《实数》习题
1、下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
2、已知四个命题，正确的有（ ）
⑴有理数与无理数之和是无理数 ⑵有理数与无理数之积是无理数
⑶无理数与无理数之积是无理数 ⑷无理数与无理数之积是无理数
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
3、若实数满足，则（ ）
A. B. C. D.
4、下列说法正确的有（ ）
⑴不存在绝对值最小的无理数
⑵不存在绝对值最小的实数
⑶不存在与本身的算术平方根相等的数
⑷比正实数小的数都是负实数
⑸非负实数中最小的数是0
5、⑴的相反数是 ，绝对值是
⑵
⑶ 1
⑷若，则
6、是实数，则 2
7、已知实数、、在数轴上的位置如图所示：
化简 （答案：）
《实数》习题
1.填空：
在0.25，2.3333…，-2.2360679…，-7.646，3.14159265…，-0.3656565…这些小数中，
有限小数是 ；
无限循环小数是 ；
无限不循环小数是 .
2.填空：
在-19，3.878787…，，，，1.414，，，这些数中，
有理数是 ；
无理数是 ；
3.判断对错：对的画“√”，错的画“×”.
(1)无理数都是无限小数. （ ）
(2)无限小数都是无理数. （ ）
(3)是无理数. （ ）
(4)是无理数. （ ）
(5)带根号的数都是无理数. （ ）
(6)有理数都是实数. （ ）
4.完成下面实数分类：
5.选做题：你找到了数字1. 01001000100001…的规律了吗？这个数是有理数还是无理数？
《实数》习题
1.判断对错：对的画“√”，错的画“×”.
(1)是有理数. （ ）
(2)是无理数. （ ）
(3)是无理数. （ ）
(4)π是无理数. （ ）
(5)3.14159265是无理数. （ ）
(6)0.131313…是无理数. （ ）
2.如图，
(1)表示2.5的点是 ；
(2)表示的点是 ；
(3)表示的点是 ；
(4)表示－5的点是 ；
(5)表示π的点是 .
3.填空题
(1)的相反数是 ，的绝对值是 ；
(2)－π的相反数是 ，－π的绝对值是
(3)0的相反数是 ，0的绝对值是 .
6.填空：
(1)的绝对值是 ，即＝ ；
(2)1.8－的绝对值是 ，即＝ ；
(4)的绝对值是 ，即＝ ；
(5)3－π的绝对值是 ，即＝ .
《实数》习题
1.下列说法正确的是( )
A.分数不是有理数 B.有理数都是有限小数
C.不循环小数是无理数 D.面积为5的正方形的边长是无理数
2.写出一个－6—－5之间的无理数：______________.
3.在下列各式中_____________的a是有理数，_____________的a不是有理数.
①a2=25 ②a2=8
4.比较大小：_________________π.
5.化简得( )
A.－2 B. C.2 D.
6.下列命题中，错误的一个是( )
A.如果a、b互为相反数，那么a+1和b－1仍然互为相反数
B.不论x是什么实数，x2+的值总是大于0
C.n是自然数，一定是一个无理数
D.如果是一个无理数，那么a是一个正的非完全平方数
7.当a______________时，有意义.
8.一个长方形的长为m，宽为(+1)m，则这个长方形的面积为_____________.
9.如果一个长方形的长是m，宽是m，求长方形的周长是多少？
10.求等式中的值；
（1）；
11.（8分）如图所示，数轴上表示1，的对应点分别为，，点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的数为.
（1）写出实数的值；
（2）求（）的值.
