2023年湖南省邵阳市中考模拟预测数学试题(含解析)

2023年湖省邵阳市中考模拟预测数学试题
一、选择题（10个小题，每题3分，共30分）
1．（3分）计算﹣（﹣1）+|﹣1|，其结果为（　　）
A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣1
2．（3分）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，这个数据用科学记数法表示为（　　）
A．6.75×103吨 B．6.75×104吨
C．0.675×105吨 D．67.5×103吨
4．（3分）三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是（　　）
A．11 B．13 C．11或13 D．11和13
5．（3分）在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇7个村的得分如下：98，90，88，96，92，96，86，这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．90，96 B．92，96 C．92，98 D．91，92
6．（3分）四条线段a，b，c，d成比例，其中a＝2cm，b＝3cm，d＝6cm，则线段c的长为（　　）
A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（3分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞的解集是（　　）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0
C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
9．（3分）如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，过点C的切线与AB的延长线交于点P，则∠P的度数是（　　）
A． 24° B．25° C．28° D．31°
10．（3分）如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：①abc＜0；②4a+c＜2b；③；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0，正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（8个小题，每题3分，共24分）
11．（3分）因式分解：2a2﹣2＝　 　．
12．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是　 　．
13．（3分）若点（a，b）在一次函数y＝2x﹣3上，则代数式3b﹣6a+1的值是　 　．
14．（3分）如果一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形的边数是　 　．
15．（3分）已知圆锥的侧面积为10πcm2，侧面展开图的圆心角为36°，则该圆锥的母线长为　 　cm．
16．（3分）从﹣3．﹣1，π，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是负数的概率是　 　．
17．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB＝　 　．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2023次得到正方形OA2023B2023C2023，那么点A2023的坐标是 　 　．
三、解答题（19-25题，每题8分，26题10分，共66分）
19．（8分）计算：．
20．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝3．
21．（8分）已知：如图，在 ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形AECF是矩形．
22．（8分）某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次调查的学生共有多少名？
（2）在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数．
（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）．
23．（8分）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为50000元，今年销售总额将比去年减少20%，每辆销售价比去年降低400元，若这两年卖出的数量相同．
（1）求今年A型车每辆售价多少元？
（2）该车行计划今年新进一批A型车和B型车共60辆，A型车的进货价为每辆1100元，销售价与（1）相同：B型车的进货价为每辆1400元，销售价为每辆2000元，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
24．（8分）如图，某湖心岛上有一亭子A，在亭子A的正东方向上的湖边有一棵树B，在这个湖心岛的湖边C处测得亭子A在北偏西45°方向上，测得树B在北偏东36°方向上，又测得B、C之间的距离等于200米，求A、B之间的距离
（结果精确到1米）．（参考数据：≈1.414，sin36°≈0.588，cos36°≈0.809，tan36°≈0.727，cot36°≈1.376）
25．（8分）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线．
（2）求证：CD BE＝AD DE．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交点C，连接AC，BC．抛物线的对称轴交x轴于点E，交BC于点F，顶点为M．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）若D是直线BC上方抛物线上一动点，连接OD交BC于点E，当的值最大时，求点D的坐标；
（3）已知点G是抛物线上的一点，连接CG，若∠GCB＝∠ABC，求点G的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（10个小题，每题3分，共30分）
1．（3分）计算﹣（﹣1）+|﹣1|，其结果为（　　）
A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣1
【分析】根据有理数的加法和绝对值可以解答本题．
【解答】解：﹣（﹣1）+|﹣1|
＝1+1
＝2，
故选：B．
【点评】本题考查有理数的加法和绝对值，解答本题的关键是明确有理数加法的计算方法．
2．（3分）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（3分）中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，这个数据用科学记数法表示为（　　）
A．6.75×103吨 B．6.75×104吨
C．0.675×105吨 D．67.5×103吨
