湖南省长沙市宁乡市2022-2023学年高二下学期期末数学试卷（含解析）

湖南省长沙市宁乡市2022-2023学年高二下学期期末数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、记复数的共轭复数为，则在复平面内所对应的点在( )
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
2、在含有3个白球，2个黑球（它们除颜色外，其余均相同）的箱子里不放回地抽取2个球，恰好一个为黑球的概率为( )
A. B. C. D.
3、的展开式中的系数为( )
A.240 B.-240 C.120 D.-160
4、随机变量X的分布列如表，则的值为( )
X 1 2 3
P 0.2 A 0.4
A.4.4 B.7.4 C.21.2 D.22.2
5、已知正四棱锥的底面边长和侧棱长都为2，则该四棱锥的表面积为( )
A. B. C. D.
6、已知，则( )
A. B. C. D.
7、山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径X（单位：mm）服从正态分布，则估计苹果直径在内的概率为( )
（附：若，则，.）
A.0.6827 B.0.8413 B.0.9545 D.0.8186
8、已知的值域为，则x的取值范围为( )
A. B. C.D.
二、多项选择题
9、某种产品的价格x（单位：元/kg）与需求量y（单位：kg）之间的对应数据如下表所示：
x 10 15 20 25 30
y 11 10 8 6 5
数据表中的数据可得回归直线方程为，则以下结论正确的是( )
A.变量y与x呈负相关B.回归直线经过点
C.D.该产品价格为35元/kg时，日需求量大约为
10、在中，下列命题正确的是( )
A.若，则
B.若，则定为等腰三角形
C.若，则定为直角三角形
D.若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角
11、二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A.B.C.D.
12、已知函数的值域为集合A，函数的定义域为B，则下列说法正确的是( )
A.或
B.
C.“ 是“ 的充分不必要条件
D.函数的增区间是
三、填空题
13、已知，，且，则的最小值为__________.
14、为了贯彻落实党史学习教育成果，某校名师“学史力行”送教井冈山中学.现有理科语文 数学 英语 物理 化学 生物6名理科老师要安排在该中学理科1到6班上一节公开示范课，每个班级只安排一名老师上课且每个老师只在一个班上一节课，要求数学老师不能安排在1班，化学老师不能安排在6班，则不同的安排上课的方法数为__________.
15、已知函数为偶函数，则__________.
16、记，则__________.
四、解答题
17、化简与计算：.
18、在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.
（1）求角A；
（2）若，，求a、c.
19、常言说“病从口入”，其实手才是罪魁祸首，它担任了病菌与口之间的运输工具.洗手是预防传染病最简便有效的措施之一，保持手的清洁卫生可以有效降低感染新型冠状病毒的风险.正确的洗手应遵循“七步洗手法”，精简为一句话就是“内外夹弓大立腕”，每一个字代表一个步骤.某学校在开学复课前为了解学生对“七步洗手法”的掌握程度，随机抽取100名学生进行网上测试，满分10分，具体得分情况的频数分布表如下：
得分 4 5 6 7 8 9 10
女生 2 9 14 13 11 5 4
男生 3 5 7 11 10 4 2
（1）现以7分为界限，将学生对“七步洗手法”的掌握程度分为两类，得分低于7分的学生为“未能掌握”，得分不低于7分的学生为“基本掌握”.完成下面2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关？
未能掌握 基本掌握 合计
女生
男生
合计
（2）从参与网上测试且得分不低于9分的学生中，按照性别以分层抽样的方法抽取10名同学，在10人中随机抽取3人，记抽到女生的人数为X，求X的分布列与期望.
附：
临界值表：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20、如图，四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，是等边三角形，E是棱AB的中点，，.
（1）证明：平面ABCD；
（2）求直线PA与平面PCD所成角的正弦值.
21、已知函数.
（1）求的对称中心；
（2）求的最小正周期和单调递增区间；
（3）若，求的最小值及取得最小值时对应的x的取值.
22、已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立.