《与实数有关的数学家》
毕达哥拉斯
无理数的发现，击碎了毕达哥拉斯学派“万物皆数”的美梦.同时暴露出有理数系的缺陷：一条直线上的有理数尽管是“稠密”，但是它却漏出了许多“孔隙”，而且这种“孔隙”多的“不可胜数”.这样，古希腊人把有理数视为是连续衔接的那种算术连续统的设想，就彻底的破灭了.它的破灭，在以后两千多年时间内，对数学的发展，起到了深远的影响.不可通约的本质是什么？长期以来众说纷纭.两个不可通约量的比值也因其得不到正确的解释，而被认为是不可理喻的数.15世纪达芬奇（Leonardo da Vinci， 1452- 1519）把它们称为是“无理的数”（irrational number），开普勒（J. Kepler， 1571- 1630）称它们是“不可名状”的数.这些“无理”而又“不可名状”的数，找到虽然在后来的运算中渐渐被使用，但是它们究竟是不是实实在在的数，却一直是个困扰人的问题.
中国古代数学在处理开方问题时，也不可避免地碰到无理根数.对于这种“开之不尽”的数，《九章算术》直截了当地“以面命之”予以接受，刘徽注释中的“求其微数”，实际上是用10进小数来无限逼近无理数.这本是一条完成实数系统的正确道路，只是刘徽的思想远远超越了他的时代，而未能引起后人的重视.不过，中国传统数学关注的是数量的计算，对数的本质并没有太大的兴趣，而善于究根问底的希腊人就无法迈过这道坎了.既然不能克服它，那就只好回避它.此后的希腊数学家，如欧多克斯（Eudoxus）、欧几里得（Euclid）在他们的几何学里，都严格避免把数与几何量等同起来.欧多克斯的比例论（见《几何原本》第5卷），使几何学在逻辑上绕过了不可公度的障碍，但就在这以后的漫长时期中，形成了几何与算术的显著分离.
法国数学家柯西
17、18世纪微积分的发展几乎吸引了所有数学家的注意力，恰恰是人们对微积分基础的关注，使得实数域的连续性问题再次突显出来.因为，微积分是建立在极限运算基础上的变量数学，而极限运算，需要一个封闭的数域.无理数正是实数域连续性的关键.
无理数是什么？法国数学家柯西（A.Cauchy，1789- 1875）给出了回答：无理数是有理数序列的极限.然而按照柯西的极限定义，所谓有理数序列的极限，意即预先存在一个确定的数，使它与序列中各数的差值，当序列趋于无穷时，可以任意小.但是，这个预先存在的“数”，又从何而来呢？在柯西看来，有理序列的极限，似乎是先验地存在的.这表明，柯西尽管是那个时代大分析学家，但仍未能摆脱两千多年来以几何直觉为立论基础的传统观念的影响.
变量数学独立建造完备数域的历史任务，终于在19世纪后半叶，由魏尔斯特拉斯（Weierstrass，1815- 1897）、戴德金（R.Dedekind，1831- 1916）、康托（G.Cantor，1845- 1918）等人加以完成了.
1872年，是近代数学史上最值得纪念的一年.这一年，克莱因（F.Kline，1849- 1925）提出了著名的“埃尔朗根纲领”（Erlanger Programm），魏尔斯特拉斯给出了处处连续但处处不可微函数的著名例子.也正是在这一年，实数的三大派理论：戴德金“分割”理论；康托的“基本序列”理论，以及魏尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论，同时在德国出现了.
德国数学家克莱因
努力建立实数的目的，是为了给出一个形式化的逻辑定义，它既不依赖几何的含义，又避免用极限来定义无理数的逻辑错误.有了这些定义做基础，微积分中关于极限的基本定理的推导，才不会有理论上的循环.导数和积分从而可以直接在这些定义上建立起来，免去任何与感性认识联系的性质.几何概念是不能给出充分明白和精确的，这在微积分发展的漫长岁月的过程中已经被证明.因此，必要的严格性只有通过数的概念，并且在割断数的概念与几何量观念的联系之后才能完全达到.这里，戴德金的工作受到了崇高的评价，这是因为，由“戴德金分割”定义的实数，是完全不依赖于空间与时间直观的人类智慧的创造物.