【分析】利用科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：67500用科学记数法表示为：6.75×104．
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是（　　）
A．11 B．13 C．11或13 D．11和13
【分析】利用因式分解法求出方程的解得到第三边长，即可求出此时三角形的周长．
【解答】解：方程x2﹣6x+8＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）＝0，
可得x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝2，x2＝4，
当x＝2时，三边长为2，3，6，不能构成三角形，舍去；
当x＝4时，三边长分别为3，4，6，此时三角形周长为3+4+6＝13．
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
5．（3分）在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇7个村的得分如下：98，90，88，96，92，96，86，这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．90，96 B．92，96 C．92，98 D．91，92
【分析】根据中位数，众数的定义即可判断．
【解答】解：将数据从小到大排列：86，88，90，92，96，96，98；可得中位数为92，众数为96．
故选：B．
【点评】本题考查众数、中位数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
6．（3分）四条线段a，b，c，d成比例，其中a＝2cm，b＝3cm，d＝6cm，则线段c的长为（　　）
A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm
【分析】根据比例线段的定义得到a：b＝c：d，然后把a＝2cm，b＝3cm，d＝6cm代入进行计算即可．
【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段，
∴a：b＝c：d，
而a＝2cm，b＝3cm，d＝6cm，
∴c＝＝＝4（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了比例线段的定义：若四条线段a，b，c，d有a：b＝c：d，那么就说这四条线段成比例．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】过点D作DE⊥AB于E，求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AC＝8，DC＝AD，
∴CD＝8×＝2，
∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝CD＝2，
即点D到AB的距离为2．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
8．（3分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞的解集是（　　）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0
C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围便是不等式kx+b＞的解集．
【解答】解：由函数图象可知，当一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象在反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象上方时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜2，
∴不等式kx+b＞的解集是x＜﹣1或0＜x＜2
故选：C．
【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．
9．（3分）如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，过点C的切线与AB的延长线交于点P，则∠P的度数是（　　）
A． 24° B．25° C．28° D．31°
【分析】先由PC为⊙O的切线得出∠PCO＝90°，再用等腰三角形性质求出∠ACO＝∠PAC＝31°，最后利用三角形内角和即可求解．
【解答】解：∵PC为⊙O的切线，连接OC，
∴∠PCO＝90°，
∵OA＝OC，则∠ACO＝∠PAC＝31°，
在△ACP中，∠P＝180°﹣31°﹣31°﹣90°＝28°．
故选：C．
【点评】本题是考查圆的切线的性质、等腰三角形性质、三角形内角和的综合运用能力．
10．（3分）如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：①abc＜0；②4a+c＜2b；③；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0，正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】①利用图象信息即可判断；②根据x＝﹣2时，y＜0即可判断；③根据m是方程ax2+bx+c＝0的根，结合两根之积﹣m＝，即可判断；④根据两根之和﹣1+m＝﹣，可得ma＝a﹣b，可得am2+（2a+b）m+a+b+c＝am2+bm+c+2am+a+b＝2a﹣2b+a+b＝3a﹣b＜0．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确，
∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故②正确，
∵y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），
∴﹣1×m＝，am2+bm+c＝0，
∴++＝0，
∴＝1﹣，故③正确，
∵﹣1+m＝﹣，
∴﹣a+am＝﹣b，
∴am＝a﹣b，
∵am2+（2a+b）m+a+b+c
＝am2+bm+c+2am+a+b
＝2a﹣2b+a+b
＝3a﹣b＜0，故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；△决定抛物线与x轴交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点是解题的关键．
二、填空题（8个小题，每题3分，共24分）
11．（3分）因式分解：2a2﹣2＝　2（a+1）（a﹣1）　．
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2﹣1）
＝2（a+1）（a﹣1）．
故答案为：2（a+1）（a﹣1）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是　x≥﹣2且x≠0　．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x+2≥0且x≠0，
解得：x≥﹣2且x≠0．
故答案为：x≥﹣2且x≠0．
【点评】本题考查函数自变量的取值范围，知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
