四川省绵阳市高中2022-2023学年高二下学期期末教学质量测试数学（文）试卷（含解析）

四川省绵阳市高中2022-2023学年高二下学期期末教学质量测试数学（文）试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、若复数，则( )
A.-5 B.4i C.-4i D.5
2、集合A=，B=，则的元素个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.8
3、命题p:“，”，则为( )
A.， B.，
C.， D.，
4、下列函数中是偶函数，且在上为增函数的是( )
A. B. C. D.
5、要得到函数的图象，只需将指数函数的图象( )
A.向左平移1个单位 B.向右平移1个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
6、定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则( )
A. B. C. D.
7、若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.或
8、函数的大致图象为( )
A. B. C. D.
9、若函数，则“”是“函数存在零点”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
10、甲、乙、丙在九寨沟、峨眉山、青城山三个景点中各选择了一个景点旅游，每人去的景点都不相同.已知①乙没有去九寨沟;②若甲去了峨眉山，则丙去了青城山：③若丙没有去峨眉山，则甲去了峨眉山.下列说法正确的是( )
A.丙去了峨眉山 B.乙去了峨眉山 C.丙去了青城山 D.甲去了青城山
11、已知函数，若，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
12、已知函数，，若，，都有，则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题
13、若幂函数的图象过点，则________.
14、已知，，且，，则________.
15、曲线在点处的切线方程为________.
16、若为奇函数，则实数________.
三、解答题
17、已知，命题p：，，命题q：，
（1）若命题p为假命题，求实数m的取值范围;
（2）若命题“”为真命题，求实数m的取值范围.
18、为了改善湖泊的水质，某市环保部门于2021年年终在该湖泊中投入一些浮萍，这些浮萍在水中的繁殖速度越来越快，2022年2月底测得浮萍覆盖面积为360m2，2022年3月底测得浮萍覆盖面积为480m2，浮萍覆盖面积y（单位：m2）与2022年的月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择.
（1）分别求出两个函数模型的解析式;
（2）若2021年年终测得浮萍覆盖面积为200m2，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底浮萍覆盖面积能超过8100m2 （参考数据：，）
19、已知二次函数.
（1）若函数的图象与x轴的交点为和，且函数在上不单调，求实数m的取值范围;
（2）已知，函数在处取得极值为0，求函数在区间上的最大值（结果用含a的代数式表示）.
20、已知函数
（1）若，求函数的极值，并判断其零点的个数;
（2）若对任意，成立，求实数a的取值范围.
21、己知函数.
（1）讨论函数的单调性;
（2）若函数的零点分别为，，且，证明：.
22、在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点О为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，其中.
（1）求的普通方程与直线l的直角坐标方程;
（2）直线l与曲线交于A，B两点，且A，B两点对应的极角分别为，，求的值.
23、已知函数.
（1）当时，求不等式的解集;
（2）若函数的最小值为2，且，求的最小值.
参考答案
1、答案：D
解析：
2、答案：A
解析：
3、答案：C
解析：由题意，命题为，.故选C.
4、答案：D
解析：对于A，函数的定义域为R，定义域关于原点对称，又任取，可得，所以函数为偶函数，因为，所以在上不是增函数，A错误；
对于B，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，B错误；
对于C，函数的定义域为R，定义域关于原点对称，又任取，可得，，所以函数为奇函数，C错误；
对于D，函数的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以函数为偶函数，由幂函数性质可得函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，D正确；
5、答案：D
解析：，所以可以由的图像向右平移个单位得到.
6、答案：C
解析：
7、答案：A
解析：
8、答案：A
解析：
9、答案：A
解析：函数存在零点可得，等价于方程有实数根，
等价于有非零实数根，
等价于，等价于或，
所以“"是“函数存在零点"的充分不必要条件，
10、答案：A
解析：由题意，③可知若丙没有去峨眉山，则甲去了峨眉山，
那么再由②若甲去了峨眉山，则丙去了青城山，此时乙就只能去九寨沟，这与①矛盾;所以丙去了峨眉山，所以甲去了九寨沟，乙去了青城山，所以选项A正确，选项BCD错误.故选:A
11、答案：B
解析：
12、答案：C
解析：
13、答案：3
解析：设幂函数为，则，得，
所以，
所以，
14、答案：3
解析：因为，所以，所以
又，
所以，解得，
所以，故，
15、答案：
解析：，则，所以，所以点处的切线方程为，即
16、答案：
解析：
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）命题p：“，”，
故对恒成立；
又在上的最大值为时，函数值为2，
命题p为真命题时，实数m的取值范围是；
命题p为假命题时，实数m的取值范围为.
（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，，
当命题q为真命题时，，解得或.
命题“”为真命题，则命题p为真命题，且命题q为假命题，
；
综上所述：实数m的取值范围为.
18、答案：（1）
（2）2023年2月底覆盖面积能超过8100m2
解析：（1）若选择模型，
则，解得，，
故函数模型为，
若选择模型，则，
解得，，
故函数模型为.
（2）把代入可得，，
把代入可得，，
，
选择函数模型更合适，
令，可得，两边取对数可得，，
，
故浮萍至少要到2023年2月底覆盖面积能超过8100m2.
19、答案：（1）
（2）
解析：（1）图象与x轴的交点为和，
函数的对称轴为，
又在上不单调，
则满足，
解得，
即实数m的取值范围为.
（2）在处取得极值为0，
有两个相等的实根2，
故解得.
此时，
，对称轴为，
，则，
.
20、答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1），
令，，，
当x变化时，，的取值情况如下：
x 2 2
－ 0 + 0 －
减 极小值 增 极大值 减
，，又，，
根据零点存在定理，分别在，，上各有一个零点，
所以，函数的极大值为13，极小值为 19，且有三个零点.
（2），令，，，
当时，，在上为增函数，
∴，满足题意；
当时，由得，得，
故在上是增函数，在上为减函数，
∴，得；
当时，由得，由，得，
故在上是增函数，在上为减函数，
∴，不合题意.
综上所述，a的取值范围是.
21、答案：（1）答案见解析
（2）证明答案见解析
解析：（1），
①当时，，则为上的增函数；
②当时，令，则，
∴当时，，当时，，
∴单调递增区间为上，单调递减区间为.
（2）由（1）知，方程的两个实根，，即，，
亦即，从而，
设，又，即，
要证，即证，只需证，即证，
即证，即证，
即证，即证，即证，
令，，，，
设，，，
则在上单调递增，有，
于是，即有在上单调递增，
因此，即，
所以成立，即.
22、答案：（1）;
（2）
解析：（1）由，得，消去，
C的普通方程为；
由，得，
令，，
直线l的直角坐标方程为.
（2）在中，令，，所以，
即C的极坐标方程为，
联立，得，
，所以，
又，则，所以或或或，
解得或或或，
由图可知，两交点位于第一、四象限，
或，
.
23、答案：（1）
（2）9
解析：（1）当时，等价于，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
综上所述，不等式的解集为.
（2），
当且仅当等号成立，，即，
，，
，
当且仅当，即，即，时，等号成立，
的最小值为9.