实数的三大派理论本质上是对无理数给出严格定义，从而建立了完备的实数域.实数域的构造成功，使得两千多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了，古希腊人的算术连续统的设想，也终于在严格的科学意义下得以实现.
由于实数理论的内容过于庞大，处理方式也各有不同，因此，它的有关理论也散见于各种文献中，以下是对定义实数系方法的文献综述.
《实数的背景知识》
公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数)这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希帕索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的惩处。
毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙””经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次危机（第一次数学危机），对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学与逻辑学的发展，并且孕育了微积分的思想萌芽。
不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达。芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。
然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希帕索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来。
《实数》教案
【教学目标】
知识与技能：
了解无理数和实数的概念以及实数的分类；
知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系.
过程与方法：
在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数的范围，从而总结出实数的分类，接着把无理数在数轴上表示出来，从而得到实数与数轴上的点是一一对应的关系.
情感态度与价值观：
通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用；
敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题.
教学重点：
了解无理数和实数的概念；
对实数进行分类.
教学难点：对无理数的认识.
【教学过程】
一、复习引入无理数：
利用计算器把下列有理数3，，，，写成小数的形式，它们有什么特征？
发现上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式
归纳：任何一个有理数（整数或分数）都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，
反过来，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数.
通过前面的学习，我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数，
把无限不循环小数叫做无理数.
二、实数及其分类：
1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数.
2、实数的分类：
按照定义分类如下：
实数：
按照正负分类如下：
实数：
3、实数与数轴上点的关系：
我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示.物理是合乎是否也可以用数轴上的点表示出来吗？
活动1：直径为1个单位长度的圆其周长为π，把这个圆放在数轴上，圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达另一个点，这个点的坐标就是π，由此我们把无理数π用数轴上的点表示了出来.
活动2：在数轴上，以一个单位长度为边长画一个正方形，则其对角线的长度就是以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就是.事实上通过这种做法，我们可以把每一个无理数都在数轴上表示出来，即数轴上有些点表示无理数.
归纳：①实数与数轴上的点是一一对应的.即没一个实数都可以用数轴上的点来表示；
反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.
②对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.
三、应用：
例1、下列实数中，无理数有哪些？
，，，，，，，π，.
解：无理数有：，，π
注：①带根号的数不一定是无理数，比如，它其实是有理数4；
②无限小数不一定是无理数，无限不循环小数一定是无理数.
比如.
例2、把无理数在数轴上表示出来.
分析：类比的表示方法，我们需要构造出长度为的线段，从而以它为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示.
解：如图所示， OA=2，AB=1.
由勾股定理可知：，以原点为圆心，以长度为半径画弧，
与数轴的正半轴交于点，则点就表示.
四、随堂练习：
1、判断下列说法是否正确：
⑴无限小数都是无理数；
⑵无理数都是无限小数；
⑶带根号的数都是无理数；
⑷所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数；
⑸所有实数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的所有的点都表示实数.
2、把下列各数分别填在相应的集合里：
，，，，，，，，.
3、比较下列各组实数的大小：
（1）， （2）π，
五、课堂小结
1、无理数、实数的意义及实数的分类.
2、实数与数轴的对应关系 .
六、布置作业
教学反思：
关于无理数的认识是非常抽象的，只要求学生了解无理数和实数的意义即可，学生对实数的认识是逐步加深的，以后还要讨论，所以本节课不易过难，教师要把握好难度.
《实数》教案
【教学目标】
知识与技能：
掌握实数的相反数和绝对值；
掌握实数的运算律和运算性质.
过程与方法：
通过复习有理数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，引出实数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，并通过例题和练习题加以巩固，适当加深对它们的认识.
情感态度与价值观：
通过建立有理数的一些概念和运算在实数范围里也成立的意识，让学生了解在这种数的扩充中所体现的一致性，让学生充分感受数的不断发展.
教学重点：
会求实数的相反数和绝对值；
会进行实数的加减法运算；
会进行实数的近似计算.