（1）求；
（2）用定义证明的单调性；
（3）若对使得不等式恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案
1、答案：A
解析：因为, 所以, 则在复平面内所对应的点为,位于第四象限;
2、答案：C
解析：“恰好一个为黑球”的概率为
3、答案：A
解析：展开式的通项,
由,可得，含项的系数为.
故选: A.
4、答案：B
解析：由条件中所给的随机变量的分布列可知:
因为,
所以.
故本题正确答案为B.
5、答案：C
解析：依题意,正四棱锥的底面正方形面积为4,四个侧面是全等的正三角形,
每个正三角形面积为，
所以四棱锥的表面积为.
故选:C
6、答案：B
解析：因为，
则
故选:B.
7、答案：D
解析：
8、答案：D
解析：
9、答案：ABC
解析：，
回归直线经过点,B正确,
将,代入 得,变量y与x呈负相关, A、C 正确, 当产品价格为35元时,代入得,日需求量大约为,D错误,
故选ABC
10、答案：ACD
解析：
11、答案：ACD
解析：由题意得,对称轴,则 ,故A正确,
当时,,则，故C正确,
当时, ,则,故D正确,
当时,,故B错误,
故选：ACD
12、答案：BD
解析：则，则，则
由题意得,解得或,则,
则,故A错误;
,故B正确;
, 其中一个元素0在集合A中找不到，故C错误;
设, 则t在上单调递增,
且,而在上单调递增,
则根据复合函数单调性得在上单调递增,
则其增区间为,故D正确,
故选:BD.
13、答案：
解析：因为,
所以
当且仅当,即，时,等号成立.
所以的最小值为.
故答案为:
14、答案：504
解析：根据计数原理可以将事情分成两类:化学老师安排在1班和化学老师不安排在1班.
①化学老师排在1班，先排1班，有1种方法，其余5个班的老师做全排列共有 种方法；
②化学老师不在1班，先排1班，有4种方 法，再排筀有4种方法，余下4个班有种方法，所以共有:种方法.所以不同的安排上课的方法数为.
故答案为:504.
15、答案：
解析：因为函数 为偶函数,
当时,,
此时,
所以,,
故
故答案为:.
16、答案：129
解析：令得 ,
又,
则,
解得
故
17、答案：
解析：原式
18、答案：(1)
(2)，
解析：（1）因为，所以.
由正弦定理得，
所以，
所以，
即.
因为，所以，
因为，所以.
（2）若，，
则.
则.
由正弦定理，得，
解得，.
19、答案：(1)没有的把握认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关
(2)
解析：（1）由得分情况的频数分布表得列联表如下：
未能掌握 基本掌握 合计
女生 25 33 58
男生 15 27 42
合计 40 60 100
故，因为，
所以没有的把握认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关.
（2）由得分情况的频数分布表可知，参与网上测试且得分不低于9分的学生中，女生9人，男生6人，从而分层抽样抽取的10人中，女生6人，男生4人.在10人中随机抽取3人，记抽到女生的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，
所以，
，
，
，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以.
20、答案：(1)见解析
(2)
解析：（1）为等边三角形，，E为AB中点，
且；
，，
四边形BCDE为平行四边形，，
又，，，
又，DE,平面ABCD，
平面ABCD.
（2），四边形BCDE为平行四边形，，
则以E为坐标原点，,,正方向为x,y,z轴，
可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面PCD的法向量，∴，
令，解得：，，，
，
即直线PA与平面PCD所成角的正弦值为.
21、答案：(1)，
(2),
(3)
解析：（1），，
所以对称中心，
（2）依题意得：
，，的最小正周期为；
由，得：，
单调递增区间为：,
（3），
，
即：，此时，
22、答案：(1)0
(2)函数在上是减函数
(3)
解析：（1）对任意的x,，都有，
令，则，.
（2）任取，且，
由，可知，
则，
，，，，，
故函数在上是减函数.
（3）由（2）知函数在上是减函数，
当时，恒成立，
即.令，则，
当时，恒成立，
即当时，，
设，则函数在时为增函数，
，，
又当时，恒成立，，
在时为减函数，，，
综上，实数m的取值范围为.