
值为________.
1
∴T＝π，
总结：三角函数周期性与奇偶性的解题策略
(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的形式，再利用公式求解.
(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(A≠0，ω>0)或y＝Acos ωx(A≠0，ω>0)其中的一个.
(2)函数y＝f(x)是R上的周期为3的偶函数，且f(－1)＝3，则f(2 020)＝___.
3
解析 T＝3，且f(x)为偶函数.
又2 020＝673×3＋1，
∴f(2 020)＝f(673×3＋1)＝f(1)＝f(－1)＝3.
3
当堂达标
√
√
√
解析 由y＝|cos x|的图象知，y＝|cos x|是周期为π的偶函数，所以A正确.
B中函数为奇函数，所以B不正确.
√
√
√
解析 ∵f(x)为偶函数，则需把f(x)化成y＝±cos 2x的形式，
∴f(x)＝－cos 2x.
又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.
1
图象如图所示：
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期.
解 由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.
1.(1)周期函数的概念，三角函数的周期.
(2)三角函数的奇偶性.
(3)三角函数周期性、奇偶性的综合应用.
2.方法归纳：定义法、公式法、数形结合.
3.常见误区：函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的周期为T＝ .
【课堂小结】
【课后作业】
对应课后练习(共29张PPT)
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第2课时 单调性与最值
1.理解正弦函数、余弦函数的单调性，会根据单调性比较三角函数的大小；
2.会求三角函数的最值；
3.会求正弦函数、余弦函数的对称轴和对称中心。
【学习目标】
1
自主探究
【探究】由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间里如
讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.
如图可以看到：当 由 增大到
时，曲线逐渐上升， 的值由1减小
到-1. 的值变化情况如图所示：
这也就是说，正弦函数 在区间 上单调递增，在区间
上单调递减.
正弦函数在每一个闭区间 上都单调递增，其值从-1增
大到1；在每一个闭区间 上都单调递减，其值从1减小到-1.
由上述结果结合正弦函数的周期性我们可以知道：
余弦函数在每一个闭区间 上都单调递增，其值从-1增大到1；
在每一个闭区间 上都单调递减，其值从1减小到-1.
同样的道理结合余弦函数的周期性我们可以知道：
一、正弦、余弦函数的单调性
正弦函数y=sinx,x∈R
①当且仅当x＝ ＋2kπ，k∈Z时，正弦函数取得最大值1；
②当且仅当x＝－ ＋2kπ，k∈Z时，正弦函数取得最小值－1
二、最大值与最小值
(2)值域:因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度;从正弦曲线可以看出，正弦曲线分布在两条平行线y=1和y=－1之间，所以
|sinx|≤1,即－1≤sinx≤1,
也就是说，正弦函数的值域是[－1,1].
同理余弦函数的值域是[－1,1]
余弦函数y=cosx,x∈R
①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，余弦函数取得最大值1；
②当且仅当x＝2kπ+π，k∈Z时，余弦函数取得最小值－1
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1
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1
-1
【小试牛刀】
2
经典例题
例1 判断下列函数是否存在最大值、最小值，如果有请写出，如果没有请说明理由：
解： (1)令z=2x，使函数y=-3sin z取得最大值z的集合，就是使y=sin z取得最小值的z的集合
由 ， 得 . 所以，使函数y=-3sin 2x取得最大值的x的集合是
同理，使函数y=-3sin 2x取得最小值x的集合是
函数y=-3sin 2x的最大值是3，最小值是-3.
题型一 求最值
跟踪训练1
（1） ；
（2） ．
解：（1）因为 ，
正弦函数y＝sinx在区间 上单调递增，
所以
例2 不通过求值，比较下列各数的大小：
题型二 利用单调性比较大小
解：（2） ，
且余弦函数在区间［0，π］上单调递减，
所以
（1） ；
（2） ．
例2 不通过求值，比较下列各数的大小：
跟踪训练2
解：令 ，则 ．
因为 的单调递增区间是 ，
且由 得 ，
所以，函数 的
单调递增区间是 ．
例3 求函数 的单调递增区间．
题型三 求单调区间
跟踪训练3
3
当堂达标
1.
4.
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
奇偶性
单调性（单调区间）
奇函数
偶函数
[ +2k , +2k ],k Z
单调递增
[ +2k , +2k ],k Z
单调递减
[ +2k , 2k ],k Z
单调递增
[2k , 2k + ], k Z
单调递减
函数
余弦函数
正弦函数
求函数的单调区间：
1. 直接利用相关性质
2. 复合函数的单调性
3. 利用图象寻找单调区间
【课堂小结】
定义域
值域
最大值
最小值
奇偶性
周期性
y=sinx
y=cosx
函数
性质
R
R
[-1，1]
[-1，1]
仅当
时取得最大值1
仅当
时取得最大值1
仅当
时取得最小值-1
仅当
时取得最小值-1
奇函数
偶函数
2π
2π
【课后作业】
对应课后练习