教学难点：
认识和理解有理数的一些概念和运算在实数中仍适用的这种扩充.
【教学过程】
一、复习引入：有理数的一些概念和运算性质运算律：
1、相反数：有理数的相反数是.
2、绝对值：当≥0时，，当≤0时，.
3、运算律和运算性质：有理数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方、非负数的开平方、任意数的开立方运算，有理数的运算中还有交换律、结合律、分配律.
二、实数的运算：
1.实数的相反数：数的相反数是.
2.一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
3、实数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方、非负实数的开方运算，还有任意实数的开立方运算，在进行实数的运算中，交换律、结合律、分配律等运算性质也适用.
三、应用：
例1、（1）求的绝对值和相反数；
（2）已知一个数的绝对值是，求这个数.
解：（1）因为，所以，
（2）因为，所以绝对值为的数是或.
例2、计算下列各式的值：
（1）； （2）.
分析：运用加法的结合律和分配律.
解：（1）；
（2）
例3、计算：
（1）（精确到）
（2）（结果保留3个有效数字）
解：（1）；
（2）.
四、随堂练习：
1、计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
2、计算：
（1）（精确到0.01）；
（2）（精确到十分位）.
3、在平面内有四个点，它们的坐标分别是.
（1）依次连接，围成的四边形是一个什么图形？
（2）求这个四边形的面积.
（3）将这个四边形向下平移个单位长度，四个顶点的坐标变为多少？
五、课堂小结
1、实数的运算法则及运算律.
2、实数的相反数和绝对值的意义
六、布置作业
课本P87习题14.3第4、5、6、7题；
教学反思：
当数的范围由有理数扩充到实数后有理数的概念和运算（包括运算律和运算性质）在实数范围内仍然成立.教学时要注意突出这种早数的扩充中体现出来的一致性；同时，教学中也要注意，随着数的范围的不断扩大，在扩大的数的范围内可以解决更多的问题，这一点在以后的教学中会更加充分的体现.
《实数》教案
教学目标：
了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；
了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算，会用计算器进行实数的运算；
重点：实数的意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律
难点：体会数轴上的点与实数是一一对应的；准确地进行实数范围内的运算
教学过程：
探究：使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3 ， ， ， ， ，
我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即
， ， ， ， ，
归纳：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数
观察：通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫无理数，也是无理数
结论：有理数和无理数统称为实数
试一试：把实数分类
像有理数一样，无理数也有正负之分。例如，，是正无理数，，，是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
探究：如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？
总结：
1、事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数
当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数
2、与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大
讨论：当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？
总结：数的相反数是，这里表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0
应用迁移，巩固提高
例1：把下列各数分别填入相应的集合里：
，，－3.141，，，，，0.1010010001…，1.414，－0.020202…
正有理数{ } 负有理数{ }
正无理数{ } 负无理数{ }
备选例题：下列实数中是无理数的为（ ）
A.0 B. C. D.
总结反思，拓展升华
小结：
1、什么叫做无理数？
2、什么叫做有理数？
3、有理数和数轴上的点一一对应吗？
4、无理数和数轴上的点一一对应吗？
5、实数和数轴上的点一一对应吗？
《实数》教案
一、教学目标
1.会利用结论比较两个实数的大小.
2.会利用运算律进行简单的实数运算，会取无理数的近似值进行计算.
二、教学重点和难点
1.重点：比较实数大小，进行简单的实数运算.
2.难点：比较实数大小.
三、教学过程
（一）基本训练，巩固旧知
1.填空：每一个实数都可以用数轴上的一个 来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个 .
2.填空：
(1)7的相反数是 ，绝对值是 ；
(2)－7的相反数是 ，绝对值是 ；
(3)的相反数是 ，绝对值是 ；
(4)－的相反数是 ，绝对值是 ；
(5)7－的相反数是 ，绝对值是 ；
(6)－7的相反数是 ，绝对值是 .