13．（3分）若点（a，b）在一次函数y＝2x﹣3上，则代数式3b﹣6a+1的值是　﹣8　．
【分析】先把点（a，b）代入一次函数y＝2x﹣3求出2a﹣b的值，再代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵点（a，b）在一次函数y＝2x﹣3上，
∴b＝2a﹣3，即2a﹣b＝3，
∴原式＝﹣3（2a﹣b）+1＝（﹣3）×3+1＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
14．（3分）如果一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形的边数是　8　．
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180° （n﹣2）＝3×360°
解得n＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
15．（3分）已知圆锥的侧面积为10πcm2，侧面展开图的圆心角为36°，则该圆锥的母线长为　10　cm．
【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，利用扇形的面积公式可求得圆锥的母线长．
【解答】解：设圆锥的母线长为R，
则：＝10π，
解得：R＝10cm．
【点评】本题考查扇形的面积公式为的灵活运用．
16．（3分）从﹣3．﹣1，π，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是负数的概率是　　．
【分析】五个数中有两个负数，根据概率公式求解可得．
【解答】解：∵在﹣3．﹣1，π，0，3这五个数中，负数有﹣3和﹣1这2个，
∴抽取一个数，恰好为负数的概率为，
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB＝　4　．
【分析】根据三角形中位线定理求出CM，根据直角三角形的性质求出AB．
【解答】解：∵E、F分别为MB、BC的中点，
∴CM＝2EF＝2，
∵∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，
∴AB＝2CM＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2023次得到正方形OA2023B2023C2023，那么点A2023的坐标是 　（﹣，）　．
【分析】由正方形的性质和旋转的性质探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：如图，
∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴A（0，1），
∵将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），A4（0，﹣1）…，
发现是8次一循环，
∵2023÷8＝252…7，
∴点A2023的坐标为（﹣，）．
故答案为：（﹣，）．
【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．
三、解答题（19-25题，每题8分，26题10分，共66分）
19．（8分）计算：．
【分析】根据负整数指数幂，绝对值的性质，特殊锐角三角函数值，零指数幂进行计算即可．
【解答】原式＝8+2﹣+﹣1
＝10﹣1
＝9．
【点评】本题考查实数的运算，实数运算的相关法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
20．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝3．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再将a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝
＝，
当a＝3时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21．（8分）已知：如图，在 ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形AECF是矩形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，由已知得出∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，由AAS证明△ABE≌△CDF即可；
（2）证出∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB＝90°，
∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键．
22．（8分）某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次调查的学生共有多少名？
（2）在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数．
（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）．
【分析】（1）根据“平等”的人数除以占的百分比得到调查的学生总数即可；
（2）求出“进取”的学生数，求出“进取”占的圆心角度数即可；
（3）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到“C”与“E”的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）56÷20%＝280（名），
答：这次调查的学生共有280名；
（2）280﹣42﹣56﹣28﹣70＝84（名），
根据题意得：84÷280＝30%，360°×30%＝108°，
答：“进取”所对应的圆心角是108°；
（3）由（2）中调查结果知：学生关注最多的两个主题为“进取”和“感恩”用列表法为：
A B C D E
A （A，B） （A，C） （A，D） （A，E）
B （B，A） （B，C） （B，D） （B，E）
C （C，A） （C，B） （C，D） （C，E）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，E）
E （E，A） （E，B） （E，C） （E，D）
共20种情况，恰好选到“C”和“E”有2种，
∴恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是＝．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，扇形统计图，以及条形统计图，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．（8分）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为50000元，今年销售总额将比去年减少20%，每辆销售价比去年降低400元，若这两年卖出的数量相同．
（1）求今年A型车每辆售价多少元？