（二）创设情境，导入新课
师：初一的时候，我们学过有理数的很多结论，现在数的范围从有理数扩大到了实数，原来对有理数来说成立的结论，对实数来说还成立吗？基本上都成立.譬如，“一个负数的绝对值是它的相反数”，对有理数来说是对的，对实数来说还是对的.所以，有关实数的很多结论我们可以直接从有理数那里搬过来.上节课我们从有理数那里搬来了三个实数的结论，本节课我们还要从有理数那里搬几个结论来，首先我们来看两个实数如何比较大小.
（三）尝试指导，讲授新课
（师出示下图）
师：（指准数轴）学习有理数的时候，我们讲过这样一个事实，数轴上右边的数总比左边的数大.譬如，4在3的右边，4＞3；－1在－4的右边，－1＞－4，等等.数的范围从有理数扩大到实数，数轴上右边的数还是比左边的数大吗？（稍停）对实数来说，数轴上右边的数还是比左边的数大.根据这一事实，我们得出比较两个实数大小的结论.（师出示结论4）
结论4：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小.师：请大家把这个结论读一遍（生读）.
师：这个结论跟两个有理数比较大小的结论是一样的，它是直接从有理数那儿搬过来的.下面我们就利用这个结论来比较两个实数的大小.
例1：比较下列各组数的大小：
(1)5和； (2)－和－； (3)－和－1.8.
解：(1)≈4.9，
因为5＞4.9，所以5＞.
(2)≈2.2，≈2.4，
因为2.2＜2.4，所以－＞－.
(3)≈1.7，
因为1.7＜1.8，所以－＞－1.8.
（四）试探练习，回授调节
3.填“＞”或“＜”：
(1)3 ； (2)π 3.142； (3)－ －；
(4)－ －1.42； (5) ； (6) .
4.判断对错：对的画“√”，错的画“×”.
(1)有最小的正有理数. （ ）
(2)没有最小的整数. （ ）
(3)没有最小的有理数. （ ）
(4)没有最小的无理数. （ ）
(5)没有最小的实数. （ ）
(6)有绝对值最小的实数. （ ）
（五）尝试指导，讲授新课
师：我们知道有理数可以进行加、减、乘、除、乘方运算，同样，实数也可以进行加、减、乘、除、乘方运算，除了这些运算，实数可以进行开平方、开立方运算.实数之间怎么进行运算呢？有理数的运算法则和运算性质可以搬到实数的运算中来，也就是说，有理数怎么进行运算，实数就怎么进行运算.
（师出示结论5）
结论5：有理数的运算法则和运算性质，在进行实数运算时仍然成立.
师：大家把结论5默读一遍.（生默读）
师：譬如，有理数的运算有交换律、结合律、分配律，同样实数的运算也具有这些运算性质.下面我们就来做几道实数计算题.
（师出例2）
例2：计算下列各式的值：
(1)； (2).
解：(1)=+-=+0=；
(2)＝(3+2)=5.
（(2)题板演时，要指出运用了分配律）
（师出示例3）
例3：计算：
(1)+π（精确到0.01）； (2).（精确到0.1）.
解：(1)+π≈2.236+3.142≈5.38；
(2)≈1.73×1.41≈2.4.
（教学时需要指出，结果如果要求精确到0.01，那么运算过程中取近似值要精确到0.001）
（六）试探练习，回授调节
5.计算：
(1)2－3； (2).
＝ ＝
＝ ＝
（七）归纳小结，布置作业
师：上节课我们学习了实数的三个结论，这节课我们又学习了实数的另外两个结论，实数的这五个结论是怎么得来的？基本上都是从有理数那里搬过来的.有理数可以在数轴上用点表示，实数也可以在数轴上用点表示；有理数有相反数、绝对值，实数也有相反数、绝对值；有理数怎么比较大小，实数也怎么比较大小；有理数怎么运算，实数也怎么运算.
四、板书设计
数轴图 例1 例2
结论4：……
结论5：…… 例3