（2）该车行计划今年新进一批A型车和B型车共60辆，A型车的进货价为每辆1100元，销售价与（1）相同：B型车的进货价为每辆1400元，销售价为每辆2000元，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
【分析】（1）设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为（x+400）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
【解答】解：（1）设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为（x+400）元，由题意，得
解得：x＝1600，
经检验，x＝1600是原方程的根；
答：今年A型车每辆售价1600元；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由题意，得
y＝（1600﹣1100）a+（2000﹣1400）（60﹣a），
y＝﹣100a+36000，
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60﹣a≤2a，
∴a≥20．
∵k＝﹣100＜0，
∴y随a的增大而减小．
∴a＝20时，y最大＝34000元．
∴B型车的数量为：60﹣20＝40辆．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最多．
【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
24．（8分）如图，某湖心岛上有一亭子A，在亭子A的正东方向上的湖边有一棵树B，在这个湖心岛的湖边C处测得亭子A在北偏西45°方向上，测得树B在北偏东36°方向上，又测得B、C之间的距离等于200米，求A、B之间的距离
（结果精确到1米）．（参考数据：≈1.414，sin36°≈0.588，cos36°≈0.809，tan36°≈0.727，cot36°≈1.376）
【分析】本题可通过构建直角三角形来解答，过点C作AB的垂线交AB于H，要先求出CH的值然后再求AH，BH的值，进而得出AB的长．
【解答】解：过点C作CH⊥AB，垂足为点H，
由题意，得∠ACH＝45°，∠BCH＝36°，BC＝200，
在Rt△BHC中，，
∴，
∵sin36°≈0.588，
∴BH≈117.6，
又，
∴．
∵cos36°≈0.809，
∴HC≈161.8，
在Rt△AHC中，，
∵∠ACH＝45°，
∴AH＝HC，
∴AH≈161.8，
又AB＝AH+BH，
∴AB≈279.4，
∴AB≈279（米），
答：A、B之间的距离为279米．
【点评】本题考查了直角三角形的应用，解答本题的关键是根据方向角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．如果两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边一般是解题的常用方法．
25．（8分）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线．
（2）求证：CD BE＝AD DE．
【分析】（1）连接OD，由角平分线的定义得到∠CAD＝∠BAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠ADO，求得∠CAD＝∠ADO，根据平行线的性质得到CD⊥OD，于是得到结论；
（2）连接BD，根据切线的性质得到∠ABE＝∠BDE＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AC∥OD，
∵CD⊥AC，
∴CD⊥OD，
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）连接BD，
∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴∠ABE＝∠BDE＝90°，
∵CD⊥AC，
∴∠C＝∠BDE＝90°，
∵∠CAD＝∠BAE＝∠DBE，
∴△ACD∽△BDE，
∴＝，
∴CD BE＝AD DE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义．圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交点C，连接AC，BC．抛物线的对称轴交x轴于点E，交BC于点F，顶点为M．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）若D是直线BC上方抛物线上一动点，连接OD交BC于点E，当的值最大时，求点D的坐标；
（3）已知点G是抛物线上的一点，连接CG，若∠GCB＝∠ABC，求点G的坐标．
【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，用待定系数法即可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，化为顶点式可得顶点坐标；
（2）过D点作DH∥y轴，交BC于点H，设D（m，），直线BC的解析式为y＝kx+b，然后求出直线BC的解析式为：y＝x+2，得到H点坐标，进而可得DH，最后根据△OCE∽△DHE进行求解；
（3）过C作CG∥AB交抛物线于G，作G关于BC的对称点T，连接GT交BC于R，过R作RS⊥x轴于S，连接并延长CT交抛物线于G'，由CG∥AB，知∠GCB＝∠ABC，G是满足条件的点，即得G（3，2），根据△CRG∽△BOC，可求CR＝，BR＝BC﹣CR＝，根据△RSB∽△COB，可求RS＝，SB＝，即得R（，），而G、T关于BC对称，故R是GT的中点，∠BCT＝∠BCG＝∠ABC，直线CT与抛物线交点G'是满足条件的点，可得T（，﹣），直线CT为y＝﹣x+2，由即得G'（，﹣）．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+2得：
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴顶点M的坐标为（，）；
（2）过D点作DH∥y轴，交BC于点H，如图所示：
设D（m，），直线BC的解析式为y＝kx+n，
由（1）可知：B（4，0），C（0，2），
，
解得：，
直线BC的解析式为：y＝x+2，
∴H（m，），
∴DH＝）﹣（）＝，
.DH∥y轴，
∴△OCE∽△DHE，
∴＝＝
∵＜0，
∴当m＝2时，的值最大，
∴D（2，3）．
（3）当点G在BC上方时，连接CG，
∵∠GCB＝∠ABC，
∴CG∥AB，
又∵C（0，2），
∴yG＝2，
∴，
解得：x＝0（舍去）或x＝3；
当点G在BC下方时，CG交x轴于H，
∵∠GCB＝∠ABC，
∴CH＝BH，
设H（u，0），
在Rt△COH中，
OH2+OC2＝CH2，
∴u2+22＝（4﹣u）2，
解得：u＝，
∴H（，0）．
设直线CG解析式为y＝kx+2，
把点H代入得：y＝k+2，
解得：k＝，
所以直线CG解析式为y＝x+2．
∴G点的坐标满足：，
解得：（舍去）或，
∴G'（，﹣），
综上所述，若∠GCB＝∠ABC，点G的坐标为（3，2）或（，﹣）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、二次函数图象上点坐标的特征、相似三角形的判定及性质、对称变换等知识，解题的关键是求出G关于BC的对称点T的坐标．